בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 571 לפי נושא – בעיות קיצון

כל השאלות בנושא בעיות קיצון מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. בעיות קיצון גאומטריות, בעזרת גרפים ובטריגונומטרייה. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: בעיות קיצון – 571

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📈 בעיות קיצון גרפיות

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x) = (4x − 2)3 והישר y = 3x + b. b הוא פרמטר חיובי.

סרטוט שאלה 8 בשאלון: גרף הפונקציה והישר, הנקודות A ו־B

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) כך ששיעור ה־x שלה קטן משיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הישר הנתון. הנקודה B נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע AB מקביל לציר ה־x.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A. נתון: 0 ≤ t ≤ 0.7.

א. הביעו באמצעות b ו־t את שיעור ה־x של הנקודה B.

ב. (1) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מינימלי. (2) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעור ה־x של B

הנקודה A על גרף f, ושיעור ה־x שלה t:
A(t , (4t − 2)3)
AB מקביל לציר ה־x, ולכן ל־B אותו שיעור y כמו ל־A. B על הישר y = 3x + b:
3xB + b = (4t − 2)3
3xB = (4t − 2)3 − b
xB = (4t − 2)3 − b3
✅ פתרון סופי: xB = (4t − 2)3 − b3

סעיף ב – אורך מינימלי ומקסימלי של AB

בניית הפונקציה. כמו בסרטוט, B משמאל ל־A, ולכן האורך הוא ההפרש בין שיעורי ה־x:
AB = xA − xB
= t − (4t − 2)3 − b3
AB(t)
= t − (4t − 2)33
+ b3 ,    0 ≤ t ≤ 0.7
גזירה (b קבוע, ולכן b3 נגזר ל־0):
AB'(t)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))n]' = n(h(x))n−1 · h'(x)
= 1 − 3(4t − 2)2 · 43
AB'(t) = 1 − 4(4t − 2)2
נשווה ל־0:
4(4t − 2)2 = 1
(4t − 2)2 = 14
4t − 2 = 12
או
4t − 2 = −12
4t = 2.5  או  4t = 1.5
t = 0.625  או  t = 0.375
שתיהן בתחום 0 ≤ t ≤ 0.7. נקודות בדיקה לסימן הנגזרת:
AB'(0) = 1 − 4 · 4
= −15 < 0
AB'(0.5) = 1 − 4 · 0
= 1 > 0
AB'(0.7) = 1 − 4 · 0.82
= 1 − 2.56 = −1.56 < 0
t0(0 , 0.375)0.375(0.375 , 0.625)0.625(0.625 , 0.7)0.7
AB'−0+0−
ABקצה↘מינ.↗מקס.↘קצה
יש שני מועמדים למינימום (0.375 והקצה 0.7) ושני מועמדים למקסימום (הקצה 0 ו־0.625). נחשב את AB בכל אחד (בלי b3, שמשותף לכולם):📐 קיצון בתחום סגורמשווים את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון הפנימיות ובקצוות התחום
t = 0:   0 − (−2)33 = 83
≈ 2.667
t
= 0.375:   0.375 − (−0.5)33
= 0.375 + 0.1253 ≈ 0.417
t = 0.625:   0.625 − 0.533
= 0.625 − 0.1253 ≈ 0.583
t = 0.7:   0.7 − 0.833
= 0.7 − 0.5123 ≈ 0.529
(1) מינימום: הערך הקטן ביותר הוא ב־t = 0.375 (0.417 קטן מ־0.529 שבקצה).
(2) מקסימום: הערך הגדול ביותר הוא ב־t = 0 (2.667 גדול מ־0.583 שבמקסימום המקומי).
(גם הערך הקטן ביותר 0.417 + b3 חיובי, ולכן אכן B משמאל ל־A לכל t בתחום.)
0.20.3750.6250.712xyt = 0 : 8/3t = 0.375t = 0.7
✅ פתרון סופי: (1) מינימלי כאשר t = 0.375 ; (2) מקסימלי כאשר t = 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אxB = (4t − 2)3 − b3
סעיף ב (1)t = 0.375
סעיף ב (2)t = 0
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) = 2√x2 − 1.

נתון הישר y = 3x − 3.

גרף הפונקציה f מתוך השאלון

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הישר הנתון.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה A העבירו שני ישרים:

ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הישר הנתון בנקודה B.

ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר הנתון בנקודה C.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.

(2) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AC.

ד. מצאו את הערך של t שעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו־AC הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום ההגדרה

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:📐 כללתחום הגדרה של שורש – √u מוגדר כאשר u ≥ 0
x2 − 1 ≥ 0
x2 ≥ 1
אי־שוויון ריבועי: הפרבולה x2 − 1 מתאפסת ב־x = ±1 ופתוחה כלפי מעלה, ולכן היא אי־שלילית מחוץ לשורשים:
x ≤ −1 או x ≥ 1
✅ פתרון סופי: x ≤ −1 או x ≥ 1

סעיף ב – נקודות החיתוך עם הישר

נשווה בין הפונקציה לישר:
2√x2 − 1 = 3x − 3
אגף שמאל (שורש) אי־שלילי, ולכן גם אגף ימין חייב להיות אי־שלילי: 3x − 3 ≥ 0, כלומר x ≥ 1. עכשיו נעלה בריבוע:
4(x2 − 1) = (3x − 3)2
4x2 − 4 = 9x2 − 18x + 9📐 נוסחה: נוסחת כפל מקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
0 = 9x2 − 4x2 − 18x + 9 + 4
5x2 − 18x + 13 = 0
x1,2 = 18 ± √324 − 4 · 5 · 132 · 5📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= 18 ± √6410 = 18 ± 810
x1 = 2610 = 2.6 , x2 = 1010 = 1
שני הפתרונות מקיימים x ≥ 1. בדיקה בהצבה במשוואה המקורית (חובה אחרי העלאה בריבוע):
x = 1: 2√1 − 1 = 0 , 3 · 1 − 3
= 0 ✓
x = 2.6: 2√6.76 − 1 = 2√5.76
= 2 · 2.4 = 4.8 , 3 · 2.6 − 3
= 4.8 ✓
✅ פתרון סופי: (1 , 0) ו־(2.6 , 4.8)

סעיף ג – אורכי הקטעים AB ו־AC

(1) האורך AB
הנקודה A על גרף f, ושיעור ה־x שלה t, כאשר 1 < t < 2.6:
A(t , 2√t2 − 1)
B נמצאת על אותו ישר אנכי (אותו שיעור x), על הישר y = 3x − 3:
B(t , 3t − 3)
בין נקודות החיתוך גרף f נמצא מעל הישר (למשל ב־x = 2: f(2) = 2√3 ≈ 3.46, ועל הישר y = 3). לכן A מעל B, והאורך הוא ההפרש בין שיעורי ה־y:
AB = yA − yB📐 כלל: אורך קטע אנכיהפרש שיעורי ה־y (העליון פחות התחתון)
AB = 2√t2 − 1 − (3t − 3)
AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3
xyABC(1 , 0)(2.6 , 4.8)
✅ פתרון סופי: AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3
(2) האורך AC
C נמצאת על אותו ישר אופקי כמו A (אותו שיעור y), על הישר y = 3x − 3. נמצא את שיעור ה־x שלה:
3x − 3 = 2√t2 − 1
3x = 2√t2 − 1 + 3
xC = 2√t2 − 13 + 1
A נמצאת מעל הישר, והישר עולה, ולכן הישר מגיע לגובה של A רק מימין ל־A: C מימין ל־A.
AC = xC − xA📐 כלל: אורך קטע אופקיהפרש שיעורי ה־x (הימני פחות השמאלי)
AC = 2√t2 − 13 + 1 − t
✅ פתרון סופי: AC = 2√t2 − 13 − t + 1

סעיף ד – הסכום AB + AC המקסימלי

נבנה את פונקציית הסכום:
S(t) = AB + AC = 2√t2 − 1 − 3t
+ 3 + 23√t2 − 1 + 1 − t
S(t) = 83√t2 − 1 − 4t
+ 4 , 1 < t < 2.6
נגזור:
S′(t) = 83 · 2t2√t2 − 1 − 4📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= 8t3√t2 − 1 − 4
נשווה לאפס:
8t3√t2 − 1 = 4
8t = 12√t2 − 1
2t = 3√t2 − 1
שני האגפים חיוביים (t > 1), ולכן מותר להעלות בריבוע:
4t2 = 9(t2 − 1)
4t2 = 9t2 − 9
9 = 5t2
t2 = 95 = 1.8
t = 3√5 = √1.8 ≈ 1.342
(הפתרון השלילי t = −√1.8 לא בתחום 1 < t < 2.6.)
נבדוק שזה מקסימום – סימן הנגזרת משני הצדדים:
S′(1.2) = 9.63√0.44 − 4 ≈ 4.82 − 4
= 0.82 > 0 (עולה)
S′(2) = 163√3 − 4 ≈ 3.08 − 4
= −0.92 < 0 (יורדת)
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת:📐 משפטנקודת קיצון לפי הנגזרת – S′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: t = 3√5 = √1.8 ≈ 1.34

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx ≤ −1 או x ≥ 1
סעיף ב(1 , 0), (2.6 , 4.8)
סעיף ג (1)AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3
סעיף ג (2)AC = 2√t2 − 13 − t + 1
סעיף דt = √1.8 ≈ 1.34
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – בעיית קיצון עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = kx3 − 3x2 + 8kx, המוגדרת לכל x.

k הוא פרמטר שונה מ־0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x).

א. הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה A.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה־y החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

ג. מצאו את הערך של k שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודת הפיתול A

f′(x) = 3kx2 − 6x + 8k
f″(x) = 6kx − 6
6kx − 6 = 0📐 נקודת פיתולf″(x) = 0 ו־f″ מחליפה סימן
x = 1k
f″ היא פונקציה קווית (k ≠ 0), ולכן מחליפה סימן ב־x = 1k – זו נקודת פיתול.
f(1k)
= k · 1k3 − 3 · 1k2
+ 8k · 1k
= 1k2 − 3k2 + 8 = 8 − 2k2
✅ פתרון סופי: A(1k , 8 − 2k2)

סעיף ב – תחום הערכים של k

ברביע הראשון שני השיעורים חיוביים:
1k > 0 ⟸ k > 0
8 − 2k2 > 0
נכפול ב־k2 > 0:
8k2 − 2 > 0
k2 > 14
k > 12
או
k < −12
יחד עם k > 0:
✅ פתרון סופי: k > 12

סעיף ג – סכום שטחי הריבועים מינימלי

B מתחת ל־A על ציר ה־x, ו־C משמאל ל־A על ציר ה־y. לכן:
AB = 8 − 2k2 , AC = 1k
סכום השטחים (פונקציה של k, בתחום k > 12):
S(k) = (8 − 2k−2)2 + k−2
S′(k)📐 נגזרת של חזקה של פונקציה[(g)2]′ = 2g · g′📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = nxn−1
= 2(8 − 2k−2) · 4k−3 − 2k−3
S′(k)
= k−3[8(8 − 2k−2) − 2]
S′(k) = k−3(62 − 16k−2)
k−3 > 0, ולכן:
62 − 16k2 = 0
k2 = 1662 = 831
k = √831 ≈ 0.508
0.508 > 0.5 – בתחום. בדיקת סוג: עבור k קטן יותר (למשל 0.505) 16k2 > 62 ו־S′ < 0; עבור k גדול יותר (למשל 1) S′ = 62 − 16 > 0. יורדת ואחר כך עולה – מינימום.
הגרף בקנה מידה עבור הערך שנמצא:
123412xyABC
✅ פתרון סופי: k = √831 ≈ 0.508

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אA(1k , 8 − 2k2)
סעיף בk > 12
סעיף גk = √831 ≈ 0.508
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) = √R2 − x2. R הוא פרמטר חיובי. הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום −R ≤ x ≤ R.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x, וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה נוספת B. הנקודות C ו־D נמצאות על ציר ה־x, כך שנוצר מלבן ABCD.

הנקודה F היא נקודת החיתוך של AB עם ציר ה־y, והנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y. בונים ריבוע שאורך צלעו שווה ל־EF. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות R ו־t: (1) את אורך הקטע EF. (2) את היקף המלבן ABCD.

ב. מצאו את t (הביעו באמצעות R) שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן ABCD ובין היקף הריבוע הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – EF והיקף המלבן

A = (t , √R2 − t2), ו־0 < t < R. מהסימטרייה של הגרף ביחס לציר ה־y: B = (−t , √R2 − t2).
E = (0 , R) , F = (0 , √R2 − t2)
EF = R − √R2 − t2
AB = t − (−t) = 2t
AD = √R2 − t2
Pמלבן = 2 · 2t + 2√R2 − t2📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2a + 2b
= 4t + 2√R2 − t2
✅ פתרון סופי: EF = R − √R2 − t2 , P = 4t + 2√R2 − t2

סעיף ב – הפרש היקפים מקסימלי

Pריבוע = 4(R − √R2 − t2)📐 נוסחה: היקף ריבועP = 4a
h(t) = 4t + 2√R2 − t2 − 4R
+ 4√R2 − t2
h(t) = 4t + 6√R2 − t2 − 4R
h′(t) = 4 + 6 · −2t2√R2 − t2📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= 4 − 6t√R2 − t2
4 − 6t√R2 − t2 = 0
6t = 4√R2 − t2
3t = 2√R2 − t2
9t2 = 4(R2 − t2)
13t2 = 4R2
t = 2R√13 (t > 0)
בדיקת סוג הקיצון: כש־t → 0: h′ → 4 > 0; כש־t → R: 6t√R2 − t2 → ∞ ולכן h′ < 0. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – מקסימום.
xyABCDEF
✅ פתרון סופי: t = 2R√13

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)EF = R − √R2 − t2
סעיף א (2)P = 4t + 2√R2 − t2
סעיף בt = 2R√13
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = a(x − 1)2 + 9. הפונקצייה מוגדרת בתחום x ≠ 1. a הוא פרמטר חיובי.

גרף הפונקצייה משאלה 8

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x).

הנקודה C נמצאת על גרף f(x), ושיעור ה־x שלה הוא 2. דרך C העבירו משיק לגרף.

ב. הביעו באמצעות a את משוואת המשיק.

המשיק חותך את ציר ה־x בנקודה A ואת הישר x = 1 בנקודה B. D היא הנקודה (1 , 0).

ג. הביעו באמצעות a את שטח המשולש ADB.

ד. מצאו את הערך של a שבעבורו שטח המשולש ADB הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 1 (והמונה a ≠ 0): f → +∞.
אופקית: כאשר x → ±∞: a(x − 1)2 → 0, ולכן f → 9.
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 9

סעיף ב – משוואת המשיק

f(2) = a12 + 9 = a + 9
C(2 , a + 9)
f'(x) = a · (−2)(x − 1)−3📐 נגזרת של חזקה (כלל השרשרת)((x − b)n)' = n(x − b)n−1
= −2a(x − 1)3
m = f'(2) = −2a1 = −2a
y − (a + 9) = −2a(x − 2)📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f'(x1)
y = −2ax + 4a + a + 9
y = −2ax + 5a + 9
✅ פתרון סופי: y = −2ax + 5a + 9

סעיף ג – שטח המשולש ADB

-21249121824xyy = 9x = 1C(2 , 12)A(4 , 0)B(1 , 18)D(1 , 0)
הנקודה A – חיתוך המשיק עם ציר ה־x (y = 0):
0 = −2ax + 5a + 9
xA = 5a + 92a
הנקודה B – חיתוך עם הישר x = 1:
yB = −2a + 5a + 9 = 3a + 9
המשולש ADB ישר־זווית ב־D(1 , 0) (צלע אחת על ציר ה־x והשנייה על הישר x = 1):
AD = 5a + 92a − 1 = 3a + 92a
DB = 3a + 9
S = 12 · 3a + 92a · (3a + 9)📐 שטח משולש ישר־זוויתS = a · b2
S = (3a + 9)24a = 9(a + 3)24a
✅ פתרון סופי: S = 9(a + 3)24a

סעיף ד – מינימום השטח

נפתח את הביטוי לסכום:
S(a) = 9(a2 + 6a + 9)4a
S(a) = 9a4 + 272 + 814a
S'(a) = 94 − 814a2📐 נגזרת של חזקה(xn)' = nxn−1
נשווה לאפס:
94 = 814a2
a2 = 9
a > 0:
a = 3
כאשר 0 < a < 3: ‏a2 < 9, ולכן 814a2 > 94 ו־S'(a) < 0 – יורדת.
כאשר a > 3: ‏S'(a) > 0 – עולה. ירידה ואחריה עלייה – מינימום ב־a = 3.
S(3) = 9 · 3612 = 27
✅ פתרון סופי: a = 3 (השטח המינימלי 27)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 1, y = 9
סעיף בy = −2ax + 5a + 9
סעיף גS = 9(a + 3)24a
סעיף דa = 3
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√8 − x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x).

ידוע כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת ואין לה נקודות פיתול. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x). הנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם החלק החיובי של ציר ה־x. מן הנקודה A העבירו שני אנכים: אנך אחד לציר ה־x החותך אותו בנקודה B, ואנך נוסף לישר x = 8 החותך אותו בנקודה D.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן ABCD הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה, חיוביות ושליליות

תחום ההגדרה – הביטוי בתוך השורש אי־שלילי:
8 − x ≥ 0 ⇐ x ≤ 8
השורש תמיד אי־שלילי (ושווה ל־0 רק ב־x = 8), ולכן הסימן של f כסימן x:
f(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = 8
חיובית: 0 < x < 8. שלילית: x < 0.
✅ פתרון סופי: x ≤ 8; חיובית: 0 < x < 8; שלילית: x < 0

סעיף ב – סקיצה

כדי לסרטט נמצא את נקודת הקיצון:
f′(x) = √8 − x + x · −12√8 − x📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה ושל שורש(uv)′ = u′v + uv′ , (√u)′ = u′2√u
= 2(8 − x) − x2√8 − x = 16 − 3x2√8 − x
16 − 3x = 0 ⇐ x = 163
f(163) = 163√83 ≈ 8.71
משמאל ל־163 הנגזרת חיובית (עולה) ומימין שלילית (יורדת) – מקסימום. הגרף מגיע מ־−∞ (כש־x → −∞), עובר בראשית, עולה למקסימום ויורד אל (8 , 0), נקודת קצה.
xyABCD
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – היקף מקסימלי

נסמן A = (t , t√8 − t), 0 < t < 8. אז C = (8 , 0), B = (t , 0), D = (8 , t√8 − t).
AB = t√8 − t , BC = 8 − t
P(t) = 2t√8 − t + 2(8 − t)📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2a + 2b
את הנגזרת של t√8 − t חישבנו בסעיף ב:
P′(t) = 2 · 16 − 3t2√8 − t − 2
= 16 − 3t√8 − t − 2
16 − 3t√8 − t = 2
16 − 3t = 2√8 − t
אגף ימין חיובי, ולכן חייב להתקיים 16 − 3t > 0, כלומר t < 163. נעלה בריבוע:
256 − 96t + 9t2 = 4(8 − t)
9t2 − 92t + 224 = 0
t = 92 ± √8464 − 806418 = 92 ± 2018📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = 11218 ≈ 6.22 (נפסל, גדול מ־163)
t = 4
בדיקה: ב־t = 1: P′ = 13√7 − 2 > 0; ב־t = 5: P′ = 1√3 − 2 < 0. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – מקסימום.
f(4) = 4√4 = 8 ⇐ A = (4 , 8)
✅ פתרון סופי: A(4 , 8)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)x ≤ 8
סעיף א (2)חיובית: 0 < x < 8
שלילית: x < 0
סעיף בסקיצה
סעיף גA(4 , 8)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √x, המוגדרת בתחום x ≥ 0, ונתונה הפונקציה g(x) = 16x2 + 3, המוגדרת לכל x.

א. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה g(x).

(3) סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x).

בנקודה C(t , 0) מעבירים אנך לציר ה־x, t > 0.

האנך חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה g(x) בנקודה B.

ב. הביעו באמצעות t את מכפלת אורכי הקטעים AC ו־BC.

ג. הוכיחו כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו־BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה k(x) = 8√(x − 4)(x − 4)2 + 3, המוגדרת בתחום x ≥ 4.

ד. היעזרו בסעיפים הקודמים של השאלה. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה k(x), וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – נקודת הקיצון של g

g(x) = 16x2 + 3📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
g′(x) = 0 · (x2 + 3) − 16 · 2x(x2 + 3)2
g′(x) = −32x(x2 + 3)2
g′(x) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
−32x = 0
x = 0
המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של g′ הפוך לסימן של x:
ב־x < 0 מתקיים g′ > 0, ולכן g עולה.
ב־x > 0 מתקיים g′ < 0, ולכן g יורדת.
לכן ב־x = 0 יש נקודת מקסימום.
g(0) = 160 + 3 = 163
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 163)

סעיף א (2) – נקודות הפיתול של g

נגזור את g′(x) = −32x(x2 + 3)2 לפי כלל המנה:
u = −32x , v = (x2 + 3)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′ = −32 , v′ = 2(x2 + 3) · 2x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[f(x)n]′ = n · f(x)n−1 · f′(x)
= 4x(x2 + 3)
המונה של g″:
u′v − uv′ = −32(x2 + 3)2 + 32x
· 4x(x2 + 3)
= (x2 + 3)(−32(x2 + 3) + 128x2)
= (x2 + 3)(−32x2 − 96 + 128x2)
= (x2 + 3)(96x2 − 96)
g″(x) = (x2 + 3)(96x2 − 96)(x2 + 3)4
g″(x) = 96(x2 − 1)(x2 + 3)3
g″(x) = 0📐 תנאי לנקודת פיתולf″(x) = 0
x2 − 1 = 0
x = 1 או x = −1
המכנה חיובי, ולכן הסימן של g″ כסימן של x2 − 1 – ויש שינוי סימן:
xx < −1−1−1 < x < 11x > 1
g″+0−0+
g∪פיתול∩פיתול∪
g(1) = 161 + 3 = 4
g(−1) = 161 + 3 = 4
✅ פתרון סופי: (1 , 4) , (−1 , 4)

סעיף א (3) – סקיצה של f ושל g

g(x) [סגול]: מוגדרת לכל x, חיובית תמיד (מונה ומכנה חיוביים), זוגית, מקסימום (0 , 163), נקודות פיתול (1 , 4) ו־(−1 , 4), ואסימפטוטה אופקית y = 0 (מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה).
f(x) = √x [כחול]: מתחילה בנקודה (0 , 0) ועולה לכל x > 0.
xy−4−224g(x)f(x)(0 , 16/3)(1 , 4)(−1 , 4)(0 , 0)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ב – מכפלת האורכים AC ו־BC

הנקודות A ו־B נמצאות על האנך x = t:
A(t , √t) , B(t , 16t2 + 3)
כאשר t > 0 שתי הפונקציות חיוביות, ולכן האורכים הם ערכי ה־y:
AC = √t
BC = 16t2 + 3
AC · BC = √t · 16t2 + 3
AC · BC = 16√tt2 + 3
xyg(x)f(x)ABC(t , 0)
✅ פתרון סופי: AC · BC = 16√tt2 + 3

סעיף ג – המכפלה מקסימלית בנקודת הפיתול

נסמן P(t) = 16√tt2 + 3 , t > 0, ונגזור:
P′(t)📐 נגזרת של מנה ושל שורש(uv)′ = u′v − uv′v2 , (√x)′ = 12√x
= 16 · 12√t · (t2 + 3) − 16√t · 2t(t2 + 3)2
כופלים את המונה ואת המכנה ב־√t:
P′(t) = 8(t2 + 3) − 32t2√t (t2 + 3)2
P′(t) = 24 − 24t2√t (t2 + 3)2
P′(t) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
24 − 24t2 = 0
t2 = 1
t = 1
(t = −1 נפסל, כי t > 0.) המכנה חיובי, ולכן הסימן של P′ כסימן של 24 − 24t2:
ב־0 < t < 1 מתקיים P′ > 0, ולכן P עולה.
ב־t > 1 מתקיים P′ < 0, ולכן P יורדת.
לכן ב־t = 1 יש מקסימום.
המכפלה מקסימלית כאשר t = 1. אז הנקודה B היא:
B(1 , g(1))
B(1 , 4)
לפי סעיף א (2), הנקודה (1 , 4) היא נקודת פיתול של g(x).
✅ פתרון סופי: המכפלה מקסימלית כאשר t = 1, ואז B(1 , 4) – נקודת הפיתול של g. הוכח

סעיף ד – נקודת הקיצון הפנימית של k

נשווה את k(x) לפונקציה P(t) מסעיף ג:
k(x) = 8√(x − 4)(x − 4)2 + 3
k(x) = 12 · 16√(x − 4)(x − 4)2 + 3
k(x) = 12 · P(x − 4)📐 הזזה ומתיחה של גרףy = c · f(x − a)
הגרף של k מתקבל מהגרף של P בהזזה של 4 יחידות ימינה, ובכפל של ערכי ה־y ב־12.
ההזזה ימינה מזיזה את נקודת הקיצון 4 יחידות ימינה. כפל במספר חיובי לא משנה את סוג הקיצון, ורק מקטין את ערך ה־y פי 2.
לפי סעיף ג, ל־P יש מקסימום יחיד, ב־t = 1:
P(1) = 16 · 11 + 3 = 4
x = 1 + 4 = 5
k(5) = 12 · 4 = 2
בדיקה בהצבה: k(5) = 8 · 11 + 3 = 2 ✓
✅ פתרון סופי: מקסימום (5 , 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)מקסימום (0 , 163)
סעיף א (2)(1 , 4) , (−1 , 4)
סעיף א (3)סקיצה
סעיף בAC · BC = 16√tt2 + 3
סעיף גהמכפלה מקסימלית כאשר t = 1, ואז B(1 , 4) – נקודת הפיתול של g. הוכח
סעיף דמקסימום (5 , 2)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

לפניכם שלוש פונקציות שלכל אחת מהן יש שני ערכי x שבהם היא אינה מוגדרת.

g(x) = x2 − 1(x + 1)(x + 2) , h(x) = x3x(x + 2) , k(x) = x3 − 1x2(x + 2)

ידוע כי לאחת משלוש הפונקציות יש אסימפטוטה אופקית אחת ואסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

א. מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקצייה מקיימת את כל התכונות האלה. נמקו את קביעתכם.

ענו על סעיפים ב–ד עבור הפונקצייה שקבעתם בסעיף א.

ב. (1) מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית של הפונקצייה.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים.

נתון כי לפונקצייה זו אין נקודות קיצון.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה.

נסמן נקודה A על גרף הפונקצייה, שבעבורה x = t , −1 < t < 1.

מן הנקודה A מעבירים שני ישרים, האחד מאונך לציר ה־x והאחר מאונך לאסימפטוטה האנכית של הפונקצייה, כך שנוצר מלבן על ידי שני הישרים, על ידי האסימפטוטה האנכית ועל ידי ציר ה־x.

ד. מצאו את ערכו של t שבעבורו היקף המלבן המתקבל הוא מינימלי. תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – איזו פונקציה

g(x): לא מוגדרת ב־x = −1 , −2. נצמצם:
g(x) = (x − 1)(x + 1)(x + 1)(x + 2)📐 נוסחה: נקודת אי־רציפות (חור)המונה והמכנה מתאפסים יחד ⟸ מצמצמים; אם אחרי הצמצום המכנה לא מתאפס – חור, לא אסימפטוטה
g(x) = x − 1x + 2 , x ≠ −1
ב־x = −1 חור, ב־x = −2 אסימפטוטה אנכית אחת. מעלות שוות – אסימפטוטה אופקית אחת y = 1. ✓
h(x): h(x) = x2x + 2 (x ≠ 0). מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה – אין אסימפטוטה אופקית. ✗
k(x): ב־x = 0 המונה −1 ≠ 0 וב־x = −2 המונה −9 ≠ 0 – שתי אסימפטוטות אנכיות. ✗
רק g מקיימת את התכונות.📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית – מנהמעלת המונה = מעלת המכנה ⟸ y = יחס המקדמיםמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה ⟸ אין
✅ פתרון סופי: g(x)

סעיף ב (1) – אסימפטוטות

y = 11 = 1📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית – מנהמעלת המונה = מעלת המכנה ⟸ y = יחס המקדמים המובילים
x = −2📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
✅ פתרון סופי: y = 1 , x = −2

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x: x − 1 = 0 ⟸ x = 1.
ציר ה־y:
g(0) = 0 − 10 + 2 = −12
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (0 , −0.5)

סעיף ג – סקיצה

החור: g(−1) = −1 − 1−1 + 2 = −2 – עיגול ריק ב־(−1 , −2).
אין קיצון: g′(x) = 3(x + 2)2 > 0 – הפונקציה עולה בכל ענף. משמאל ל־x = −2 הגרף מעל y = 1 ועולה ל־∞; מימין הוא עולה מ־−∞, עובר ב־(0 , −0.5) וב־(1 , 0) ומתקרב ל־y = 1 מלמטה.
xy11Ax = −2
━ g(x) (כחול) ━ המלבן (כתום)
עיגול ריק: החור (−1 , −2).

סעיף ד – היקף מינימלי

עבור −1 < t < 1: t − 1 < 0 ו־t + 2 > 0, ולכן הנקודה A מתחת לציר ה־x.
רוחב המלבן – המרחק מהאסימפטוטה x = −2 עד x = t; גובהו – המרחק מציר ה־x עד A:
a = t + 2
b = −g(t) = 1 − tt + 2
P(t) = 2(t + 2) + 2(1 − t)t + 2📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2(a + b)
(1 − tt + 2)′ = −(t + 2) − (1 − t)(t + 2)2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −3(t + 2)2
P′(t) = 2 − 6(t + 2)2
2 − 6(t + 2)2 = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
(t + 2)2 = 3
t + 2 = √3 (t + 2 > 0)
t = √3 − 2 ≈ −0.27
בדיקה: עבור t = −0.5: P′ = 2 − 62.25 < 0; עבור t = 0: P′ = 2 − 64 > 0 – מינימום.
✅ פתרון סופי: t = √3 − 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אg(x)
סעיף ב (1)y = 1 , x = −2
סעיף ב (2)(1 , 0) , (0 , −0.5)
סעיף גסקיצה
סעיף דt = √3 − 2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 46 – נקודת אי רציפות (חור)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x3 + 4x2 , המוגדרת לכל x.

הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע השני (ראו סרטוט).

מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x). המשיק חותך את ציר ה־y בנקודה C.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה B.

א. הביעו באמצעות t את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה B.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה־x.

ב. מהו תחום הערכים של t?

הנקודה O היא ראשית הצירים.

ג. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

סרטוט שאלה 8: גרף f, הנקודה B והמשיק

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – משוואת המשיק

f′(x) = 3x2 + 8x📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
B(t , t3 + 4t2) , f′(t) = 3t2 + 8t
y − (t3 + 4t2) = (3t2 + 8t)(x − t)📐 משוואת משיקy − f(t) = f′(t)(x − t)
y
= (3t2 + 8t)x − 3t3 − 8t2 + t3 + 4t2
y = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2
✅ פתרון סופי: y = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2

סעיף ב – תחום הערכים של t

B ברביע השני: t < 0 ו־f(t) > 0:
t2(t + 4) > 0 ⟸ t > −4
−4 < t < 0
C מתחת לציר ה־x: נציב x = 0 במשיק:
C(0 , −2t3 − 4t2)
−2t3 − 4t2 < 0
−2t2(t + 2) < 0
−2t2 < 0, ולכן צריך:
t + 2 > 0 ⟸ t > −2
שני התנאים יחד:
−2 < t < 0
✅ פתרון סופי: −2 < t < 0

סעיף ג – השטח המקסימלי

הבסיס OC על ציר ה־y, והגובה הוא המרחק של B מציר ה־y, כלומר −t:
OC = 2t3 + 4t2
S(t) = (2t3 + 4t2)(−t)2 = −t4 − 2t3📐 שטח משולשS = a · h2
S′(t) = −4t3 − 6t2 = −2t2(2t + 3)📐 נגזרת של חזקה(tn)′ = n · tn − 1
S′(t) = 0 ⟸ t = −1.5
• −2 < t < −1.5: ‏S′ > 0 – עולה.
• −1.5 < t < 0: ‏S′ < 0 – יורדת.
עלייה ואז ירידה – מקסימום.
S(−1.5) = −5.0625 + 6.75
= 1.6875 = 2716
בסרטוט (בקנה מידה) המצב שבו t = −1.5: הגרף (כחול), המשיק (סגול, מקווקו) והמשולש OBC (תכלת):
xy−4−3−2−11246810B(−1.5 , 5.625)C(0 , −2.25)Of(x)
✅ פתרון סופי: 2716 = 1.6875

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אy = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2
סעיף ב−2 < t < 0
סעיף ג2716
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = x3 ו־g(x) = √(f(x)).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), והנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה g(x), כך שהקטע AB מקביל לציר ה־x.

שיעור ה־x של הנקודה A הוא t, והוא נמצא בין שיעורי ה־x של נקודות החיתוך שמצאתם בתת־סעיף א(2).

ב. הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.

ג. O היא ראשית הצירים. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המשולש OAB מקסימלי, וחשבו את השטח המקסימלי.

ד. האם בעבור הערך של t שמצאתם בסעיף ג גם אורך הקטע AB מקסימלי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחומי הגדרה

f(x) = x3 – פולינום, מוגדרת לכל x.
g(x) = √(x3)
ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורש√u מוגדר כאשר u ≥ 0
x3 ≥ 0
x ≥ 0
✅ פתרון סופי: f(x): כל x ; g(x): x ≥ 0

סעיף א (2) – נקודות החיתוך

x3 = √(x3) , x ≥ 0
נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים):
x6 = x3
x6 − x3 = 0
x3(x3 − 1) = 0
x = 0 או x = 1
f(0) = 0 , f(1) = 1
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (1 , 1)

סעיף ב – אורך הקטע AB

xy11ABOfg
f(x) (כחול), g(x) (סגול), המשולש OAB (תכלת) – מצויר עבור t = 0.8.
A(t , t3) , 0 < t < 1
AB מקביל לציר ה־x, ולכן ל־B אותו שיעור y: g(xB) = t3.
√(xB3) = t3
xB3 = t6
xB = t2
B(t2 , t3)
בתחום 0 < t < 1 מתקיים t2 < t, ולכן B משמאל ל־A:
AB = xA − xB = t − t2📐 נוסחה: אורך קטע מקביל לציר xd = x2 − x1
✅ פתרון סופי: AB = t − t2

סעיף ג – שטח מקסימלי של המשולש OAB

הבסיס AB, והגובה הוא המרחק מ־O לישר y = t3, כלומר t3.
S(t) = AB · h2 = (t − t2) · t32📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
S(t) = t4 − t52
S′(t) = 4t3 − 5t42📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
S′(t) = 0
t3(4 − 5t) = 0
t = 0 או t = 45
t = 0 לא בתחום 0 < t < 1, ולכן t = 45.
בדיקת סוג הקיצון:
S′(0.5) = 4 · 0.125 − 5 · 0.06252📐 משפט: עלייה וירידהS′ > 0 – עולהS′ < 0 – יורדת
S′(0.5) = 0.09375 > 0
S′(0.9) = 4 · 0.729 − 5 · 0.65612
S′(0.9) = −0.18225 < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום ב־t = 45.
S(45) = 0.84 − 0.852
S(45) = 0.4096 − 0.327682
S = 0.081922 = 0.04096 = 1283125
✅ פתרון סופי: t = 45 , Smax = 1283125 = 0.04096

סעיף ד – האם גם AB מקסימלי?

AB(t) = t − t2
AB′(t) = 1 − 2t📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
1 − 2t = 0
t = 12
AB′ חיובית לפני 12 ושלילית אחריו – אורך AB מקסימלי ב־t = 12, ולא ב־t = 45.
AB(45) = 0.8 − 0.64 = 0.16
AB(12) = 0.5 − 0.25 = 0.25
✅ פתרון סופי: לא – אורך AB מקסימלי ב־t = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)f – כל x , g – x ≥ 0
סעיף א (2)(0 , 0) , (1 , 1)
סעיף בt − t2
סעיף גt = 0.8 , S = 0.04096
סעיף דלא (מקסימום ב־t = 0.5)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות: f(x) = x − 1x − 3 , g(x) = x − 3x − 1 .

ענו על סעיף א בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x) ו־g(x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים.

בסרטוט שלפניכם מתואר חלק מן הגרף של הפונקצייה f(x), חלק מן הגרף של הפונקצייה g(x), ומלבן החסום ביניהם ובין ציר ה־x.

צלע BC של המלבן מונחת על ציר ה־x, והצלע הנגדית, AD, מחברת בין נקודה על הגרף של f(x) ובין נקודה על הגרף של g(x), כמתואר בסרטוט.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

ב. קבעו מהו תחום הערכים האפשרי של t.

ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הצלע AB.

(2) הוכיחו ששיעור ה־x של הנקודה D הוא 4 − t.

(3) הביעו באמצעות t את שטח המלבן ABCD.

ד. מצאו את t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחומי הגדרה

f(x) : x − 3 ≠ 0
⟹ x ≠ 3
g(x) : x − 1 ≠ 0
⟹ x ≠ 1
✅ פתרון סופי: f: x ≠ 3
g: x ≠ 1

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(x):
f(0) = −1−3 = 13
f(x) = 0
⟹ x − 1 = 0
⟹ x = 1
g(x):
g(0) = −3−1 = 3
g(x) = 0
⟹ x − 3 = 0
⟹ x = 3
✅ פתרון סופי: f: (0 , 13) , (1 , 0)
g: (0 , 3) , (3 , 0)

סעיף ב – תחום הערכים של t

xy123−1ABCDfg
f(x) (כחול), g(x) (סגול), האסימפטוטות x = 1 ו־x = 3 (ירוק, מקווקו), והמלבן המקסימלי.
הנקודה A על הגרף של g מתחת לציר ה־x:
g(t) < 0
⟹ t − 3t − 1 < 0
⟹ 1 < t < 3
המלבן נמצא מעל נקודת החיתוך של שני הגרפים:
x − 1x − 3 = x − 3x − 1
(x − 1)2 = (x − 3)2
−2x + 1 = −6x + 9
x = 2
y = f(2) = −1
בצד ימין של נקודת החיתוך נמצא הגרף של g, ושם נמצאת A:
2 < t < 3
✅ פתרון סופי: 2 < t < 3

סעיף ג (1) – אורך AB

A = (t , g(t)) מתחת לציר, ו־B = (t , 0):
AB = −g(t) = 3 − tt − 1
✅ פתרון סופי: AB = 3 − tt − 1

סעיף ג (2) – שיעור ה־x של D

AD מקביל לציר ה־x, ולכן ל־D אותו שיעור y כמו ל־A. נסמן D = (x , f(x)):
x − 1x − 3 = t − 3t − 1
(x − 1)(t − 1) = (t − 3)(x − 3)
xt − x − t + 1
= xt − 3x − 3t + 9
2x = 8 − 2t
x = 4 − t
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (3) – שטח המלבן

AD = t − (4 − t) = 2t − 4
S(t) = AD · AB📐 נוסחה: שטח מלבןS = a · b
S(t) = (2t − 4) · 3 − tt − 1
S(t) = 2(−t2 + 5t − 6)t − 1
✅ פתרון סופי: S = (2t − 4)(3 − t)t − 1

סעיף ד – שטח מקסימלי

u = −t2 + 5t − 6
u′ = −2t + 5
v = t − 1
v′ = 1
S′(t) = 2 · u′v − uv′v2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
(−2t + 5)(t − 1) = −2t2 + 7t − 5
u′v − uv′ = (−2t2 + 7t − 5)
− (−t2 + 5t − 6)
= −t2 + 2t + 1
S′(t) = 2 · −t2 + 2t + 1(t − 1)2
S′(t) = 0📐 תנאי: נקודת קיצוןf′(x) = 0
t2 − 2t − 1 = 0
t = 2 ± √82 = 1 ± √2📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 1 − √2 לא בתחום. t = 1 + √2 ≈ 2.41 בתחום 2 < t < 3.
S′(2.2) = 2 · 0.561.44 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
S′(2.8) = 2 · −1.243.24 < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום.
✅ פתרון סופי: t = 1 + √2 ≈ 2.41

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אf: x ≠ 3 ; (0 , 1/3) , (1 , 0)
g: x ≠ 1 ; (0 , 3) , (3 , 0)
סעיף ב2 < t < 3
סעיף ג (1)AB = 3 − tt − 1
סעיף ג (2)הוכח
סעיף ג (3)S = (2t − 4)(3 − t)t − 1
סעיף דt = 1 + √2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) = √(ax4 + bx3) בתחום ההגדרה שלה, 0 ≤ x ≤ 4.

סרטוט שאלה 8: גרף הפונקציה f בתחום 0 עד 4

א. (1) הוכיחו כי b = −4a.

(2) לפניכם שתי טענות I ו־II. רק אחת מהן נכונה. קבעו איזו מהן נכונה. נמקו.

I. a > 0 , b < 0    II. a < 0 , b > 0

הנקודה P נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))2, שתחום ההגדרה שלה הוא 0 ≤ x ≤ 4. מהנקודה P הורידו אנך לציר ה־x. נסמן את נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה־x ב־M, ואת ראשית הצירים ב־O.

ב. מהו שיעור ה־x של הנקודה P, שעבורו שטח המשולש PMO יהיה מקסימלי? נמקו.

ג. הביעו באמצעות a את השטח המקסימלי של המשולש PMO.

ד. אם שיעור ה־x של הנקודה P נמצא בתחום שבו הפונקציה (f(x))2 אינה יורדת, מהו שיעור ה־x של הנקודה P שעבורו שטח המשולש PMO יהיה מקסימלי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הוכחה ש־b = −4a

מהגרף: הנקודה (4 , 0) נמצאת על הגרף, כלומר f(4) = 0:📐 כלל: נקודה על גרףמציבים את שיעוריה בפונקציה
√(a · 44 + b · 43) = 0📐 כלל: נקודה על גרףf(4) = 0
256a + 64b = 0📐 כלל: שורש שווה 0√u = 0 ⟺ u = 0
64b = −256a📐 נוסחה: חילוק משוואהמחלקים את שני האגפים ב־64
⟹ b = −4a
✅ פתרון סופי: הוכחה – b = −4a

סעיף א (2) – איזו טענה נכונה?

ax4 + bx3 = ax4 − 4ax3📐 נוסחה: הוצאת גורם משותףax4 − 4ax3 = ax3(x − 4)
= ax3(x − 4)
הפונקציה מוגדרת בכל התחום, ולכן הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי. עבור 0 < x < 4:📐 כלל: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
x3 > 0📐 כלל: סימן מכפלהחיובי · שלילי = שלילי
x − 4 < 0
⟹ x3(x − 4) < 0
a · x3(x − 4) ≥ 0📐 כלל: סימן מכפלהשלילי · שלילי = חיובי
⟹ a < 0
b = −4a > 0📐 הוכח: סעיף א (1)b = −4a
✅ פתרון סופי: טענה II נכונה (a < 0 , b > 0)

סעיף ב – x שעבורו השטח מקסימלי

לנקודה P שיעורים (x , ax4 − 4ax3), ולכן OM = x ו־PM = ax4 − 4ax3:📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
S(x) = x(ax4 − 4ax3)2 = ax5 − 4ax42📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
S′(x) = 5ax4 − 16ax32 = ax3(5x − 16)2📐 נוסחה: נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
S′(x) = 0📐 כלל: נקודה חשודה לקיצוןS′(x) = 0
⟹ x = 0
או
x = 3.2
x = 0 נותן משולש מנוון (שטח 0). נבדוק את הסימן של S′ (a < 0): עבור 0 < x < 3.2 – ax3 < 0 ו־5x − 16 < 0, ולכן S′ > 0; עבור 3.2 < x < 4 – S′ < 0.📐 כלל: סוג הקיצוןS′ משנה סימן מ־ + ל־ − ⟸ מקסימום

xy3.24OMPy = (f(x))²

✅ פתרון סופי: x = 3.2

סעיף ג – השטח המקסימלי

S(3.2) = a · 3.24 · (3.2 − 4)2📐 חישוב: הצבהS(x) = ax4(x − 4)2
S(3.2) = a · 104.8576 · (−0.8)2📐 חישוב: חישוב3.24 = 104.8576
≈ −41.94a
a < 0, ולכן −41.94a הוא מספר חיובי, כמו שטח צריך להיות.
✅ פתרון סופי: Sמקס ≈ −41.94a

סעיף ד – כאשר (f(x))2 אינה יורדת

((f(x))2)′ = (ax4 − 4ax3)′📐 נוסחה: נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
= 4ax3 − 12ax2
= 4ax2(x − 3)
a < 0: עבור 0 < x < 3 – x − 3 < 0, ולכן הנגזרת חיובית (עולה); עבור 3 < x < 4 – הנגזרת שלילית (יורדת).📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
0 ≤ x ≤ 3📐 מסקנה: תחום שבו הפונקציה אינה יורדתעד נקודת המקסימום x = 3
מסעיף ב, S(x) עולה בכל התחום 0 < x < 3.2, ובפרט בכל הקטע 0 ≤ x ≤ 3. לכן השטח מקסימלי בקצה הקטע:📐 כלל: קיצון בקטעפונקציה עולה בקטע מקבלת מקסימום בקצה הימני
x = 3📐 כלל: קיצון בקטעפונקציה עולה בקטע מקבלת מקסימום בקצה הימני
✅ פתרון סופי: x = 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

א (1)הוכחה
א (2)טענה II
בx = 3.2
ג≈ −41.94a
דx = 3
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – בעיית קיצון עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📐 בעיות קיצון הנדסיות

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

הקטע AB הוא קוטר במעגל שרדיוסו R. מסמנים על הקוטר נקודה C ועל המעגל מסמנים נקודה D, כך שהקטע CD מאונך לקטע AB. הקטע AC גדול מ־R. דרך הנקודה D מעבירים ישר שמקביל לקוטר AB. דרך הנקודה A מעבירים משיק למעגל. הישר המקביל והמשיק נחתכים בנקודה E. נסמן: AC = x.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי.

הנקודה F נמצאת על הצלע DE. ב. הביעו באמצעות R את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים CDF ו־AFE.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח מלבן מקסימלי

נסמן ב־O את מרכז המעגל. AC = x > R, ולכן C בין O ל־B, ו־OC = x − R. OD = R (רדיוס).
CD = √R2 − (x − R)2 = √2Rx − x2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש OCDa2 + b2 = c2
ACDE מלבן (המשיק ב־A מאונך לקוטר, ו־DE ∥ AB), ולכן:
S(x) = AC · CD
= x√2Rx − x2 , R < x < 2R
S′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה ושל שורש(uv)′ = u′v + uv′ , (√u)′ = u′2√u
= √2Rx − x2 + x · 2R − 2x2√2Rx − x2
= 2Rx − x2 + Rx − x2√2Rx − x2 = 3Rx − 2x2√2Rx − x2
x(3R − 2x) = 0 ⇐ x
= 1.5R (x > R)
ב־R < x < 1.5R הנגזרת חיובית, וב־1.5R < x < 2R שלילית – מקסימום.
ABCDEO
✅ פתרון סופי: x = 1.5R

סעיף ב – סכום השטחים

שני המשולשים ישרי זווית: CDF – זווית ישרה ב־D, וגובהו CD; AFE – זווית ישרה ב־E, וגובהו AE = CD.
SCDF + SAFE📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
= ½ · CD · DF + ½ · CD · FE
= ½ · CD · DE
כלומר סכום השטחים הוא תמיד חצי משטח המלבן, והוא מקסימלי כשהמלבן מקסימלי (x = 1.5R):
CD = √3R2 − 2.25R2 = √0.75R
= √32R
SACDE = 1.5R · √32R = 3√34R2
SCDF + SAFE = ½ · 3√34R2
= 3√38R2 ≈ 0.65R2
✅ פתרון סופי: 3√38R2 ≈ 0.65R2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 1.5R
סעיף ב3√38R2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B.

הרוחב של גינה A הוא t מטרים.

הרוחב של גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא 2t + 2 מ"ר, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

האורך הכולל של שתי הגינות הוא k מטרים. k הוא קבוע.

שתי הגינות A ו־B – סרטוט מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות k ו־t את שטח הגינה A.

ב. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה B ובין שטח הגינה A הוא מינימלי.

ג. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה A ובין שטח הגינה B הוא מקסימלי. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח הגינה A

נסמן ב־b את האורך של גינה B. הרוחב שלה 2 והשטח שלה 2t + 2:
2b = 2t + 2📐 שטח מלבןS = a · b
b = t + 1
האורך הכולל של שתי הגינות הוא k, ולכן האורך של גינה A:
k − b = k − t − 1
SA = t(k − t − 1)📐 שטח מלבןS = a · b
✅ פתרון סופי: SA = t(k − t − 1)

סעיף ב – היחס SB : SA מינימלי

תחום: האורכים חיוביים – t > 0 ו־k − t − 1 > 0, כלומר 0 < t < k − 1.
r(t) = SBSA = 2t + 2kt − t2 − t
נגזור לפי כלל המנה, עם u = 2t + 2 , v = kt − t2 − t:
u′ = 2 , v′ = k − 2t − 1📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
המונה של r′(t) הוא u′v − uv′:
u′v = 2(kt − t2 − t)
u′v = 2kt − 2t2 − 2t
uv′ = (2t + 2)(k − 2t − 1)
uv′ = 2kt − 4t2 − 6t + 2k − 2
u′v − uv′ = 2kt − 2t2 − 2t
− 2kt + 4t2 + 6t − 2k + 2
= 2t2 + 4t − 2k + 2
= 2(t2 + 2t − k + 1)
r′(t) = 2(t2 + 2t − k + 1)(kt − t2 − t)2
r′(t) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
t2 + 2t − k + 1 = 0
(t + 1)2 = k
t + 1 = √k
t = √k − 1
(t + 1 = −√k נפסל, כי t > 0.) המכנה חיובי, והמונה 2((t + 1)2 − k) שלילי משמאל ל־√k − 1 וחיובי מימינו:
t0 < t < √k − 1√k − 1√k − 1 < t < k − 1
r′−0+
r↘מינ׳↗
✅ פתרון סופי: t = √k − 1

סעיף ג – היחס SA : SB מקסימלי

SASB = 1r(t)
היחס r(t) חיובי. כאשר מספר חיובי קטן ביותר, ההופכי שלו גדול ביותר. לפי סעיף ב, r(t) מינימלי כאשר t = √k − 1, ולכן שם 1r(t) מקסימלי.
✅ פתרון סופי: t = √k − 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אSA = t(k − t − 1)
סעיף בt = √k − 1
סעיף גt = √k − 1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

ישר ששיפועו −2 חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה B, ואת החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה A.

הנקודה D נמצאת על הישר AB ברביע הראשון.

הנקודה E נמצאת על ציר ה־x כך שהקטע DE מקביל לציר ה־y.

הנקודה O היא ראשית הצירים, כמתואר בסרטוט.

נסמן את אורך הקטע OE ב־p.

נתון: שטח המשולש OED הוא p2.

א. הביעו באמצעות p את משוואת הישר AB.

ב. מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.

סרטוט שאלה 8: הישר AB והמשולש OED

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – משוואת הישר AB

נסמן B(b , 0), ‏b > 0:
y − 0 = −2(x − b)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + 2b
הנקודה D מעל E(p , 0):
D(p , −2p + 2b)
DE = 2b − 2p
המשולש OED ישר זווית ב־E:
SOED = p(2b − 2p)2 = p(b − p)📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2
p(b − p) = p2
p > 0, ולכן נחלק ב־p:
b − p = 12
b = p + 12
y = −2x + 2p + 1
✅ פתרון סופי: y = −2x + 2p + 1

סעיף ב – היחס המקסימלי

A(0 , 2p + 1) , B(p + 12 , 0)
SABO = (p + 12)(2p + 1)2 = (2p + 1)24
נסמן את היחס:
k(p) = p2(2p + 1)24
= 2p(2p + 1)2 , p > 0
k′(p)📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2(2p + 1)2 − 2p · 2(2p + 1) · 2(2p + 1)4
= 2(2p + 1)[(2p + 1) − 4p](2p + 1)4
= 2(1 − 2p)(2p + 1)3
k′(p) = 0 ⟸ p = 12
• 0 < p < 12: ‏k′ > 0 – עולה.
• p > 12: ‏k′ < 0 – יורדת.
עלייה ואז ירידה – מקסימום ב־p = 12.
k(12) = 14
בסרטוט (בקנה מידה) המצב שבו p = 0.5. הישר הוא y = −2x + 2, המשולש OED בירוק והמשולש ABO בתכלת:
12xyABDEO
✅ פתרון סופי: p = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אy = −2x + 2p + 1
סעיף בp = 12
היחס 14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

חותכים חוט שאורכו k לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים משולש שווה־צלעות, ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן ב־x את אורך צלע המשולש.

א. הביעו באמצעות k את תחום ההגדרה של x.

ב. הביעו באמצעות k את אורך צלע המשולש שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

ג. הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות מינימלי, אי אפשר לחסום את המשולש שהתקבל במעגל שהתקבל.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום ההגדרה

היקף המשולש 3x, ולמעגל נשאר k − 3x. שני החלקים חיוביים:
3x > 0 , k − 3x > 0
0 < x < k3
✅ פתרון סופי: 0 < x < k3

סעיף ב – סכום שטחים מינימלי

Sמשולש = √34x2📐 נוסחה: שטח משולש שווה־צלעותS = √34a2
רדיוס המעגל:
2πr = k − 3x ⟸ r = k − 3x2π📐 נוסחה: היקף מעגלP = 2πr
Sמעגל = π · (k − 3x2π)2 = (k − 3x)24π📐 נוסחה: שטח מעגלS = πr2
S(x) = √34x2 + (k − 3x)24π
S′(x) = √32x + 2(k − 3x) · (−3)4π📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת[(ax + b)2]′ = 2a(ax + b)
= √32x − 3(k − 3x)2π
S′(x) = 0
√32x = 3(k − 3x)2π
√3 π x = 3k − 9x
x(9 + √3 π) = 3k
x = 3k9 + √3 π ≈ 0.2077k
בדיקת סוג: S′ פונקציה קווית עולה (המקדם של x הוא √32 + 92π > 0), כלומר S′ < 0 משמאל לנקודה ו־S′ > 0 מימינה – ירידה ואז עלייה, מינימום.
✅ פתרון סופי: x = 3k9 + √3 π ≈ 0.207k

סעיף ג – אי אפשר לחסום את המשולש במעגל

כאשר x = 3k9 + √3 π:
k − 3x = k − 9k9 + √3 π = √3 π k9 + √3 π
r = k − 3x2π = √3 k2(9 + √3 π)📐 נוסחה: היקף מעגלP = 2πr
רדיוס המעגל החוסם משולש שווה־צלעות שצלעו x:
R = x√3 = 3k√3(9 + √3 π) = √3 k9 + √3 π📐 משפט: משפט הסינוסיםasin 60 = 2R ⟸ R = a√3
Rr = √3 k9 + √3 π√3 k2(9 + √3 π) = 2
רדיוס המעגל שהתקבל הוא רק חצי מרדיוס המעגל שחוסם את המשולש, ולכן אי אפשר לחסום את המשולש במעגל שהתקבל. (למעשה r = x2√3 – זה בדיוק רדיוס המעגל החסום בתוך המשולש.)
בסרטוט (בקנה מידה): המשולש בכחול, המעגל שהתקבל בסגול (חסום בתוך המשולש), והמעגל שחוסם את המשולש בירוק – פי 2 ממנו:
✅ פתרון סופי: הוכחה – R = 2r, ולכן אי אפשר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א0 < x < k3
סעיף ב3k9 + √3 π ≈ 0.207k
סעיף גהוכחה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים

📏 בעיות קיצון בטריגונומטרייה

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלהסרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

הנקודה E היא אמצע הצלע AB.

על הקטע AB בנו מלבן ABCD ומשולש ישר־זווית AFB (∢AFB = 90 מעלות), כמתואר בסרטוט.

נתון: ∢FAB = 2x , ∢ECB = x , AB = h.

א. מצאו את תחום הערכים האפשריים של x.

ב. הביעו באמצעות x ו־h את ההפרש CE − AF.

ג. מצאו את x שבעבורו ההפרש CE − AF מינימלי.

ד. מצאו את היחס בין שטח המלבן ABCD לשטח המשולש AFB בעבור x שמצאתם בסעיף ג.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הערכים של x

במשולש AFB הזווית F ישרה, ולכן הזווית ∢FAB חדה:
0 < 2x < 90📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
0 < x < 45
גם במשולש EBC (ישר־זווית ב־B) הזווית x חדה – תנאי שכבר מתקיים.
ברדיאנים: 0 < x < π4.
✅ פתרון סופי: 0 < x < 45 מעלות (0 < x < π4)

סעיף ב – ההפרש CE − AF

במשולש EBC (ישר־זווית ב־B): EB = h2 הוא הניצב שמול הזווית x, ו־CE הוא היתר:
sin x = EBCE = h/2CE📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
CE = h2 sin x
במשולש AFB (ישר־זווית ב־F): AF הוא הניצב שליד הזווית 2x, ו־AB = h הוא היתר:
cos 2x = AFAB = AFh📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
AF = h cos 2x
ההפרש:
CE − AF = h2 sin x − h cos 2x
✅ פתרון סופי: CE − AF = h2 sin x − h cos 2x

סעיף ג – x שבעבורו ההפרש מינימלי

נסמן d(x) = h2 sin x − h cos 2x ונגזור (x ברדיאנים):
d′(x) = −h cos x2 sin2x + 2h sin 2x📐 נוסחה: נגזרות(1sin x)′ = −cos xsin2x(cos 2x)′ = −2 sin 2x
נשווה ל־0 ונחלק ב־h:
2 sin 2x = cos x2 sin2x📐 משפט: קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
4 sin x cos x = cos x2 sin2x📐 נוסחה: זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
נכפיל ב־2 sin2x:
8 sin3x cos x = cos x
cos x(8 sin3x − 1) = 0
בתחום 0 < x < π4 מתקיים cos x ≠ 0, ולכן:
sin3x = 18
sin x = 12
x = π6
בדיקת סוג הקיצון (סימן הנגזרת):
x = π12 :
d′ ≈ h(−7.21 + 1) < 0
x = 2π9 :
d′ ≈ h(−0.93 + 1.97) > 0
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – נקודת מינימום.
✅ פתרון סופי: x = π6 (30 מעלות)

סעיף ד – יחס השטחים

עם x = 30 מעלות:
המלבן: במשולש EBC:
tan 30 = EBBC = h/2BC📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
BC = h2 tan 30 = h2 · √3 = √32h
SABCD = AB · BC = h · √32h = √32h2
המשולש: ∢FAB = 60 מעלות:
AF = h cos 60 = h2📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
BF = h sin 60 = √32h📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר
SAFB = AF · BF2📐 נוסחה: שטח משולש ישר־זוויתS = ניצב · ניצב2
SAFB = 12 · h2 · √32h
SAFB = √38h2
היחס:
SABCDSAFB = √32√38 = 4
ABCDEFx
━ המלבן (כחול) ━ המשולש AFB (ירוק) ━ CE (סגול)
הסרטוט בקנה מידה עבור הזווית של המינימום, 30 מעלות.
✅ פתרון סופי: 4 (שטח המלבן פי 4 משטח המשולש)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א0 < x < 45 מעלות
סעיף בh2 sin x − h cos 2x
סעיף גx = π6 (30 מעלות)
סעיף ד4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

נתון מעוין ABCD. נקודה E היא אמצע הצלע BC.

נסמן: ∢ECD = x.

נתון: שטח המשולש ECD הוא 18.

א. הביעו באמצעות x את אורך צלע המעוין.

ב. חשבו את האורך המינימלי של הקטע DE.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – צלע המעוין

נסמן את צלע המעוין k. CD = k ו־CE = k2 (E אמצע BC).
SECD = 12 · k2 · k · sin x📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
k2 sin x4 = 18
k2 = 72sin x
k = √(72sin x)
ABCDEH
✅ פתרון סופי: k = √(72sin x)

סעיף ב – האורך המינימלי של DE

נוריד אנך DH לישר BC:
DH = k sin x , CH = k cos x📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
EH = |k2 − k cos x|
DE2 = DH2 + EH2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
DE2 = k2 sin2 x + k2(12 − cos x)2
= k2(sin2 x + cos2 x − cos x + 14)
= k2(54 − cos x)
= 72sin x · (54 − cos x)
DE2 = 90 − 72 cos xsin x
נמצא מינימום של h(x) = 90 − 72 cos xsin x בתחום 0 < x < 180:
u = 90 − 72 cos x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′ = 72 sin x
v = sin x
v′ = cos x
h′(x) =
72 sin2 x − (90 − 72 cos x) cos xsin2 x
h′(x) =
72(sin2 x + cos2 x) − 90 cos xsin2 x
h′(x) = 72 − 90 cos xsin2 x
72 − 90 cos x = 0
cos x = 0.8
בדיקת סימן (המכנה חיובי):
cos x > 0.8 : h′(x) < 0
cos x < 0.8 : h′(x) > 0
לכן ב־cos x = 0.8 יש מינימום. שם sin x = 0.6:
DE2 = 90 − 72 · 0.80.6 = 32.40.6 = 54
DE = √54 = 3√6 ≈ 7.35
✅ פתרון סופי: DEmin = √54 = 3√6 ≈ 7.35

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אk = √(72sin x)
סעיף בDEmin = √54 = 3√6 ≈ 7.35
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

תעלה ראשית שרוחבה a מתחברת בזווית ישרה לתעלה משנית שרוחבה b, כמתואר בסרטוט.

הנקודה C היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראו סרטוט).

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

מהנדסת מתכננת סכר ישר, שיֵצא מן הנקודה A שבדופן התעלה הראשית, יעבור דרך הנקודה C ויגיע עד הנקודה B שבדופן התעלה המשנית.

הסכר ייצור זווית שגודלה x עם הדופן CD של התעלה המשנית, כמתואר בסרטוט.

א. הביעו באמצעות a , b ו־x את אורך הסכר AB.

נתון כי a = 2b.

ב. מצאו את x שבעבורו אורך הסכר AB יהיה מינימלי.

ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא 8. מצאו את b.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך הסכר

סרטוט מדויק בקנה מידה של המצב המינימלי (x ≈ 38.44 מעלות):
ABCDxa = 2bb
נחלק את הסכר לשני קטעים: AC (בתעלה הראשית) ו־CB (בתעלה המשנית).
הקטע AC: הרוחב a הוא המרחק האופקי בין C לדופן שעליו A. הזווית בין AC לקו אופקי היא x (זוויות מתחלפות בין מקבילים, CD אופקי).
cos x = aAC📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
AC = acos x
הקטע CB: הרוחב b הוא המרחק האנכי בין C לדופן התחתון של התעלה המשנית, והוא מול הזווית x:
sin x = bCB📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
CB = bsin x
AB = AC + CB = acos x + bsin x
✅ פתרון סופי: AB = acos x + bsin x

סעיף ב – x שבעבורו AB מינימלי

L(x) = 2bcos x + bsin x , 0 < x < π2
L′(x) = 2b sin xcos2x − b cos xsin2x📐 נוסחה: נגזרת(1cos x)′ = sin xcos2x(1sin x)′ = −cos xsin2x
L′(x) = 0
2b sin xcos2x = b cos xsin2x
2 sin3x = cos3x
tan3x = 12📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
tan x = ∛0.5 ≈ 0.7937
x ≈ 38.44 (≈ 0.671 רדיאנים)
בדיקת סוג הקיצון:
L′(0.5) ≈ b(1.244 − 3.819) < 0📐 משפט: עלייה וירידהL′ > 0 – עולהL′ < 0 – יורדת
L′(1) ≈ b(5.760 − 0.763) > 0
ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
✅ פתרון סופי: x ≈ 38.44 מעלות

סעיף ג – מציאת b

tan x ≈ 0.7937
cos x ≈ 0.7833
sin x ≈ 0.6217
Lmin = 2b0.7833 + b0.6217
Lmin ≈ 2.5534b + 1.6085b
Lmin ≈ 4.1619b
4.1619b = 8
b ≈ 1.92
✅ פתרון סופי: b ≈ 1.92

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אAB = acos x + bsin x
סעיף בx ≈ 38.44
סעיף גb ≈ 1.92
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 8

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC אורך הצלע BC הוא a.

נתון: ∢BAC = y (y ברדיאנים; בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).

נסמן: ∢ABC = x ( 0 < x < π − y ).

א. הבע באמצעות x , a ו־y את היקף המשולש ABC.

ב. הבע באמצעות y את ערך ה־x שבעבורו היקף המשולש ABC הוא מקסימלי.

ג. הסבר מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל ההיקף המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – ההיקף

∢ACB = π − x − y📐 נוסחה: סכום זוויות במשולשA + B + C = πsin(π − t) = sin t
לפי משפט הסינוסים:📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AC = a sin xsin y
AB = a sin(π − x − y)sin y = a sin(x + y)sin y
P(x) = a + a sin xsin y + a sin(x + y)sin y
✅ פתרון סופי: P = a + a sin x + a sin(x + y)sin y

סעיף ב – היקף מקסימלי

P′(x) = a cos x + a cos(x + y)sin y📐 נוסחה: נגזרת(sin x)′ = cos x(sin(x + y))′ = cos(x + y) ( y קבוע )
P′(x) = 0
⟹ cos x = −cos(x + y)
cos x = cos(π − x − y)
בתחום 0 < x < π − y שתי הזוויות בין 0 ל־π, לכן:📐 נוסחה: משוואה עם קוסינוסcos t = cos s ⟹ t = ±s + 2πk
x = π − x − y
x = π − y2
בדיקה: P″(x) = −a sin x + a sin(x + y)sin y < 0 (כל הסינוסים חיוביים בתחום) – מקסימום.
✅ פתרון סופי: x = π − y2

סעיף ג – הסבר

לפי סעיף ב, ההיקף מקסימלי כאשר x = π − y2. אז:
∢ACB = π − y − π − y2 = π − y2
∢ABC = ∢ACB
⟹ AB = AC
החישוב נכון לכל a ולכל y, ולכן מכל המשולשים עם צלע נתונה והזווית מולה נתונה – בעל ההיקף המקסימלי שווה שוקיים.
▬ המשולש שווה השוקיים (היקף מקסימלי) (ירוק חזק) · ▬ משולש אחר עם אותם נתונים (כחול)
BCAA′
✅ פתרון סופי: הוסבר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אP = a + a sin x + a sin(x + y)sin y
סעיף בx = π − y2
סעיף גהוסבר
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות