בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 571 לפי נושא – סדרות

כל השאלות בנושא סדרות מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. סדרה חשבונית, סדרה הנדסית וסכום של סדרה הנדסית אין־סופית. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: סדרות – 571

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

✖️ סדרות הנדסיות

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא q.

א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.

I. −1 < q < 0    II. 0 < q < 1    III. 1 < q

bn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים bn = an + an+1 + an+2 לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי הסדרה bn היא הנדסית ומנתה היא q.

נתון כי סכום הסדרה bn גדול פי 1.96 מסכום הסדרה an.

ג. מצאו את הערך של q.

cn היא סדרה שאיבריה מקיימים cn = bn4 · an לכל n טבעי. נתון כי סכום k האיברים הראשונים בסדרה הוא 34.79.

ד. (1) הוכיחו כי הסדרה cn היא קבועה. (2) מצאו את הערך של k.

החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה cn.

ה. מצאו את סכום k האיברים הראשונים בסדרה cn לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזו טענה נכונה

כל האיברים חיוביים. כדי שהסימן לא יתחלף, המנה חייבת להיות חיובית: אם q < 0, האיברים מתחלפים בין חיובי לשלילי. לכן טענה I נפסלת.
הסדרה יורדת, כלומר כל איבר קטן מקודמו:📐 הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q
an+1 < an
נחלק ב־an > 0 (חיובי, ולכן כיוון אי־השוויון נשמר):
an+1an < 1
q < 1
יחד עם q > 0: 0 < q < 1. לכן גם טענה III נפסלת (q > 1 נותן סדרה עולה).
✅ פתרון סופי: טענה II: 0 < q < 1 נכונה

סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q

סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה. נחשב את bn+1bn:📐 הגדרת סדרה הנדסיתהמנה bn+1bn קבועה
לפי הגדרת bn (מציבים n + 1 במקום n):
bn+1 = an+1 + an+2 + an+3
בסדרה ההנדסית an כל איבר שווה לקודמו כפול q:📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
an+1 = anq ,   an+2 = an+1q
an+3 = an+2q
bn+1 = anq + an+1q + an+2q
bn+1 = q(an + an+1 + an+2)
bn+1 = q · bn
ולכן (bn > 0 כי סכום של איברים חיוביים):
bn+1bn = q
המנה קבועה ושווה ל־q לכל n.
✅ פתרון סופי: הסדרה bn הנדסית ומנתה q ∎

סעיף ג – מציאת q

האיבר הראשון של bn (מציבים n = 1):
b1 = a1 + a2 + a3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
= a1 + a1q + a1q2
b1 = a1(1 + q + q2)
לשתי הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, ולכן לשתיהן יש סכום אין־סופי:
Sa = a11 − q📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
Sb = a1(1 + q + q2)1 − q
נתון: Sb = 1.96 · Sa
a1(1 + q + q2)1 − q
= 1.96 · a11 − q
נכפול ב־(1 − q) ונחלק ב־a1 (שניהם חיוביים):
1 + q + q2 = 1.96
q2 + q − 0.96 = 0
q = −1 ± √1 + 3.842📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
= −1 ± √4.842 = −1 ± 2.22
q = 1.22 = 0.6
או
q = −3.22 = −1.6
לפי סעיף א 0 < q < 1, ולכן q = −1.6 נפסל.
✅ פתרון סופי: q = 0.6

סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה

לפי ההגדרה של bn:
cn = bn4an = an + an+1 + an+24an
cn = an + anq + anq24an📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn = an(1 + q + q2)4an
= 1 + q + q24
מסעיף ג: 1 + q + q2 = 1.96:
cn = 1.964 = 0.49
הערך לא תלוי ב־n, ולכן כל איברי הסדרה שווים ל־0.49.
✅ פתרון סופי: הסדרה קבועה: cn = 0.49 לכל n ∎

סעיף ד (2) – מציאת k

כל האיברים שווים ל־0.49, ולכן סכום k האיברים הראשונים הוא k פעמים 0.49:
Sk = 0.49 · k
0.49k = 34.79
k = 34.790.49 = 71
✅ פתרון סופי: k = 71

סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים

אחרי החלפת הסימן במקומות הזוגיים הסדרה היא:
0.49 , −0.49 , 0.49 , −0.49 , …
מחפשים את סכום k = 71 האיברים הראשונים.
נחבר בזוגות: כל זוג (מקום אי־זוגי + המקום הזוגי שאחריו) נותן 0.49 + (−0.49) = 0.
ב־71 איברים יש 35 זוגות שלמים (האיברים 1 עד 70) ועוד איבר אחד – האיבר ה־71, שנמצא במקום אי־זוגי ולכן נשאר חיובי:
S = 35 · 0 + 0.49
S = 0.49
✅ פתרון סופי: 0.49 – 35 זוגות שסכום כל אחד 0, ועוד האיבר ה־71 (חיובי)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אטענה II
סעיף בהוכחה
סעיף גq = 0.6
סעיף ד (1)cn = 0.49
סעיף ד (2)k = 71
סעיף ה0.49
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא q.

bn היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא 2q.

cn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים cn = an · bn לכל n טבעי.

א. הוכיחו כי הסדרה cn היא הנדסית, והביעו באמצעות q את מנתה.

נתון: a1 = b1 , c2 = 18 · (a1)2.

ב. מצאו את הערך של q.

ג. (1) האם הערך של a1 הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

(2) האם הסדרה cn עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

נסמן ב־S1 את סכום הסדרה an, ב־S2 את סכום הסדרה bn וב־S3 את סכום הסדרה cn. נתון: S1 + S2 + S3 = 434.

ד. מצאו את הערך של a1.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה cn הנדסית

סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה (אינה תלויה ב־n). נחשב את המנה בסדרה cn:
cn+1cn = an+1 · bn+1an · bn = an+1an · bn+1bn📐 נוסחה: הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q (קבוע)
המנה בין איברים סמוכים בסדרה an היא q, ובסדרה bn היא 2q:
cn+1cn = q · 2q = 2q2
המנה 2q2 קבועה (אינה תלויה ב־n), ולכן cn היא סדרה הנדסית שמנתה 2q2.
✅ פתרון סופי: cn סדרה הנדסית, מנתה 2q2

סעיף ב – הערך של q

נבטא את c2 בעזרת האיבר הראשון והמנה:
a2 = a1 · q , b2 = b1 · 2q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
c2 = a2 · b2 = a1q · b1 · 2q
נתון b1 = a1:
c2 = 2q2 · (a1)2
נשווה לנתון c2 = 18 · (a1)2 (ונחלק ב־(a1)2, שאינו אפס – בסדרה הנדסית אין איבר אפס):
2q2 · (a1)2 = 18 · (a1)2
2q2 = 18
q2 = 116
q = 14 או q = −14
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית האיברים מחליפים סימן (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן היא אינה עולה. הסדרה an עולה, ולכן המנה חיובית:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14

סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn

(1) המנה היא q = 14, כלומר 0 < q < 1. נבדוק מתי הסדרה עולה:
an+1 − an = an · q − an
= an(q − 1) = an · (−34)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an · (−34) > 0. מכפלה של מספר שלילי ב־an חיובית רק אם an שלילי. לכן כל איברי הסדרה שליליים, ובפרט a1 < 0.
דוגמה: אם a1 = −16 אז הסדרה היא −16 , −4 , −1 , … – עולה.
(2) לפי סעיף א, המנה של cn היא:
2q2 = 2 · (14)2 = 2 · 116 = 18
האיבר הראשון: c1 = a1 · b1 = (a1)2 > 0. כל האיברים חיוביים (מנה חיובית ואיבר ראשון חיובי).
cn+1 − cn = cn · 18 − cn
= cn · (−78) < 0
כי cn > 0. לכן כל איבר קטן מקודמו, והסדרה cn יורדת.
✅ פתרון סופי: (1) a1 שלילי; (2) הסדרה cn יורדת

סעיף ד – הערך של a1

שלוש הסדרות הנדסיות אין־סופיות עם מנה בין 1− ל־1 (14 , 12 , 18), ולכן לכל אחת יש סכום:
S1 = a11 − 14 = a134 = 4a13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה bn: b1 = a1 והמנה 2q = 12:
S2 = a11 − 12 = a112 = 2a1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה cn: c1 = (a1)2 והמנה 18:
S3 = (a1)21 − 18 = (a1)278 = 8(a1)27📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
נציב בנתון:
4a13 + 2a1 + 8(a1)27 = 434
נכפול את שני האגפים ב־21 (מכנה משותף):
28a1 + 42a1 + 24(a1)2 = 9114
24(a1)2 + 70a1 − 9114 = 0
12(a1)2 + 35a1 − 4557 = 0
a1 = −35 ± √352 + 4 · 12 · 45572 · 12📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= −35 ± √21996124 = −35 ± 46924
a1 = 43424 = 21712 ≈ 18.08 או a1
= −50424 = −21
לפי סעיף ג (1) a1 < 0, ולכן הפתרון החיובי נפסל.
בדיקה: S1 = −28, S2 = −42, S3 = 8 · 4417 = 504, ו־−28 − 42 + 504 = 434 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = −21

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהמנה 2q2
סעיף בq = 14
סעיף ג (1)שלילי
סעיף ג (2)יורדת
סעיף דa1 = −21
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס.

המנה של הסדרה היא q.

נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

נתון: T2R2 = 16.

א. מצאו את הערך של q.

נתונה סדרה bn שאיבריה מקיימים bn = 1 + qan · an+1 לכל n טבעי.

נתון: b1 = 1.

ב. מצאו את הערך של a1.

ג. הביעו את bn באמצעות n.

ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

b1 + b2 + … + bn = 16n − 115

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – המנה q

האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1 ומנה q2 (מדלגים כל פעם שני צעדים):
T = a11 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
האיברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , …: איבר ראשון a2 = a1q, מנה q2:
R = a1q1 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
TR = a1a1q = 1q
T2R2 = 1q2 = 16
q2 = 116
q = 14
או
q = −14
אם q שלילי, סימני האיברים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…) והסדרה אינה יורדת. לכן:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14

סעיף ב – הערך של a1

נציב n = 1. לפי סעיף א, a2 = a1q = 14a1:
b1 = 1 + qa1 · a2 = 1 + 14a1 · 14a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
1 = 5414a12
1 = 5a12
a12 = 5
a1 = √5
או
a1 = −√5
עם q = 14 חיובית: אם a1 שלילי, האיברים שליליים ומתקרבים ל־0 – כלומר עולים. הסדרה יורדת, ולכן a1 חיובי:
a1 = √5
✅ פתרון סופי: a1 = √5

סעיף ג – bn באמצעות n

an = √5 · (14)n−1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
an+1 = √5 · (14)n
an · an+1 = 5 · (14)n−1+n📐 כפל חזקותam · ak = am+k
= 5 · (14)2n−1
bn = 545 · (14)2n−1
bn = 14 · 42n−1
bn = 42n−1−1 = 42n−2📐 חילוק חזקותamak = am−k
bn = (42)n−1 = 16n−1
בדיקה: n = 1: 160 = 1 = b1 ✓
✅ פתרון סופי: bn = 16n−1

סעיף ד – הוכחת הסכום

לפי סעיף ג, bn = 16n−1. זו סדרה הנדסית: איבר ראשון b1 = 1 ומנה 16, כי:
bn+1bn = 16n16n−1 = 16
נשתמש בנוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה הנדסית:
b1 + … + bn📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1 · (16n − 1)16 − 1
= 16n − 115 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: b1 + … + bn = 16n − 115

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אq = 14
סעיף בa1 = √5
סעיף גbn = 16n−1
סעיף דהוכחה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה, שהמנה שלה היא q, ו־0 < q < 1.

א. קבעו אם איברי הסדרה an חיוביים או שליליים. נמקו.

bn היא סדרה הנדסית אין־סופית שהמנה שלה היא גם כן q. cn היא סדרה אין־סופית, ולכל n מתקיים cn = 2bn − an (cn ≠ 0).

ב. הוכיחו כי cn היא סדרה הנדסית, והביעו באמצעות q את המנה שלה.

נתון: c1 = 623, וסכום כל איברי הסדרה cn גדול פי 8 מסכום כל איברי הסדרה bn.

ג. מצאו את a1.

ד. נתון: סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה an גדול ב־4 מסכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה זו. מצאו את q.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סימן האיברים

an+1 − an = an · q − an📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
= an(q − 1)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an(q − 1) > 0.
נתון 0 < q < 1, ולכן q − 1 < 0. מכפלה של שני גורמים חיובית רק כששניהם באותו סימן, ולכן an < 0.
✅ פתרון סופי: איברי הסדרה שליליים

סעיף ב – הסדרה cn

כדי להוכיח שסדרה הנדסית, נראה שהמנה cn+1cn קבועה (לא תלויה ב־n).
an+1 = q · an , bn+1 = q · bn📐 נוסחה: האיבר הבא בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn+1cn = 2bn+1 − an+12bn − an
= 2q · bn − q · an2bn − an
= q(2bn − an)2bn − an = q
המנה קבועה ושווה ל־q, ולכן cn סדרה הנדסית עם מנה q.
✅ פתרון סופי: cn הנדסית, והמנה שלה היא q

סעיף ג – מציאת a1

לשלוש הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, לכן לכולן יש סכום אין־סופי.
Sc = c11 − q , Sb = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
c11 − q = 8 · b11 − q
c1 = 8b1
203 = 8b1 ⇐ b1 = 2024 = 56
עכשיו נציב n = 1 בקשר cn = 2bn − an:
203 = 2 · 56 − a1
203 = 53 − a1
a1 = 53 − 203 = −5
בהתאם לסעיף א, a1 שלילי.
✅ פתרון סופי: a1 = −5

סעיף ד – מציאת q

האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , a6 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1q ומנה q2. האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … – איבר ראשון a1 ומנה q2.
Sזוגיים = a1q1 − q2 , Sאי־זוגיים📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
= a11 − q2
a1q1 − q2 − a11 − q2 = 4
a1(q − 1)(1 − q)(1 + q) = 4📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נצמצם: q − 1 = −(1 − q):
−a11 + q = 4
51 + q = 4
1 + q = 54 ⇐ q = 14
q = 14 מקיים 0 < q < 1.
✅ פתרון סופי: q = 14

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהאיברים שליליים
סעיף בהוכחה; המנה היא q
סעיף גa1 = −5
סעיף דq = 14
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …. נתון: a4a2 = 4, 2a2 + 8 = a4.

א. מצאו את הערך של a3 (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין־סופית חדשה B. נתון כי איברי B מקיימים bn = 1an · an+1 לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי A סדרה הנדסית אין־סופית נוספת C. איבריה הם ka1 · a2 , ka3 · a4 , ka5 · a6 , …. k ≠ 0 הוא פרמטר.

ג. (1) מצאו את מנת הסדרה C. (2) מצאו בעבור אילו ערכים של k הסדרה C עולה. נמקו.

נסמן ב־SB את סכום הסדרה B, וב־SC את סכום הסדרה C. נתון: SC = 4 · SB.

ד. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הערך של a₃

a4a2 = a1q3a1q = q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
q2 = 4  ⇒  q = 2
או
q = −2
מהנתון השני, עם a4 = a2 · q2 = 4a2:
2a2 + 8 = 4a2
2a2 = 8  ⇒  a2 = 4
a3 = a2 · q = 4 · (±2)
✅ פתרון סופי: a3 = 8 או a3 = −8

סעיף ב – B סדרה הנדסית

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת היא סדרה עם מנה שלילית (הסימנים מתחלפים), ולכן:
q = −2
a1 = a2q = 4−2 = −2
נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים של B:📐 סדרה הנדסיתbn+1bn קבוע
bn+1bn
= 1an+1 · an+2 · an · an+11
= anan+2 = anan · q2 = 1q2
= 1(−2)2 = 14
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית.
b1 = 1a1 · a2 = 1−2 · 4
= −18
✅ פתרון סופי: סדרה הנדסית, מנה 14

סעיף ג (1) – מנת הסדרה C

האיברים של C הם k כפול איברי B במקומות האי־זוגיים:
c1 = k · b1 ,   c2 = k · b3
c3 = k · b5
בין b1 ל־b3 מכפילים פעמיים במנה 14:
c2c1 = b3b1 = (14)2 = 116
c1 = k · (−18) = −k8
✅ פתרון סופי: מנה 116

סעיף ג (2) – מתי C עולה

המנה 116 בין 0 ל־1. בסדרה כזאת כל איבר קרוב יותר ל־0 מקודמו.
• אם c1 > 0 – האיברים חיוביים וקטנים: הסדרה יורדת.
• אם c1 < 0 – האיברים שליליים ומתקרבים ל־0: הסדרה עולה.
c1 = −k8 < 0
k > 0
✅ פתרון סופי: k > 0

סעיף ד – הערך של k

SB = −181 − 14 = −1834 = −16📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q ,   |q| < 1
SC = −k81 − 116 = −k81516 = −2k15
נתון SC = 4 · SB:
−2k15 = 4 · (−16)
−2k15 = −23
2k = 10  ⇒  k = 5
(k = 5 > 0.)
✅ פתרון סופי: k = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א8 או −8
סעיף במנה 14
סעיף ג (1)116
סעיף ג (2)k > 0
סעיף דk = 5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, ובה m איברים (m הוא מספר טבעי גדול מ־4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים.

סכום m − 4 האיברים האחרונים בסדרה הוא פי 16 מסכום m − 4 האיברים הראשונים בסדרה.

א. (1) מצאו את מנת הסדרה A. (2) האם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

המשיכו את הסדרה A כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית. נתונה סדרה אין־סופית B שאיבריה מקיימים bn = knan לכל n טבעי. k הוא פרמטר שונה מ־0.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את המנה שלה באמצעות k.

נתון כי סכום הסדרה B מתכנס. ג. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

נתון: מנת הסדרה B היא 14. סכום הסדרה B הוא −3. ד. מצאו את הערך של k ואת הערך של b1.

בסדרה B מחקו כל איבר שלישי (b3 , b6 , b9 , …). ה. מצאו את סכום האיברים שנשארו בסדרה B.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה A

(1) המנה
נסמן את המנה ב־q. כל איבר מבין m − 4 האחרונים (a5 , … , am) נמצא 4 מקומות אחרי איבר מתאים מבין m − 4 הראשונים (a1 , … , am−4):
a5 = a1q4 , a6 = a2q4 , …📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
לכן סכום האחרונים שווה לסכום הראשונים כפול q4:
q4 · Sm−4 = 16 · Sm−4
q4 = 16 ⇐ q = 2 או q = −2
כל האיברים שליליים, ולכן אין החלפת סימן בין איברים סמוכים: q > 0, כלומר q = 2.
✅ פתרון סופי: q = 2
(2) עולה או יורדת
an+1 − an = 2an − an = an < 0
כל איבר קטן מקודמו, ולכן הסדרה יורדת.
✅ פתרון סופי: הסדרה יורדת

סעיף ב – הסדרה B הנדסית

נראה שהמנה bn+1bn קבועה:
bn+1bn = kn+1an+1 · ankn = k · anan+1
= k · 12 = k2📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתan+1an = q = 2
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית עם מנה k2.
✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה k2

סעיף ג – תחום הערכים של k

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנס כאשר −1 < q < 1 (q ≠ 0).📐 משפטתנאי התכנסות – −1 < q < 1
−1 < k2 < 1 ⇐ −2 < k < 2
בנוסף k ≠ 0:
−2 < k < 0 או 0 < k < 2
✅ פתרון סופי: −2 < k < 0 או 0 < k < 2

סעיף ד – k ו־b1

k2 = 14 ⇐ k = 12
b11 − 14 = −3📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
b1 = −3 · 34 = −94
✅ פתרון סופי: k = 12 , b1 = −94

סעיף ה – מחיקת כל איבר שלישי

האיברים שנמחקו, b3 , b6 , b9 , …, הם סדרה הנדסית אין־סופית: האיבר הראשון b3 והמנה (14)3 = 164 (כל איבר נמצא 3 מקומות אחרי קודמו).
b3 = b1 · q2 = −94 · 116 = −964📐 נוסחה: האיבר הכלליan = a1 · qn−1
Sנמחקו = −9641 − 164 = −964 · 6463 = −17📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
סכום האיברים שנשארו = הסכום הכולל פחות סכום האיברים שנמחקו:
−3 − (−17) = −3 + 17 = −207 = −267
✅ פתרון סופי: −207 = −267

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)q = 2
סעיף א (2)יורדת
סעיף בהוכחה; המנה k2
סעיף ג−2 < k < 0 , 0 < k < 2
סעיף דk = 12 , b1 = −94
סעיף ה−207 = −267
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית שבה 2n + 1 איברים (n הוא מספר טבעי).

כל איברי הסדרה a1 , a2 , a3 , … , a2n+1 הם חיוביים.

סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים גדול פי 4 מסכום איברי הסדרה ללא שני האיברים האחרונים.

נתון כי סכום האיברים שנמצאים אחרי האיבר האמצעי גדול פי 256 מסכום האיברים שנמצאים לפני האיבר האמצעי.

א. מצאו את n.

המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית.

נתון: B היא סדרה אין־סופית המקיימת לכל k טבעי bk = 1(ak + ak+1)2.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי ב־2.

נתון כי לאחר ההכפלה, סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים גדול ב־130 מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

ג. מצאו את a1.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מציאת n

כל איבר הוא האיבר שנמצא שני מקומות לפניו כפול q2. לכן:
a3 + … + a2n+1
= q2(a1 + … + a2n−1)
כלומר "הסכום בלי שני הראשונים" הוא q2 כפול "הסכום בלי שני האחרונים". לפי הנתון:
q2 = 4📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
q = 2
(האיברים חיוביים, ולכן q > 0.) האיבר האמצעי הוא an+1. לפניו n איברים ואחריו n איברים, וכל איבר אחרי האמצעי הוא האיבר המתאים לפניו כפול qn+1:
an+2 + … + a2n+1
= qn+1(a1 + … + an)
2n+1 = 256 = 28
n + 1 = 8
n = 7
✅ פתרון סופי: n = 7

סעיף ב – B הנדסית

ak + ak+1 = ak + 2ak = 3ak📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתak+1 = ak · q , q = 2
bk = 1(ak + ak+1)2
bk = 1(3ak)2
bk = 19ak2
bk+1bk = 9ak29ak+12 = (akak+1)2 = (12)2 = 14📐 מנה בסדרה הנדסיתq = bk+1bk
המנה קבועה – הסדרה B הנדסית.
✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 14

סעיף ג – הערך של a1

האיברים במקומות האי־זוגיים (סכומם S1): סדרה הנדסית עם איבר ראשון b1 ומנה (14)2 = 116:
S1 = b11 − 116 = 1615b1📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
האיברים במקומות הזוגיים אחרי ההכפלה (סכומם S2): איבר ראשון 2b2 = 2 · 14b1 = 12b1, אותה מנה:
S2 = 12b11 − 116 = 815b1
1615b1 − 815b1 = 130
815b1 = 130
b1 = 116
19a12 = 116
a12 = 169
a1 = 43
✅ פתרון סופי: a1 = 43

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אn = 7
סעיף בהנדסית, q = 14
סעיף גa1 = 43
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, ומנתה היא q, −1 < q < 0. נתון: a1 = 1.

הסדרה B מוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: bn = an · an+2.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות q.

ב. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. הסדרה A לא עולה ולא יורדת. II. הסדרה B היא סדרה עולה. III. האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה.

נתון: הסדרה B היא סדרה אין־סופית שסכומה הוא 18. ג. מצאו את ערכו של q.

נתונה סדרה הנדסית נוספת C, המוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: cn = anbn. נתון: c3 + c4 + … + cm = 44,307, m הוא מספר טבעי.

ד. מצאו את הערך של m.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה B

an+1 = q · an📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
bn+1bn = an+1 · an+3an · an+2 = an+1an · an+3an+2
= q · q = q2
המנה קבועה, ולכן B סדרה הנדסית עם מנה q2.
✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה q2

סעיף ב – שלוש טענות

I: q < 0, ולכן סימני האיברים מתחלפים: a1 = 1 > 0, a2 = q < 0, a3 = q2 > 0… הסדרה עולה ויורדת לסירוגין – לא עולה ולא יורדת. נכונה.
II: b1 = a1 · a3 = q2 > 0, והמנה q2 מקיימת 0 < q2 < 1. סדרה עם איברים חיוביים ומנה בין 0 ל־1 היא יורדת. לא נכונה.
III: האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , … = q , q3 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון q < 0 ומנה q2 (0 < q2 < 1). האיברים שליליים והערך המוחלט שלהם קטן, כלומר הם מתקרבים ל־0 מלמטה – הסדרה עולה. נכונה.
✅ פתרון סופי: I נכונה; II לא נכונה; III נכונה

סעיף ג – מציאת q

SB = b11 − q2 = q21 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
q21 − q2 = 18
8q2 = 1 − q2
q2 = 19 ⇐ q = ±13
נתון −1 < q < 0, ולכן q = −13.
✅ פתרון סופי: q = −13

סעיף ד – מציאת m

cn = anan · an+2 = 1an+2
an+2 = qn+1 = (−13)n+1 ⇐ cn📐 נוסחה: האיבר הכלליan = a1 · qn−1
= (−3)n+1
הסדרה C: מנה −3, ו־c3 = (−3)4 = 81. מ־c3 עד cm יש m − 2 איברים:
81((−3)m−2 − 1)−3 − 1 = 44,307📐 נוסחה: סכום n איברים בסדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
(−3)m−2 − 1 = 44,307 · (−4)81
= −2188
(−3)m−2 = −2187 = (−3)7
m − 2 = 7 ⇐ m = 9
✅ פתרון סופי: m = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה; המנה q2
סעיף בI נכונה, II לא נכונה, III נכונה
סעיף גq = −13
סעיף דm = 9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא an ומנתה היא q.

בונים סדרה חדשה B שהאיבר הכללי שלה הוא bn = an · qn−1.

א. הוכיחו שגם סדרה B היא סדרה הנדסית.

ב. בנוגע לכל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם קבעו אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו את קביעתכם.

(1) אם הסדרה A לא מתכנסת – בהכרח גם הסדרה B לא מתכנסת.

(2) אם הסדרה A יורדת – בהכרח היא גם מתכנסת.

נתון כי שתי הסדרות מתכנסות, וכי היחס בין הסכום של כל איברי הסדרה B לסכום של כל איברי הסדרה A הוא 35.

ג. מצאו את q.

נתון: n הוא מספר טבעי המקיים b1a1 + b2a2 + … + bnan = 2059729.

ד. מצאו את n.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – B סדרה הנדסית

bn = a1qn−1 · qn−1 = a1q2n−2📐 נוסחה: סדרה הנדסיתan = a1qn−1an+1an = q קבוע
bn = a1(q2)n−1
bn+1bn = a1(q2)na1(q2)n−1 = q2
המנה קבועה – B סדרה הנדסית עם b1 = a1 ומנה q2.
✅ פתרון סופי: הוכח: מנה q2

סעיף ב (1)

A לא מתכנסת, ולכן |q| ≥ 1:
|q| ≥ 1 ⟹ q2 ≥ 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופיתS = a11 − qמתכנסת ⟺ |q| < 1
המנה של B היא q2 ≥ 1, ולכן גם B לא מתכנסת.
✅ פתרון סופי: נכון

סעיף ב (2)

דוגמה נגדית: a1 = −1 , q = 2:
A : −1 , −2 , −4 , −8 , …
הסדרה יורדת, אבל |q| = 2 > 1 – לא מתכנסת.
✅ פתרון סופי: לא נכון

סעיף ג – המנה q

שתי הסדרות מתכנסות (|q| < 1), ולשתיהן איבר ראשון a1:
SA = a11 − q , SB = a11 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופיתS = a11 − qמתכנסת ⟺ |q| < 1
SBSA = 1 − q1 − q2
SBSA = 1 − q(1 − q)(1 + q) = 11 + q
11 + q = 35
3 + 3q = 5
q = 23
✅ פתרון סופי: q = 23

סעיף ד – הערך של n

bkak = qk−1 = (23)k−1
זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון 1 ומנה 23:
Sn = 1 − (2/3)n1 − 2/3 = 3(1 − (23)n)📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
3(1 − (23)n) = 2059729
1 − (23)n = 20592187
(23)n = 1282187 = 2737
n = 7
✅ פתרון סופי: n = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)נכון
סעיף ב (2)לא נכון
סעיף גq = 23
סעיף דn = 7
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא an ומנתה היא q.

א. הוכיחו כי a1 · a2n = an · an + 1 מתקיים בעבור כל n טבעי.

בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה ל־10935a1.

נתון: a2k − 2 = 1215.

ב. מצאו את q (שתי אפשרויות).

נתון: a1 = 5.

ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את קביעתכם.

(2) מצאו את k.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין־סופית B באופן הזה: 1a1 , 1a2 , 1a3 , ….

ד. הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי־זוגיים, כך שמתקבלת הסדרה C: ‏−1a1 , 1a2 , −1a3 , 1a4 , ….

ה. מצאו את סכום הסדרה C.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הוכחה

a2n = a1q2n − 1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a1 · a2n = a12q2n − 1
an · an + 1 = a1qn − 1 · a1qn
= a12q2n − 1
שני הביטויים שווים.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב – מציאת q

שני האיברים האמצעיים מבין 2k האיברים הראשונים הם ak ו־ak + 1. לפי סעיף א (עם n = k):
ak · ak + 1 = a1 · a2k
a1 · a2k = 10935a1
a1 ≠ 0, ולכן:
a2k = 10935
a2ka2k − 2 = q2📐 מנה בין איברים בסדרה הנדסיתaman = qm − n
q2 = 109351215 = 9
q = 3
או
q = −3
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3

סעיף ג (1) – עולה או יורדת

a2k = 5q2k − 1 = 10935📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
q2k − 1 = 2187
החזקה 2k − 1 אי־זוגית. חזקה אי־זוגית של מספר שלילי שלילית, אבל 2187 חיובי, ולכן:
q = 3
a1 = 5 > 0 ו־q = 3 > 1, ולכן כל איבר גדול מקודמו: הסדרה עולה.
✅ פתרון סופי: הסדרה עולה

סעיף ג (2) – מציאת k

32k − 1 = 2187 = 37
2k − 1 = 7
k = 4
✅ פתרון סופי: k = 4

סעיף ד – הסדרה B הנדסית

bn = 1an
bn + 1bn = anan + 1 = 1q
המנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה, ולכן B סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתbn + 1bn = קבוע
✅ פתרון סופי: הוכחה – המנה 1q = 13

סעיף ה – סכום הסדרה C

עם a1 = 5 ו־q = 3:
cn = (−1)nan
c1 = −15
cn + 1cn = −anan + 1 = −13
C סדרה הנדסית אין־סופית עם |q| = 13 < 1, ולכן היא מתכנסת:
S = −151 − (−13)📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
= −1543 = −320
✅ פתרון סופי: S = −320

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בq = ±3
סעיף ג (1)עולה
סעיף ג (2)k = 4
סעיף דהוכחה
סעיף הS = −320
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

סדרה I היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא 9 · r2.

נתון: 0 < r < 13.

בין כל שני איברים בסדרה I הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה II, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , … ומנתה היא q.

א. (1) הביעו את q באמצעות r.

(2) הסבירו מדוע שתי הסדרות I ו־II מתכנסות.

נתון כי סכום סדרה II גדול פי 43 מסכום סדרה I.

ב. חשבו את q.

נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה II הוא 12.

ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה II במקומות שמתחלקים ב־5 (b5 , b10 , b15 , …).

ד. מצאו בסדרה II את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.

ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – המנה של סדרה II

נסמן את האיברים של סדרה II ב־bn ואת המנה שלה ב־q.
הכניסו איבר בין כל שני איברים של סדרה I, ולכן איברי סדרה I נמצאים בסדרה II במקומות האי־זוגיים: a1 = b1 , a2 = b3 , …
a2 = a1 · 9r2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
b3 = b1 · q2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מכיוון ש־a1 = b1 ו־a2 = b3:
q2 = 9r2
q = 3r או q = −3r
סדרה II יורדת, ולכן כל איבריה באותו סימן והמנה חיובית (במנה שלילית הסימנים מתחלפים והסדרה אינה יורדת).
לכן q = 3r (ו־r חיובי).
✅ פתרון סופי: q = 3r

סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות

סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר המנה בין −1 ל־1 (ושונה מ־0).📐 נוסחה: תנאי התכנסות−1 < q < 1 , q ≠ 0
סדרה II:
0 < r < 13
0 < 3r < 1
המנה 3r בין 0 ל־1, ולכן סדרה II מתכנסת.
סדרה I:
0 < r2 < 19
0 < 9r2 < 1
המנה 9r2 בין 0 ל־1, ולכן גם סדרה I מתכנסת.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – המנה של סדרה II

המנה של סדרה I היא 9r2 = (3r)2 = q2 , והאיבר הראשון של שתיהן b1.
SI = b11 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
SII = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
לפי הנתון:
SII = 43 · SI
b11 − q = 43 · b1(1 − q)(1 + q)📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נחלק את שני האגפים ב־b11 − q (שונה מ־0):
1 = 43(1 + q)
3(1 + q) = 4
1 + q = 43
q = 13
✅ פתרון סופי: q = 13

סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5

מציאת b1: האיברים במקומות הזוגיים b2 , b4 , b6 , … הם סדרה הנדסית:
איבר ראשון: b2 = b1 · q = b13📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q2 = 19
b131 − 19 = 12📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
b13 : 89 = 12
b13 · 98 = 12
3b18 = 12
b1 = 32
האיברים במקומות שמתחלקים ב־5: b5 , b10 , b15 , …
b5 = 32 · (13)4 = 3281📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q5 = (13)5 = 1243
S = 32811 − 1243📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
S = 3281 · 243242
S = 32 · 3242 = 96242 = 48121 ≈ 0.397
✅ פתרון סופי: 48121 ≈ 0.397

סעיף ד – היחס בין האיבר החמישי לסכום האיברים שאחריו

b5 = 3281
האיברים שאחרי b5 הם b6 , b7 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם אותה מנה.
b6 = b5 · q = 3281 · 13 = 32243📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
S = 322431 − 13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
S = 32243 · 32 = 1681
b5S = 3281 : 1681 = 2
✅ פתרון סופי: 2 (האיבר החמישי גדול פי 2 מסכום האיברים שאחריו)

סעיף ה – היחס אינו תלוי במיקום

נסמן איבר כלשהו בסדרה ב־an. האיברים שאחריו: an+1 , an+2 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם מנה q.
an+1 = an · q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
S = an · q1 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
anS = an : an · q1 − q
anS = an · 1 − qan · q
anS = 1 − qq
הביטוי 1 − qq תלוי רק במנה q ולא ב־n, כלומר היחס אינו תלוי במיקום של האיבר – כנדרש. (בדיקה עם סעיף ד: 1 − 1313 = 2 ✔)
✅ פתרון סופי: הוכח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)q = 3r
סעיף א (2)הסבר
סעיף בq = 13
סעיף ג48121
סעיף ד2
סעיף ההוכחה – היחס 1 − qq
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא q. כל איברי הסדרה A שונים מאפס.

א. האם הסדרה 1a1 , 1a2 , 1a3 , … היא סדרה הנדסית? הוכיחו.

ב. (1) מסמנים ב־Sn את סכום n האיברים הראשונים של הסדרה A. הוכיחו כי לכל n מתקיים: Sna1 · an = 1a1 + 1a2 + 1a3 + … + 1an

(2) נתון: q = 3 , a1 = 1. סכום n האיברים הראשונים בסדרה A גדול פי 6561 מן הסכום 1a1 + 1a2 + … + 1an. מצאו את n.

ג. הסדרה B מתקבלת מן הסדרה A על ידי הפיכת הסימנים של האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. איברי הסדרה B הם b1 , b2 , b3 , …. נסמן ב־Tm את סכום m האיברים הראשונים של B, כאשר m מספר טבעי אי־זוגי.

נתונה הנוסחה: Tmb1 · bm = 1a1 − 1a2 + 1a3 − … + 1am. קבעו אם הנוסחה נכונה, והוכיחו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סדרת ההפכיים

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים בסדרת ההפכיים:
1an + 11an = anan + 1
an + 1 = an · q📐 נוסחה: סדרה הנדסיתan + 1 = an · q
anan · q = 1q
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן זו סדרה הנדסית שמנתה 1q ואיברה הראשון 1a1.
✅ פתרון סופי: כן – סדרה הנדסית שמנתה 1q

סעיף ב (1) – הוכחה

אם q = 1: כל האיברים שווים ל־a1, ושני האגפים שווים ל־na1.
אם q ≠ 1: אגף שמאל:
Sna1 · an = a1(qn − 1)q − 1a1 · a1qn − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= qn − 1a1 qn − 1(q − 1)📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
אגף ימין – סכום של סדרה הנדסית עם איבר ראשון 1a1 ומנה 1q (מסעיף א):
1a1 + … + 1an = 1a1 · (1qn − 1)1q − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1a1 · 1 − qnqn1 − qq
= 1 − qna1 qn · q1 − q
= 1 − qna1 qn − 1(1 − q) = qn − 1a1 qn − 1(q − 1)
שני האגפים שווים.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (2) – מציאת n

Sn = 6561 · (1a1 + … + 1an)
לפי סעיף ב (1):
1a1 + … + 1an = Sna1 · an
Sn = 6561 · Sna1 · an
a1 · an = 6561
an = 1 · 3n − 1 = 3n − 1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
1 · 3n − 1 = 6561 = 38
n − 1 = 8
n = 9
✅ פתרון סופי: n = 9

סעיף ג – הנוסחה לסדרה B

בסדרה B האיברים במקומות האי־זוגיים שווים לאיברי A, ובמקומות הזוגיים הסימן הפוך:
b1 = a1 , b2 = −a1q , b3 = a1q2 , …
bk = a1 · (−q)k − 1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
כלומר B היא סדרה הנדסית שאיבריה שונים מאפס, ומנתה −q. לכן אפשר להפעיל עליה את סעיף ב (1):
Tmb1 · bm = 1b1 + 1b2 + … + 1bm📐 משפט: מסעיף ב (1)Sna1 · an = 1a1 + … + 1an
נציב: b1 = a1, ‏b2 = −a2, ‏b3 = a3, וכן הלאה. m אי־זוגי, ולכן bm = am:
= 1a1 − 1a2 + 1a3 − … + 1am
✅ פתרון סופי: הנוסחה נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אכן – מנה 1q
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)n = 9
סעיף גהנוסחה נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית: a1 , a2 , a3 , …. מנת הסדרה היא q.

א. הביעו באמצעות a1 ו־q:

(1) את הסכום A = a2 + a4 + a6 + … + a40.

(2) את הסכום B = a4 + a8 + a12 + … + a40.

נתון כי הסדרה an עולה, וכי AB = 109.

ב. מצאו את q.

נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית bn המקיימת bn = 3 · an + 1.

ג. מצאו את מנת הסדרה bn.

בונים סדרה הנדסית אינסופית חדשה: −1b1 , 1b2 , −1b3 , 1b4 , …

ד. הביעו באמצעות a1 את סכום כל איברי הסדרה החדשה.

נתונה הסדרה: 1a1 , a1 , b1.

ה. (1) האם הסדרה יכולה להיות סדרה חשבונית? נמקו.

(2) האם הסדרה יכולה להיות סדרה הנדסית? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – הסכום A

האיברים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a2 והמנה q2.📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a2 = a1q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
qA = q2
מ־a2 עד a40 יש 20 איברים (המקומות 2, 4, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 2 = 20
A = a1q((q2)20 − 1)q2 − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
A = a1q(q40 − 1)q2 − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(qm)n = qmn
✅ פתרון סופי: A = a1q(q40 − 1)q2 − 1

סעיף א (2) – הסכום B

האיברים a4 , a8 , … יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a4 והמנה q4.📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a4 = a1q3📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
qB = q4
מ־a4 עד a40 יש 10 איברים (המקומות 4, 8, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 4 = 10
B = a1q3((q4)10 − 1)q4 − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(qm)n = qmn
✅ פתרון סופי: B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1

סעיף ב – מציאת q

נחלק את A ב־B (הגורם a1(q40 − 1) מצטמצם):📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
AB = qq2 − 1 · q4 − 1q3📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
AB = (q2 − 1)(q2 + 1)(q2 − 1) · q2 = q2 + 1q2📐 נוסחה: הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
q2 + 1q2 = 109📐 נתון: הנתוןAB = 109
9q2 + 9 = 10q2📐 נוסחה: כפל בהצלבהab = cd ⟹ ad = bc
q2 = 9📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
⟹ q = 3
או
q = −3
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, ולכן היא אינה עולה. הסדרה עולה, לכן:📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0 (או 0 < q < 1 ו־a1 < 0)
q = 3📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0
✅ פתרון סופי: q = 3

סעיף ג – מנת הסדרה bn

נחלק איבר באיבר שלפניו:📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
bn + 1bn = 3an + 23an + 1 = an + 2an + 1📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
an + 2an + 1 = q = 3📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
✅ פתרון סופי: המנה היא 3

סעיף ד – סכום הסדרה החדשה

האיבר הראשון של הסדרה החדשה:📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
b1 = 3a2 = 3 · 3a1 = 9a1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
−1b1 = −19a1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
המנה של הסדרה החדשה – נחלק איבר שני באיבר הראשון:📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
1b2 : (−1b1) = −b1b2 = −13📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
|−1/3| < 1, ולכן הסדרה מתכנסת:📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
S = −19a11 + 13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
S = −19a1 · 34 = −112a1📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
✅ פתרון סופי: S = −112a1

סעיף ה (1) – האם הסדרה חשבונית?

הסדרה היא 1/a1 , a1 , b1, ומסעיף ד b1 = 9a1. נבדוק את תנאי הסדרה החשבונית:📐 תכונה: סדרה חשבונית – שלושה איברים עוקבים2b = a + c
2a1 = 1a1 + 9a1📐 תכונה: סדרה חשבונית – שלושה איברים עוקבים2b = a + c
−7a1 = 1a1📐 נוסחה: העברת אגפיםמעבירים את 9a1 לאגף שמאל
a12 = −17📐 נוסחה: כפל משוואהמכפילים את שני האגפים ב־a1 וב־(−1/7)
ריבוע של מספר אינו יכול להיות שלילי, ולכן אין פתרון.📐 תכונה: ריבועx2 ≥ 0 לכל x
✅ פתרון סופי: לא

סעיף ה (2) – האם הסדרה הנדסית?

נבדוק את תנאי הסדרה ההנדסית:📐 תכונה: סדרה הנדסית – שלושה איברים עוקביםb2 = a · c
a12 = 1a1 · 9a1 = 9📐 תכונה: סדרה הנדסית – שלושה איברים עוקביםb2 = a · c
a1 = 3📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
או
a1 = −3
הסדרה an עולה ו־q = 3, ולכן a1 > 0, כלומר a1 = 3.📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0
13 , 3 , 27📐 חישוב: בדיקהמנה קבועה: 3 : (1/3) = 9 , 27 : 3 = 9
✅ פתרון סופי: כן – כאשר a1 = 3 (הסדרה 1/3 , 3 , 27 שמנתה 9)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א (1)A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
א (2)B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
בq = 3
ג3
ד−112a1
ה (1)לא
ה (2)כן (a1 = 3)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

➕ סדרות חשבוניות

📅 חורף 2024, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בסדרה חשבונית A נתון: a1 = −4 − 4k , a3 = −16 + 2k. k הוא פרמטר.

א. מצאו עבור אילו ערכים של k:

(1) הסדרה A עולה. (2) הסדרה A יורדת. (3) הסדרה A קבועה.

נתון כי a17 = −232.

ב. מצאו את הערך של k.

הציבו את הערך של k שמצאתם וענו על הסעיפים ג–ד.

נתונה סדרה חדשה, B, שאיבריה מוגדרים כך: לכל n טבעי, bn = an + 24n + 17.

ג. הוכיחו כי הסדרה B היא חשבונית.

ד. חשבו את הסכום: b12 − b22 + b32 − b42 + … + b292 − b302.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה

a3 = a1 + 2d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
−16 + 2k = −4 − 4k + 2d
2d = −12 + 6k
d = −6 + 3k
סדרה חשבונית עולה כאשר d > 0, יורדת כאשר d < 0 וקבועה כאשר d = 0.📐 סדרה חשבוניתעולה: d > 0
יורדת: d < 0
קבועה: d = 0
(1) עולה:
−6 + 3k > 0
k > 2
(2) יורדת:
−6 + 3k < 0
k < 2
(3) קבועה:
−6 + 3k = 0
k = 2
✅ פתרון סופי: (1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2

סעיף ב – הערך של k

a17 = a1 + 16d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
−232 = −4 − 4k + 16(−6 + 3k)
−232 = −4 − 4k − 96 + 48k
−232 = −100 + 44k
44k = −132
k = −3
✅ פתרון סופי: k = −3

סעיף ג – B סדרה חשבונית

נציב k = −3:
a1 = −4 − 4 · (−3) = 8
d = −6 + 3 · (−3) = −15
an = 8 + (n − 1) · (−15)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
an = 23 − 15n
bn = 23 − 15n + 24n + 17
bn = 9n + 40
bn+1 − bn📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan+1 − an = d (קבוע)
= 9(n + 1) + 40 − 9n − 40
bn+1 − bn = 9
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית עם d = 9 ו־b1 = 49.
✅ פתרון סופי: הוכח: bn = 9n + 40 , d = 9

סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים

נקבץ את האיברים בזוגות:
(b12 − b22) + (b32 − b42) + …
+ (b292 − b302)
b12 − b22 = (b1 − b2)(b1 + b2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
בכל זוג b1 − b2 = −d = −9:
= −9(b1 + b2) − 9(b3 + b4) − …
− 9(b29 + b30)
= −9(b1 + b2 + … + b30)
b30 = 9 · 30 + 40 = 310
S30 = 302 (49 + 310)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 (a1 + an)
S30 = 15 · 359 = 5385
−9 · 5385 = −48,465
✅ פתרון סופי: −48,465

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א(1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2
סעיף בk = −3
סעיף גהוכח: bn = 9n + 40 , d = 9
סעיף ד−48,465
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A ובה 2n איברים (n הוא מספר טבעי).

d הוא הפרש הסדרה (d ≠ 0).

מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: bm = am + am + 12.

בסדרה B יש 2n − 1 איברים.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה חשבונית, והביעו באמצעות d את ההפרש שלה.

נסמן ב־SA את סכום האיברים בסדרה A, וב־SB את סכום האיברים בסדרה B.

ב. הוכיחו: SA2n = SB2n − 1.

נתון: SA = 220 + SB , SA = 6665 · SB.

ג. (1) מצאו את n.

(2) מצאו את סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה B חשבונית

am = a1 + (m − 1)d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
am + 1 = a1 + md
bm = a1 + (m − 1)d + a1 + md2
= 2a1 + (2m − 1)d2
= a1 + md − d2
נחסר שני איברים סמוכים בסדרה B:
bm + 1 − bm = a1 + (m + 1)d − d2
− a1 − md + d2
= d
ההפרש קבוע (לא תלוי ב־m), ולכן B סדרה חשבונית שההפרש שלה d.📐 סדרה חשבוניתan + 1 − an = d קבוע
✅ פתרון סופי: הוכחה – ההפרש של B הוא d

סעיף ב – השוויון בין הסכומים

SA = 2n(a1 + a2n)2 = n(a1 + a2n)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n(a1 + an)2
SA2n = a1 + a2n2
SB = (2n − 1)(b1 + b2n − 1)2📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n(a1 + an)2
נחשב את האיבר הראשון והאחרון של B:
b1 = a1 + a22 , b2n − 1
= a2n − 1 + a2n2
b1 + b2n − 1 = a1 + a2 + a2n − 1 + a2n2
בסדרה חשבונית סכום איברים שנמצאים במרחק שווה מהקצוות שווה: a2 + a2n − 1 = a1 + a2n.📐 איברים במרחק שווה מהקצוותak + an + 1 − k = a1 + an
b1 + b2n − 1 = 2(a1 + a2n)2
= a1 + a2n
SB2n − 1 = a1 + a2n2
שני הביטויים שווים:
SA2n = SB2n − 1
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג (1) – מציאת n

נציב את הנתון השני בראשון:
6665SB = 220 + SB
165SB = 220
SB = 14300
SA = 220 + 14300 = 14520
נציב בשוויון מסעיף ב:
145202n = 143002n − 1
14520(2n − 1) = 14300 · 2n
29040n − 14520 = 28600n
440n = 14520
n = 33
✅ פתרון סופי: n = 33

סעיף ג (2) – סכום שני האיברים האמצעיים

בסדרה A יש 2n = 66 איברים. שני האיברים האמצעיים הם a33 ו־a34.
הם במרחק שווה מהקצוות, ולכן:📐 איברים במרחק שווה מהקצוותak + an + 1 − k = a1 + an
a33 + a34 = a1 + a66
מסעיף ב:
SA = n(a1 + a2n)
14520 = 33(a1 + a66)
a1 + a66 = 440
✅ פתרון סופי: a33 + a34 = 440

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה, ההפרש d
סעיף בהוכחה
סעיף ג (1)n = 33
סעיף ג (2)440
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n איברים: a1 , a2 , … , a3n. הפרש הסדרה הוא d.

נסמן ב־S*n את סכום n האיברים האמצעיים בסדרה (an+1 , … , a2n), וב־S3n את סכום כל איברי הסדרה.

א. הוכיחו כי S*n = 13S3n.

נתון: a1 > 0 , S*n = 0.

ב. האם הפרש הסדרה d חיובי או שלילי? נמקו.

נתון גם: a1 = 19|d|.

ג. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

מאיברי הסדרה הנתונה בונים סדרה חשבונית חדשה: a2 , a5 , a8 , … , a3n−4. סכום הסדרה החדשה הוא 36.

ד. מצאו את d.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הוכחה

האיברים האמצעיים an+1 , … , a2n הם סדרה חשבונית בת n איברים. האיבר הראשון והאחרון שלה:
an+1 = a1 + nd📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a2n = a1 + (2n − 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
S*n = n2(an+1 + a2n)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
S*n = n2(a1 + nd + a1 + (2n − 1)d)
S*n = n2(2a1 + (3n − 1)d)
סכום כל 3n האיברים:
S3n = 3n2(2a1 + (3n − 1)d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2(2a1 + (n − 1)d)
נשווה:
S3n = 3 · n2(2a1 + (3n − 1)d)
S3n = 3S*n
S*n = 13S3n
✅ פתרון סופי: S*n = 13S3n הוכח

סעיף ב – סימן ההפרש

נתון S*n = 0, ולפי סעיף א:
n2(2a1 + (3n − 1)d) = 0
n > 0, ולכן:
2a1 + (3n − 1)d = 0
d = −2a13n − 1
המונה שלילי (כי a1 > 0) והמכנה חיובי (כי n ≥ 1), ולכן d < 0.
✅ פתרון סופי: ההפרש d שלילי

סעיף ג – מספר האיברים

ההפרש שלילי, ולכן |d| = −d:
a1 = 19|d| = −19d
נציב במשוואה מסעיף ב:
2 · (−19d) + (3n − 1)d = 0
−38d + (3n − 1)d = 0
נחלק ב־d (d ≠ 0):
−38 + 3n − 1 = 0
3n = 39
n = 13
מספר האיברים בסדרה הוא 3n:
3n = 39
✅ פתרון סופי: 39 איברים

סעיף ד – הפרש הסדרה

הסדרה החדשה: a2 , a5 , … , a35 (כי 3n − 4 = 39 − 4 = 35). ההפרש בה 3d. מספר האיברים:
a35 = a2 + (m − 1) · 3d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
האינדקסים 2, 5, …, 35 עולים ב־3:
35 = 2 + (m − 1) · 3
33 = 3(m − 1)
m = 12
נבטא את האיבר הראשון והאחרון באמצעות d (a1 = −19d):
a2 = a1 + d = −19d + d = −18d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a35 = a1 + 34d = −19d + 34d = 15d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
סכום הסדרה החדשה:
S = 122(a2 + a35)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
S = 6(−18d + 15d)
S = 6 · (−3d) = −18d
לפי הנתון הסכום הוא 36:
−18d = 36
d = −2
בהתאם לסעיף ב, d שלילי ✔
✅ פתרון סופי: d = −2

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בשלילי
סעיף ג39
סעיף דd = −2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, והפרשה d.

מסמנים ב־Sn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה A, לכל n טבעי.

מגדירים סדרה נוספת, B, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , …. איברי הסדרה B מקיימים bn = Sn+1 − Sn, לכל n טבעי.

א. (1) האם הסדרה B היא סדרה חשבונית? נמקו.

(2) האם הסדרה B זהה לסדרה A? נמקו.

מסמנים ב־Tn את סכום n האיברים הראשונים בסדרה B, לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי לכל n טבעי זוגי מתקיים:

Tn = M−d

כאשר:

M = (b1 + b2)(b1 − b2)
+ (b3 + b4)(b3 − b4) + …
+ (bn−1 + bn)(bn−1 − bn)

נתון:

b12 − b22 + b32 − b42 + …
+ b392 − b402 = −95

, T5 = −20.

ג. חשבו את b1 ואת d (אפשר להיעזר בסעיף ב).

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון.

ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1)+(2) – האם B חשבונית? האם B זהה ל־A?

Sn+1 = a1 + a2 + … + an + an+1
Sn = a1 + a2 + … + an
bn = Sn+1 − Sn = an+1
כלומר b1 = a2 , b2 = a3 , … – סדרה B היא סדרה A בלי האיבר הראשון.
bn+1 − bn = an+2 − an+1 = d📐 הגדרה: סדרה חשבוניתan+1 − an = d (קבוע)
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית (עם אותו הפרש d).
b1 = a2 = a1 + d ≠ a1
(d > 0 כי A עולה.) האיבר הראשון שונה, ולכן B אינה זהה ל־A.
✅ פתרון סופי: B חשבונית – כן ; זהה ל־A – לא

סעיף ב – הוכחת הנוסחה

בסדרה B ההפרש הוא d, ולכן בכל זוג איברים סמוכים:
bk − bk+1 = −d📐 הגדרה: סדרה חשבוניתbk+1 − bk = d
לכן כל מחובר במונה:
(bk + bk+1)(bk − bk+1)
= (bk + bk+1) · (−d)
לכן המונה M הוא −d כפול סכום הזוגות, ונחלק ב־−d:
M−d = −d[(b1 + b2) + … + (bn−1 + bn)]−d
= (b1 + b2) + (b3 + b4) + …
+ (bn−1 + bn)
= Tn
(n זוגי, ולכן כל האיברים מתחלקים לזוגות.)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – מציאת b₁ ו־d

לפי הפרש ריבועים, הנתון הראשון הוא המונה של סעיף ב עבור n = 40:
b12 − b22 = (b1 + b2)(b1 − b2)📐 נוסחה: הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a + b)(a − b)
T40 = −95−d = 95d
T40 = 402 · (2b1 + 39d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
T40 = 20(2b1 + 39d)
T5 = 52 · (2b1 + 4d) = 5(b1 + 2d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
5(b1 + 2d) = −20
b1 + 2d = −4
b1 = −4 − 2d
נציב במשוואה של T40:
20(2(−4 − 2d) + 39d) = 95d
20(35d − 8) = 95d
700d2 − 160d = 95
140d2 − 32d − 19 = 0
d = 32 ± √(1024 + 10640)280 = 32 ± 108280📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
d = 12 או d = −1970
A סדרה עולה, ולכן d > 0:
d = 12
b1 = −4 − 2 · 12 = −5
✅ פתרון סופי: b1 = −5 , d = 12

סעיף ד – מספר האיברים במקומות האי־זוגיים

a1 = b1 − d = −5 − 12 = −5.5
האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … הם סדרה חשבונית עם הפרש 2d = 1.
Sm = m2 · (−11 + m − 1)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
Sm = m2 · (m − 12) = m(m − 12)2
סכום חיובי: m − 12 > 0, כלומר m > 12.
m = 13 : S = 13 · 12 = 6.5
לא מספר שלם.
m = 14 : S = 14 · 22 = 14
מספר שלם חיובי.
✅ פתרון סופי: 14 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אחשבונית – כן , זהה – לא
סעיף בהוכחה
סעיף גb1 = −5 , d = 12
סעיף ד14
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית שיש בה 2n + 1 איברים.

א. הוכיחו כי ההפרש בין סכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה ובין סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה שווה לאיבר האמצעי בסדרה.

ב. נסמן ב־T את ההפרש בין סכום n האיברים האחרונים בסדרה ובין סכום n האיברים הראשונים בסדרה.

הביעו את T באמצעות n ובאמצעות הפרש הסדרה d.

ג. נתון:

• סכום כל האיברים בסדרה שווה לסכום 2n האיברים האחרונים בסדרה.

• סכום האיבר הראשון והאיבר האחרון בסדרה הוא 204.

• T = 3468.

מצאו את מספר האיברים בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הפרש סכום האי־זוגיים והזוגיים

האיברים: a1 , a2 , … , a2n+1. במקומות האי־זוגיים יש n + 1 איברים, ובמקומות הזוגיים n איברים. האיבר האמצעי הוא an+1.
נכתוב את ההפרש ונקבץ כל איבר זוגי עם האיבר האי־זוגי שאחריו:
(a1 + a3 + … + a2n+1)
− (a2 + a4 + … + a2n)
= a1 + (a3 − a2) + (a5 − a4) + …
+ (a2n+1 − a2n)
כל סוגריים הם הפרש בין איבר לאיבר שלפניו, כלומר d. יש n סוגריים:📐 נוסחה: סדרה חשבוניתak+1 − ak = d
= a1 + nd
= an+1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
ההפרש שווה לאיבר האמצעי an+1.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הביטוי T

n האיברים הראשונים: a1 , … , an. n האיברים האחרונים: an+2 , … , a2n+1.
נתאים לכל איבר מהראשונים את האיבר שנמצא n + 1 מקומות אחריו:
ak+n+1 − ak = (n + 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
T = (an+2 − a1) + (an+3 − a2) + …
+ (a2n+1 − an)
יש n הפרשים, וכל אחד מהם (n + 1)d:
T = n(n + 1)d
✅ פתרון סופי: T = n(n + 1)d

סעיף ג – מספר האיברים

נתון ראשון: סכום כל האיברים הוא a1 ועוד סכום 2n האיברים האחרונים. אם הוא שווה לסכום 2n האחרונים:
a1 = 0
נתון שני:
a1 + a2n+1 = 204
0 + (0 + 2nd) = 204📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
nd = 102
נתון שלישי (סעיף ב):
n(n + 1)d = 3468
nd · (n + 1) = 3468
102(n + 1) = 3468
n + 1 = 34
n = 33
2n + 1 = 67
✅ פתרון סופי: 67 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכח
סעיף בT = n(n + 1)d
סעיף ג67
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

🔀 סדרה חשבונית והנדסית יחד

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות, A ו־B, שכל איבריהן שונים מ־0.

האיבר הכללי של הסדרה A הוא an ומנתה היא qA.

האיבר הכללי של הסדרה B הוא bn ומנתה היא qB.

משתי הסדרות ההנדסיות A ו־B בונים סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת חדשה, שאיבריה הם: a1b1 , a2b2 , a3b3 , … , anbn , …

כל שלוש הסדרות, הסדרה A, הסדרה B והסדרה החדשה אינן קבועות.

א. הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות qA ו־qB.

הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה B עולה.

ב. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

(1) מנת הסדרה החדשה היא חיובית. (2) כל איברי הסדרה B הם שליליים.

המספרים c1 , c2 ו־c3 הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית.

נתון כי c2 שווה ל־−c1, ומתקיים גם: c1 · c2c3 = −145.

ג. מצאו את c1.

נתון כי המנה של הסדרה A שווה ל־c1, ומתקיים גם: a1b1 + a2b2 + a3b3 + … = a1 + a2 + a3 + …b1 + b2 + b3 + …

ד. מצאו את הערך של qB.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מנת הסדרה החדשה

an+1bn+1anbn = an+1an · bnbn+1📐 מנה בסדרה הנדסיתq = an+1an
= qA · 1qB = qAqB
✅ פתרון סופי: q = qAqB

סעיף ב – ההיגדים

הסדרות מתכנסות, ולכן −1 < qA < 1 ו־−1 < qB < 1 (ושונות מ־0).📐 סדרה הנדסית מתכנסת−1 < q < 1 , q ≠ 0
הסדרה A לא עולה ולא יורדת – הסימנים מתחלפים: qA < 0.
הסדרה B עולה. מנה שלילית הייתה נותנת סימנים מתחלפים, ולכן 0 < qB < 1. האיברים קטנים בערכם המוחלט (שואפים ל־0), ובכל זאת הסדרה עולה – זה קורה רק כאשר האיברים שליליים: b1 < 0.
(1) qAqB: מונה שלילי ומכנה חיובי – המנה שלילית. ההיגד לא נכון.
(2) b1 < 0 ו־qB > 0, ולכן כל האיברים שליליים. ההיגד נכון.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכון ; (2) נכון

סעיף ג – הערך של c1

d = c2 − c1 = −c1 − c1 = −2c1📐 הפרש בסדרה חשבוניתd = an+1 − an
c3 = c2 + d = −c1 − 2c1 = −3c1
c1 · (−c1)−3c1 = −145
c13 = −145
c1 = −345 = −115
✅ פתרון סופי: c1 = −115

סעיף ד – הערך של qB

נסמן qA = −115 ונכתוב כל סכום לפי נוסחת הסכום האין־סופי:
a1b11 − qAqB = a11 − qAb11 − qB📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q
11 − qAqB = 1 − qB1 − qA
1 − qA = (1 − qB)(1 − qAqB)
1 − qA = 1 − qAqB − qB + qA
נכפול ב־qB ונסדר:
qB2 − 2qAqB + qA = 0
qB2 + 215qB − 115 = 0
15qB2 + 2qB − 1 = 0
qB = −2 ± √(4 + 60)30 = −2 ± 830📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
qB = 15 או qB = −13
לפי סעיף ב, qB > 0:
✅ פתרון סופי: qB = 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אq = qAqB
סעיף ב(1) לא נכון ; (2) נכון
סעיף גc1 = −115
סעיף דqB = 15
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה an שסכום n האיברים הראשונים שלה הוא Sn = kn2 − pn . k ו־p הם פרמטרים שונים מ־0.

א. (1) הבע באמצעות k , p ו־n את האיבר הכללי an.

(2) הראה כי האיבר הכללי שמצאת מתאים גם ל־a1.

(3) הראה כי an סדרה חשבונית, והבע באמצעות k את ההפרש שלה d.

נתונה סדרה הנדסית bn שהמנה שלה היא d, ונתונה סדרה הנדסית אינסופית cn שהמנה שלה היא 2d.

האיבר הראשון בסדרה an, האיבר הראשון בסדרה bn והאיבר הראשון בסדרה cn שווים זה לזה. נתון: k = 1.5 , p = 4.5 .

ב. הראה כי הסדרה cn מתכנסת.

ג. היחס בין סכום m האיברים הראשונים בסדרה bn ובין סכום כל האיברים בסדרה cn הוא 4013. מצא את m.

ד. קבע אם הסדרה cn עולה או יורדת. נמק.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – האיבר הכללי וההפרש

(1)📐 נוסחה: איבר כללי מתוך סכוםan = Sn − Sn − 1 ( n ≥ 2 )a1 = S1
an = kn2 − pn
− [k(n − 1)2 − p(n − 1)]
= kn2 − pn − kn2 + 2kn
− k + pn − p
an = 2kn − k − p
(2)
a1 = S1 = k − p
2k · 1 − k − p = k − p ✓
(3)📐 נוסחה: סדרה חשבוניתהפרש קבוע: an + 1 − an = d
an + 1 − an
= [2k(n + 1) − k − p]
− [2kn − k − p]
= 2k
ההפרש קבוע, לכן הסדרה חשבונית עם d = 2k.
✅ פתרון סופי: an = 2kn − k − p ; d = 2k

סעיף ב – cn מתכנסת

d = 2 · 1.5 = 3
qc = 2d = 23
📐 נוסחה: סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת|q| < 1S = c11 − q
|23| < 1
לכן הסדרה ההנדסית האינסופית מתכנסת.
✅ פתרון סופי: מתכנסת, כי המנה 2/3

סעיף ג – מציאת m

a1 = k − p = 1.5 − 4.5 = −3
b1 = c1 = −3
qb = 3
📐 נוסחה: סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת|q| < 1S = c11 − q
Sc = −31 − 23 = −313 = −9
Sm = −3(3m − 1)3 − 1 = −3(3m − 1)2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSm = b1(qm − 1)q − 1
SmSc = −3(3m − 1)2 · (−9) = 3m − 16
3m − 16 = 1213
3m − 1 = 242
3m = 243 = 35
m = 5
✅ פתרון סופי: m = 5

סעיף ד – עולה או יורדת

cn = −3 · (23)n − 1
c1 = −3
c2 = −2
c3 = −43
כל האיברים שליליים, וערכם המוחלט קטן (המנה בין 0 ל־1). לכן כל איבר גדול מקודמו:
cn + 1 − cn = cn(23 − 1)
= −13cn > 0
✅ פתרון סופי: עולה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אan = 2kn − k − p , d = 2k
סעיף במתכנסת
סעיף גm = 5
סעיף דעולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות