טרנספורמציות ברגרסיה: הוספה או כפל של כל הערכים

בבגרות 471 שואלים לפעמים: "מוסיפים 5 לכל הציונים" או "כופלים את כל הערכים פי 3" – מה משתנה ומה לא? הממוצע, סטיית התקן, השיפוע ומקדם המתאם מתנהגים כל אחד אחרת. הנה הכללים, טבלה מסכמת אחת, ושאלת בגרות פתורה.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הרגרסיה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס הרגרסיה המלא ←

בעמוד הזה:

הוספת קבוע
כפל בקבוע
טבלה מסכמת
דוגמה פתורה
שאלת בגרות פתורה
שאלות נפוצות

הוספת קבוע לכל ערכי y

כשמוסיפים אותו מספר (למשל 10) לכל ערכי y, כל הנקודות בדיאגרמה עולות ב־10 יחד. הצורה של הענן לא משתנה, הוא רק זז למעלה.

הממוצע ȳ – גדל ב־10.
סטיית התקן S_y – לא משתנה (הפיזור סביב הממוצע נשאר אותו דבר).
השיפוע m – לא משתנה: הישר החדש מקביל לישן, וגבוה ממנו ב־10.
מקדם המתאם r – לא משתנה.

כפל בקבוע של כל ערכי y

כשכופלים את כל ערכי y פי k (מספר חיובי), כל המרחקים "נמתחים" פי k.

הממוצע – גדל פי k.
סטיית התקן – גדלה פי k.
השיפוע – גדל פי k (הישרים כבר לא מקבילים).
r – לא משתנה! באופן יחסי הנקודות נשארות סביב הישר כמו במקור.

ומה אם k שלילי? אז הכיוון מתהפך: השיפוע ו־r מחליפים סימן (r נשאר באותו גודל), וסטיית התקן גדלה פי הגודל של k (בלי הסימן), כי היא תמיד חיובית.

טבלה מסכמת

מה עושים ל־y	ממוצע ȳ	סטיית תקן S_y	שיפוע m	מקדם המתאם r
מוסיפים c	עולה ב־c	לא משתנה	לא משתנה	לא משתנה
כופלים ב־k חיובי	פי k	פי k	פי k	לא משתנה
כופלים ב־k שלילי	פי k	פי \|k\|	פי k (מחליף סימן)	מחליף סימן

אותו רעיון עובד גם על x: הוספה ל־x לא משנה את השיפוע ואת r; כפל של x פי k חיובי מחלק את השיפוע ב־k, ו־r לא משתנה.

דוגמה פתורה: מספרים אמיתיים

השאלה (על פי שיעור 14 בקורס): בטבלה x = 1, 2, 3, 4, 5 ו־y = 1, 3, 2, 5, 4. מה קורה ל־ȳ, ל־S_y, ל־m ול־r כשמוסיפים 10 לכל y, וכשכופלים כל y פי 3?

פתרון (חישבנו בכל אחד מהמקרים)

	ȳ	S_y	m	r
מקור	3	√2	4/5	4/5
y + 10	13	√2	4/5	4/5
3y	9	3√2	12/5	4/5

בדיוק לפי הטבלה המסכמת: בהוספה רק הממוצע זז; בכפל פי 3 הממוצע, סטיית התקן והשיפוע גדלים פי 3, ו־r נשאר 4/5.

שאלת בגרות פתורה: העלאת כל הציונים ב־5

השאלה (בגרות חורף 2020, שיעור 16 בקורס): ישר הרגרסיה לניבוי הציון הסופי (y) לפי ציון העבודה (x) הוא y = 0.41x + 45.89, עם x̄ = 71 ו־ȳ = 75. הוחלט להעלות את הציון הסופי של כל תלמיד ב־5 נקודות.

הערה: 45.89 יוצא כשמעגלים את השיפוע ל־0.41, כמו בשיעור. בלי לעגל את השיפוע יוצא 45.83.

(1) האם S_y השתנתה? (2) איך נראים הישר הישן והחדש? (3) תלמיד קיבל 71 בעבודה. מה צריך להיות הציון הסופי שלו (אחרי ההעלאה) כדי שהנקודה שלו תהיה על הישר החדש?

פתרון

(1) לא. הוספנו 5 לכל y, והפיזור סביב הממוצע נשאר אותו דבר.

(2) השיפוע לא משתנה, ולכן הישרים מקבילים, והחדש גבוה ב־5: y = 0.41x + 50.89.

(3) 71 הוא בדיוק x̄. הממוצע החדש ȳ = 75 + 5 = 80, ונקודת הממוצעים על הישר. תשובה: 80. (בדיקה: 0.41 · 71 + 50.89 = 80 ✓)

שאלות נפוצות

האם r משתנה כשכופלים במספר שלילי?

הגודל של r לא משתנה, אבל הסימן מתהפך: קשר חיובי הופך לשלילי. גם השיפוע מחליף סימן.

מה קורה לסטיית התקן כשמוסיפים מספר לכל הערכים?

שום דבר. סטיית התקן מודדת פיזור סביב הממוצע, והוספה מזיזה את כל הנקודות יחד עם הממוצע.

מה קורה לישר הרגרסיה כשמוסיפים קבוע לכל ערכי y?

הוא זז למעלה באותו קבוע ונשאר מקביל לישר המקורי: השיפוע לא משתנה, רק המספר החופשי גדל.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הרגרסיה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס הרגרסיה המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מציאת סטיית התקן מתוך השיפוע | הבא: איך פותרים שאלת רגרסיה בבגרות ←