נקודת אמצע קטע – נוסחה ודוגמאות

נקודת אמצע קטע היא הממוצע של קצות הקטע: xM = x1 + x22 ו־yM = y1 + y22. בעמוד הזה: הנוסחה, אמצע שיוצא שבר, איך מוצאים קצה של קטע לפי האמצע ואיפה זה מופיע בבגרות 471 – עם פתרונות מלאים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. נוסחת אמצע קטע
  2. דוגמה: (0,4) ו־(12,4)
  3. דוגמה: אמצע עם שבר
  4. מציאת קצה הקטע לפי האמצע
  5. איפה זה מופיע בבגרות
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

נקודת אמצע קטע

xM = x1 + x22

yM = y1 + y22

האמצע M של הקטע שקצותיו A(x1,y1) ו־B(x2,y2): ממוצע ה־x וממוצע ה־y של הקצוות.

נוסחת אמצע קטע

נקודת האמצע של קטע נמצאת בדיוק באמצע בין שני הקצוות – גם ב־x וגם ב־y. לכן ה־x שלה הוא הממוצע של שני ה־x, וה־y שלה הוא הממוצע של שני ה־y:

  1. קוראים לנקודה אחת (x1,y1) ולשנייה (x2,y2) – לא משנה איזו.
  2. מחברים את שני ה־x ומחלקים ב־2.
  3. מחברים את שני ה־y ומחלקים ב־2.
  4. כותבים את הנקודה M(xM , yM).

דוגמה 1: אמצע הקטע שקצותיו (0,4) ו־(12,4)

מצא את נקודת האמצע של הקטע שקצותיו (0,4) ו־(12,4).

פתרון שלב אחר שלב

xM = 0 + 122 = 122 = 6

yM = 4 + 42 = 82 = 4

תשובה: M(6,4)

הקטע מקביל לציר x (לשני הקצוות אותו y), ולכן גם לאמצע אותו y.

דוגמה 2: אמצע עם שבר

מצא את נקודת האמצע של הקטע שקצותיו (4,6) ו־(1,2).

פתרון שלב אחר שלב

xM = 4 + 12 = 52 = 212

yM = 6 + 22 = 82 = 4

תשובה: M(212 , 4)

דוגמה 3: מציאת הקצה השני לפי נקודת האמצע

קצה אחד של קטע הוא (4,14), ונקודת האמצע של הקטע היא (2,6). מצא את הקצה השני.

פתרון שלב אחר שלב

קוראים לקצה החסר (x1,y1), לקצה הידוע (x2,y2) = (4,14), ולאמצע (2,6). מציבים בנוסחה:

2 = x1 + 42   |·2

4 = x1 + 4   |−4

x1 = 0

6 = y1 + 142   |·2

12 = y1 + 14   |−14

y1 = −2

תשובה: (0,−2)

בדיקה: 0 + 42 = 2 ו־−2 + 142 = 122 = 6 ✓

איפה זה מופיע בבגרות

  • תיכון במשולש – התיכון יוצא מקודקוד לאמצע הצלע שמולו. מוצאים את האמצע, ואז את משוואת הישר.
  • מקבילית – האלכסונים חוצים זה את זה, לכן לשני האלכסונים אותה נקודת אמצע. כך מוצאים קודקוד רביעי (ראו הוכחת מקבילית).
  • מעגל – מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר (ראו משוואת מעגל).

טעויות נפוצות

  • לחסר במקום לחבר. באמצע קטע מחברים ומחלקים ב־2 (בנוסחת השיפוע ובנוסחת המרחק מחסירים).
  • לשכוח לחלק ב־2 גם את ה־y.
  • כשנתון האמצע ומחפשים קצה – לכתוב "קצה = אמצע חלקי 2". צריך להציב בנוסחה ולפתור משוואה.

שאלות נפוצות

מה נוסחת אמצע קטע?

x של האמצע = (x1 + x2)/2, ו־y של האמצע = (y1 + y2)/2. כלומר ממוצע ה־x וממוצע ה־y של שני קצות הקטע.

איך מוצאים קצה של קטע כשנתונים האמצע וקצה אחד?

מציבים בנוסחת אמצע קטע את האמצע ואת הקצה הידוע, כופלים ב־2 ומבודדים את השיעור החסר – פעם ל־x ופעם ל־y.

האם משנה איזו נקודה היא הראשונה?

לא. חיבור לא תלוי בסדר, לכן נקודת האמצע יוצאת אותה דבר.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההנדסה האנליטית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס ההנדסה האנליטית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מרחק בין שתי נקודות  |  הבא: ישרים מקבילים ומאונכים ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות