בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 571 לפי נושא – גאומטרייה
כל השאלות בנושא גאומטרייה מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. מעגל, משיקים, מרובעים חסומים ומשולשים דומים – הוכחות וחישובים. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
ABC הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה D נמצאת על המשך הצלע BC, כמתואר בסרטוט. הקטע AD חותך את המעגל בנקודה E.
א. הוכיחו: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות.
ב. הוכיחו: △AEB ∼ △CED.
ג. הוכיחו: AECE = BCCD.
נתון כי שטח המשולש AEB גדול פי 2.25 משטח המשולש CED.
ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABD משטח המשולש CED.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שלוש זוויות של 60 מעלות
∢ACB = ∢BAC = 60 מעלות (המשולש ABC שווה צלעות).📐 משולש שווה צלעותכל זווית במשולש שווה צלעות היא 60 מעלות
∢AEB: הזוויות ∢AEB ו־∢ACB הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AB, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢AEB = ∢ACB = 60
∢BEC: הזוויות ∢BEC ו־∢BAC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת BC, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢BEC = ∢BAC = 60
∢CED: הנקודות A, E, D על ישר אחד, ולכן הזוויות ∢AEB, ∢BEC, ∢CED יחד יוצרות זווית שטוחה:
∢AEB + ∢BEC + ∢CED = 180📐 זווית שטוחהזווית שטוחה היא 180 מעלות
60 + 60 + ∢CED = 180
∢CED = 180 − 120 = 60
✅ פתרון סופי: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות ∎
סעיף ב – הוכחת הדמיון △AEB ∼ △CED
זווית ראשונה: לפי סעיף א:
∢AEB = ∢CED = 60
זווית שנייה: הנקודות A, B, C, E כולן על המעגל, ולכן ABCE הוא מרובע חסום במעגל. הזוויות ∢BAE ו־∢BCE נגדיות בו:📐 מרובע חסום במעגלסכום שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות
∢BAE + ∢BCE = 180
הנקודה D על המשך BC, ולכן ∢BCE ו־∢ECD צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢ECD + ∢BCE = 180
משתי המשוואות:
∢ECD = ∢BAE
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים. ההתאמה: A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △AEB ∼ △CED (ז.ז.) ∎
סעיף ג – הוכחת היחס
מהדמיון בסעיף ב (ההתאמה A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D):📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
AECE = EBED = ABCD
המשולש ABC שווה צלעות, ולכן AB = BC. נציב:📐 משולש שווה צלעותכל הצלעות שוות
AECE = BCCD
✅ פתרון סופי: AECE = BCCD ∎
סעיף ד – פי כמה שטח ABD גדול משטח CED
שלב 1 – יחס הדמיון. נתון: SAEB = 2.25 · SCED.
SAEBSCED = 2.25 = 1.52📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
יחס הדמיון הוא 1.5, ולפי סעיף ג:
AECE = BCCD = 1.5
נסמן CD = 2x. אז:
BC = 1.5 · 2x = 3x
AB = 3x
BD = BC + CD = 5x
AE = 1.5 · CE
שלב 2 – זוג משולשים דומים נוסף: △DCE ∼ △DAB.
• ∢D משותפת לשני המשולשים.
• ∢DCE = ∢ECD = ∢BAE = ∢DAB (הוכחנו בסעיף ב).
לכן המשולשים דומים, בהתאמה D ↔ D , C ↔ A , E ↔ B:📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
DCDA = CEAB = DEDB📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
שלב 3 – נבטא את DE ואת DA באמצעות CE.
מהשוויון CEAB = DEDB:
CE3x = DE5x
DE = 5x · CE3x = 53CE
הנקודה E על הקטע AD:
DA = AE + ED
= 1.5CE + 53CE
DA = 32CE + 53CE
= 96CE + 106CE = 196CE
שלב 4 – נמצא את CE. מהשוויון DCDA = CEAB (כפל בהצלבה):
DC · AB = CE · DA
2x · 3x = CE · 196CE
6x2 = 196CE2
CE2 = 36x219
שלב 5 – יחס השטחים. המשולשים DAB ו־DCE דומים, ויחס הדמיון הוא ABCE:
SABDSCED = (ABCE)2 = AB2CE2📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
SABDSCED = 9x236x219
SABDSCED = 9x2 · 1936x2 = 17136
= 194 = 4.75
בדיקה: הסרטוט למעלה בנוי בקנה מידה בדיוק לפי הנתון (BC = 3, CD = 2); חישוב השטחים מהקואורדינטות שלו נותן יחס 2.25 בין AEB ל־CED, ויחס 4.75 בין ABD ל־CED ✓
✅ פתרון סופי: שטח המשולש ABD גדול פי 194 = 4.75 משטח המשולש CED
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה – כל זווית 60 מעלות |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה (ז.ז.) |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | פי 4.75 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O. AB הוא קוטר במעגל. הנקודה C נמצאת על המעגל.
הנקודה M נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע AM חותך את הקטע CO בנקודה K. הנקודה E נמצאת על הקטע BO כך שהמרובע EMKO הוא דלתון (MK = ME , OK = OE).
א. הוכיחו כי BC ∥ EK.
ב. הוכיחו כי OM ∥ AC.
נתון: BCEK = 53.
ג. מצאו את הערך של OMAC.
נסמן ב־S את שטח הדלתון EMKO.
ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AOC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־BC ∥ EK
נסתכל על שני משולשים שווי שוקיים שיש להם אותה זווית ראש ∢BOC:
OK = OE (נתון – צלעות הדלתון), ולכן המשולש OEK שווה שוקיים.📐 משפטמשולש שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢OKE = ∢OEK = 180 − ∢BOC2
OC = OB (רדיוסים במעגל), ולכן גם המשולש OBC שווה שוקיים:
∢OCB = ∢OBC = 180 − ∢BOC2
∢OKE = ∢OCB
הזוויות ∢OKE ו־∢OCB הן זוויות מתאימות בין הישרים EK ו־BC עם החותך OC, והן שוות.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ EK
סעיף ב – הוכחה ש־OM ∥ AC
במרובע EMKO, שהוא דלתון, OM הוא האלכסון הראשי (מחבר את שני הקודקודים שבין זוגות הצלעות השוות) ו־EK הוא האלכסון המשני.📐 משפטבדלתון האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני
OM ⊥ EK
לפי סעיף א EK ∥ BC, וישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני:
OM ⊥ BC
AB קוטר, ולכן הזווית ההיקפית ∢ACB נשענת על קוטר:📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
∢ACB = 90 מעלות ⇐ AC ⊥ BC
גם OM וגם AC מאונכים לישר BC.📐 משפטשני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
✅ פתרון סופי: הוכח: OM ∥ AC
סעיף ג – היחס OMAC
לפי סעיף א EK ∥ BC, ולכן המשולשים OEK ו־OBC דומים (זווית O משותפת, וזוויות מתאימות שוות).📐 משפטמשולשים דומים – יחס הצלעות המתאימות שווה
OKOC = EKBC = 35
נסמן את רדיוס המעגל ב־R. אז OC = R:
OK = 35R
KC = OC − OK = R − 35R = 25R
לפי סעיף ב OM ∥ AC. במשולשים OKM ו־CKA:
∢OKM = ∢CKA (זוויות קודקודיות)
∢KOM
= ∢KCA (זוויות מתחלפות, OM ∥ AC)
לכן המשולשים OKM ו־CKA דומים (ז.ז.).📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות ⇐ המשולשים דומים
OMAC = OKKC = 35R25R = 32
✅ פתרון סופי: OMAC = 32
סעיף ד – שטח המשולש AOC
האלכסון הראשי OM מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, OKM ו־OEM (צ.צ.צ.: OK = OE, MK = ME, OM משותפת).📐 משפטמשולשים חופפים שטחם שווה
SOKM = S2
לפי סעיף ג המשולשים OKM ו־CKA דומים ביחס OKKC = 32:
SCKASOKM = (23)2 = 49📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2 (k – יחס הדמיון)
SCKA = 49 · S2 = 2S9
למשולשים AOK ו־AKC אותו גובה מהקודקוד A לישר OC, והבסיסים שלהם OK ו־KC נמצאים על אותו ישר:
SAOKSAKC = OKKC = 32📐 משפט: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SAOK = 32 · 2S9 = S3
SAOC = SAOK + SAKC = S3 + 2S9
= 3S9 + 2S9 = 5S9
✅ פתרון סופי: SAOC = 5S9
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | 32 |
| סעיף ד | 5S9 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית ABC החסום במעגל.
הנקודה K נמצאת על המשך הצלע AB כך ש־AB = BK.
המשך הקטע KC חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה F.
נתון: ∢BAC = ∢BCA.
א. הוכיחו כי AF הוא קוטר במעגל.
המיתרים BF ו־AC נחתכים בנקודה D.
ב. הוכיחו כי המשולש ADK הוא שווה שוקיים.
ג. (1) הוכיחו כי המרובע BDCK הוא בר חסימה במעגל.
(2) הוכיחו כי ∢DKC = ∢FAC.
ד. הוכיחו כי AC · AD = KC · AF.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – AF קוטר
נסמן ∢BAC = ∢BCA = x.
במשולש ABC: ∢BAC = ∢BCA, ולכן BA = BC.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
נתון AB = BK, ולכן BC = BK.
במשולש BCK: BC = BK, ולכן ∢BCK = ∢BKC. נסמן אותן y.📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
במשולש AKC: הזווית ב־A היא x, הזווית ב־K היא y, והזווית ב־C היא ∢ACK = ∢ACB + ∢BCK = x + y:
x + y + (x + y) = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
2x + 2y = 180
x + y = 90
∢ACK = 90
F על המשך KC, ולכן ∢ACF = 180 − 90 = 90.📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
∢ACF היא זווית היקפית של 90 מעלות הנשענת על AF, ולכן AF קוטר.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: ∢ACF = 90 ולכן AF קוטר
סעיף ב – ADK שווה שוקיים
AF קוטר (סעיף א), ולכן הזווית ההיקפית ∢ABF = 90.📐 זווית היקפיתזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות
D על BF, ולכן DB ⊥ AK: ∢ABD = ∢KBD = 90.
נשווה את המשולשים ABD ו־KBD:
• AB = KB (נתון)
• ∢ABD = ∢KBD = 90
• BD צלע משותפת
לכן △ABD ≅ △KBD, ומכאן AD = KD.📐 חפיפת משולשיםצלע, זווית, צלע (צ.ז.צ)
למשולש ADK שתי צלעות שוות, ולכן הוא שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: AD = KD – המשולש ADK שווה שוקיים
סעיף ג (1) – BDCK בר חסימה
מסעיף ב: ∢DBK = 90.
מסעיף א: ∢ACK = 90, ו־D על AC, ולכן ∢DCK = 90.
במרובע BDCK הזוויות ∢DBK ו־∢DCK נגדיות:
∢DBK + ∢DCK = 90 + 90📐 מרובע בר חסימהאם סכום זוויות נגדיות 180 מעלות – המרובע בר חסימה
= 180
✅ פתרון סופי: BDCK בר חסימה
סעיף ג (2) – ∢DKC = ∢FAC
במעגל החוסם את BDCK: הזוויות ∢DKC ו־∢DBC נשענות על הקשת DC, ולכן ∢DKC = ∢DBC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
D על BF, ולכן ∢DBC = ∢FBC.
במעגל המקורי: הזוויות ∢FBC ו־∢FAC נשענות על הקשת FC, ולכן ∢FBC = ∢FAC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢DKC = ∢DBC = ∢FBC = ∢FAC
✅ פתרון סופי: ∢DKC = ∢FAC
סעיף ד – AC · AD = KC · AF
נשווה את המשולשים DCK (בתכלת) ו־FCA (בירוק):
• ∢DCK = ∢FCA = 90 (סעיף א)
• ∢DKC = ∢FAC (סעיף ג(2))
לכן △DCK ∼ △FCA.📐 דמיון משולשיםזווית, זווית (ז.ז)
מהדמיון – יחס הצלעות המתאימות (מול הזוויות השוות):
KCAC = DKFA
KC · AF = AC · DK
מסעיף ב, DK = AD:
KC · AF = AC · AD
✅ פתרון סופי: AC · AD = KC · AF
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחות |
| סעיף ד | הוכחה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∢EKO = ∢ABK.
א. הוכיחו כי △ACE ∼ △OKE.
המשך הקטע KO חותך את המיתר CB בנקודה P. נתון כי PO = 7, וכי רדיוס המעגל הוא 8.4.
ב. (1) הוכיחו כי PO הוא קטע אמצעים במשולש ABC. (2) מצאו את אורך הקטע EO.
ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ACE ובין שטח המשולש AOK.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – דמיון משולשים
∢ACK = ∢ABK📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AK
∢ACE = ∢ABK = ∢EKO
(השוויון השני נתון; ∢ACE היא אותה זווית כמו ∢ACK.)
∢AEC = ∢OEK📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
לכן △ACE ∼ △OKE, בהתאמה A ↔ O , C ↔ K , E ↔ E.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה
✅ פתרון סופי: △ACE ∼ △OKE – הוכח
סעיף ב – קטע אמצעים ואורך EO
(1) PO קטע אמצעים
מהדמיון בסעיף א, הזוויות המתאימות שוות:
∢CAE = ∢KOE
∢KOE = ∢POB (הנקודות K , O , P על ישר אחד, וגם A , O , B)📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
∢CAB = ∢POB
אלה זוויות מתאימות בין הישרים AC ו־OP עם החותך AB, ולכן OP ∥ AC.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
O אמצע AB (מרכז המעגל על הקוטר), ו־OP ∥ AC. לכן P אמצע CB, ו־PO קטע אמצעים במשולש ABC.📐 משפטקטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) אורך EO
AC = 2 · PO = 2 · 7 = 14📐 נוסחה: קטע אמצעים במשולשקטע האמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
OK רדיוס, ולכן OK = 8.4. מהדמיון (יחס הצלעות המתאימות):
AEOE = ACOK = 148.4 = 53📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
נסמן EO = x. אז AE = AO − EO = 8.4 − x:
8.4 − xx = 53
3(8.4 − x) = 5x
25.2 − 3x = 5x
8x = 25.2 ⇐ x = 3.15
✅ פתרון סופי: EO = 3.15
סעיף ג – יחס שטחים
SACESOKE = (53)2 = 259📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
למשולשים AOK ו־EOK יש אותו קודקוד K, והבסיסים AO ו־EO על אותו ישר – לכן אותו גובה מ־K.
SAOKSEOK = AOEO = 8.43.15 = 83📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
נבטא את שני השטחים באמצעות SOKE:
SACE = 259 SOKE
SAOK = 83 SOKE = 249 SOKE
SACESAOK = 2524
✅ פתרון סופי: SACESAOK = 2524
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכחה |
| סעיף ב (2) | EO = 3.15 |
| סעיף ג | 2524 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו R ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים.
דרך הנקודה A העבירו משיק למעגל הקטן. המשיק חותך את המעגל הגדול בנקודה K. הנקודה E נמצאת על המעגל הקטן בתוך המשולש KAO.
א. הוכיחו כי ∢AOE = 2∢KAE.
המשך הקטע AE חותך את הקטע OK בנקודה M. נתון כי M היא אמצע הקטע OK.
ב. הוכיחו כי הנקודה M היא מרכז המעגל הגדול.
ג. הוכיחו כי △MOA ∼ △OEA.
נתון: R = 1.5r. נסמן ב־S את שטח המשולש MEO.
ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש OKA.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחת הקשר בין הזוויות
OA = OE = r (רדיוסים במעגל הקטן), ולכן המשולש AOE שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢OAE = ∢OEA
סכום הזוויות במשולש AOE:
∢AOE + 2∢OAE = 180
∢OAE = 90 − ∢AOE2
AK משיק למעגל הקטן ב־A, ו־OA רדיוס:📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢KAO = 90
∢KAE = 90 − ∢OAE
∢KAE = 90 − (90 − ∢AOE2)
∢KAE = ∢AOE2
∢AOE = 2∢KAE
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – M מרכז המעגל הגדול
לפי סעיף א, ∢KAO = 90. זו זווית היקפית במעגל הגדול הנשענת על המיתר KO.
זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר, ולכן KO הוא קוטר של המעגל הגדול.📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל, ו־M היא אמצע OK – לכן M היא מרכז המעגל הגדול.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – דמיון המשולשים MOA ו־OEA
M מרכז המעגל הגדול, ולכן MA = MO = R – המשולש MOA שווה שוקיים:
∢MOA = ∢MAO
הנקודות A, E, M על ישר אחד, ולכן ∢MAO = ∢EAO (אותה זווית).
במשולש OEA (סעיף א): ∢OEA = ∢OAE.
נשווה את המשולשים MOA ו־OEA:
∢MAO = ∢OAE
(זווית משותפת)
∢MOA = ∢MAO = ∢OAE = ∢OEA
שתי זוויות שוות, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△MOA ∼ △OEA
(ההתאמה: M ↔ O, O ↔ E, A ↔ A.)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ד – שטח המשולש OKA באמצעות S
מהדמיון בסעיף ג, היחס בין צלעות מתאימות:📐 יחס דמיוןMOOE = OAEA = MAOA
MOOE = Rr = 1.5
OAEA = 1.5
⇒ EA = r1.5 = 2r3
MA = R = 1.5r
ME = MA − EA = 1.5r − 2r3
= 5r6
למשולשים MEO ו־MAO אותו גובה מ־O לישר MA, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 משולשים עם גובה משותףS1S2 = a1a2
SSMAO = MEMA = 5r63r2 = 59
SMAO = 9S5
AM תיכון במשולש OKA (M אמצע OK), והתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:📐 תיכון במשולשמחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
SOKA = 2 · SMAO = 2 · 9S5
SOKA = 18S5 = 3.6S
✅ פתרון סופי: SOKA = 3.6S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | 3.6S = 18S5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מרובע BKCD שבו KB ∥ CD. הצלע CD היא מיתר במעגל, והצלע KB משיקה למעגל בנקודה K. הצלע BD חותכת את המעגל בנקודה A. האלכסון BC חותך את המיתר AK בנקודה E.
א. הוכיחו: △ABK ∼ △AKC.
ב. הוכיחו: ABAC = BECE.
נתון: BE = CE4. ג. מצאו את היחס AKAB.
נתון: שטח המרובע ABKC הוא 30. נסמן ב־S את שטח המשולש AEB. ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש KEC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – דמיון משולשים
∢AKB = ∢ACK📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק KB והמיתר KA
∢ABK = ∢ADC (החותך BD, הישרים KB ∥ CD)📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
∢ADC = ∢AKC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AC
∢ABK = ∢AKC
לכן △ABK ∼ △AKC, בהתאמה A ↔ A , B ↔ K , K ↔ C.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה
✅ פתרון סופי: △ABK ∼ △AKC – הוכח
סעיף ב – יחס הקטעים
מהדמיון, הזווית השלישית שווה גם היא:
∢BAK = ∢KAC
כלומר AK (ולכן גם AE) חוצה את הזווית ∢BAC במשולש ABC.
ABAC = BECE📐 משפטמשפט חוצה הזווית – חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – היחס AK : AB
ABAC = BECE = 14
ABAK = AKAC = k📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
ABAC = ABAK · AKAC = k2
k2 = 14 ⇐ k = 12
AKAB = 1k = 2
✅ פתרון סופי: AKAB = 2
סעיף ד – שטח המשולש KEC
SABKSAKC = k2 = 14📐 משפטיחס שטחים של משולשים דומים – יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
האלכסון AK מחלק את המרובע ABKC לשני המשולשים:
SABK + SAKC = 30
SABK = 6 , SAKC = 24
למשולשים AEB ו־AEC אותו גובה מ־A לישר BC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SAECSAEB = CEBE = 4 ⇐ SAEC = 4S📐 משפטמשולשים עם גובה משותף – יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
SKEC = SAKC − SAEC = 24 − 4S
✅ פתרון סופי: SKEC = 24 − 4S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | AKAB = 2 |
| סעיף ד | SKEC = 24 − 4S |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש־AB הוא קוטר במעגל.
הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט.
נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה במעגל.
א. הוכיחו: EF = EB.
המעגל החוסם את המרובע CEFO חותך את הצלע AC בנקודה D כך ש־ED מקביל ל־AB.
ב. (1) הוכיחו כי המרובע EDOB הוא מקבילית.
(2) הוכיחו: OD ⊥ AC.
הישר ℓ משיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC.
ג. הוכיחו כי הישר ℓ משיק למעגל החוסם את המרובע CEFO.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – EF = EB
CEFO בר חסימה, ולכן הזווית החיצונית ∢EFB שווה לזווית הפנימית שמולה: ∢EFB = ∢ECO.📐 מרובע בר חסימהזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
OC = OB (רדיוסים), ולכן במשולש OCB: ∢OCB = ∢OBC.📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
∢EFB = ∢ECO = ∢OBC = ∢EBF
במשולש EFB שתי זוויות שוות, ולכן EF = EB.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח: EF = EB
סעיף ב (1) – EDOB מקבילית
נתון ED ∥ OB. נראה גם OD ∥ BE.
במעגל החוסם את CEFO (שעליו גם D): ∢ODE = ∢OCE – זוויות היקפיות על הקשת OE.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢OCE = ∢OCB = ∢OBC = ∢EBO
∢ODE = ∢EBO
ED ∥ OB, ולכן ∢ODE + ∢DOB = 180.📐 זוויות חד־צדדיותבין ישרים מקבילים סכומן 180 מעלות (ולהפך)
∢EBO + ∢DOB = 180
הזוויות ∢DOB ו־∢EBO חד־צדדיות ביחס לישרים OD ו־BE, וסכומן 180 – לכן OD ∥ BE.📐 זוויות חד־צדדיותבין ישרים מקבילים סכומן 180 מעלות (ולהפך)
שני זוגות צלעות נגדיות מקבילים – EDOB מקבילית.📐 מקביליתמרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: EDOB מקבילית
סעיף ב (2) – OD ⊥ AC
AB קוטר, ולכן ∢ACB = 90, כלומר BC ⊥ AC.📐 זווית היקפיתזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות
מסעיף ב(1): OD ∥ BC. ישר המקביל לישר המאונך ל־AC מאונך גם הוא ל־AC:
OD ⊥ AC
✅ פתרון סופי: הוכח: OD ⊥ AC
סעיף ג – ℓ משיק גם למעגל CEFO
מסעיף ב(2): ∢ODC = 90. זו זווית היקפית במעגל החוסם את CEFO (הנקודות O , D , C עליו):
∢ODC = 90, ולכן OC קוטר של המעגל החוסם את CEFO.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
ℓ משיק למעגל הגדול ב־C, ולכן ℓ ⊥ OC.📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
ישר המאונך לקוטר OC בקצה שלו C משיק למעגל שזה הקוטר שלו. לכן ℓ משיק למעגל החוסם את CEFO.
✅ פתרון סופי: הוכח: ℓ משיק
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח: EF = EB |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכח: EDOB מקבילית |
| סעיף ב (2) | הוכח: OD ⊥ AC |
| סעיף ג | הוכח: ℓ משיק |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: AB = CB.
א. הוכיחו: ∢EBC = 2 · ∢BDC.
נתון: AC חוצה את זווית ECD, CDCF = 74.
ב. (1) הוכיחו: AC = AD. (2) מצאו את היחס ADCD. (3) מצאו את היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש CBF.
נסמן את שטח המשולש ABF ב־S. ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AEC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה
∢BAC = ∢BCA📐 משפטבמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות – AB = CB
∢BDC = ∢BAC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – הקשת BC
∢EBC = ∢BAC + ∢BCA📐 משפטזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה – במשולש ABC
∢EBC = 2 · ∢BAC = 2 · ∢BDC
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – חוצה הזווית
(1) AC = AD
∢ECA = ∢ACD (AC חוצה זווית)
∢ECA = ∢ADC📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק EC והמיתר CA
∢ACD = ∢ADC
במשולש ACD שתי זוויות שוות, ולכן AC = AD.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) היחס AD : CD
AB = CB, ולכן גם הקשתות AB ו־BC שוות, וההיקפיות הנשענות עליהן שוות:
∢ADB = ∢BDC, כלומר DF חוצה את הזווית ADC במשולש ACD.📐 משפטמיתרים שווים – זוויות היקפיות שוות
AFFC = ADDC📐 נוסחה: משפט חוצה הזוויתחוצה זווית מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
נסמן CD = 7t, ואז CF = 4t. נסמן ADCD = r, כלומר AD = 7rt, וגם AC = AD = 7rt:
AF = AC − FC = 7rt − 4t
7rt − 4t4t = r
7r − 4 = 4r ⇐ r = 43
✅ פתרון סופי: ADCD = 43
(3) יחס השטחים
למשולשים ABF ו־CBF אותו גובה מ־B לישר AC:
SABFSCBF = AFFC = ADDC = 43📐 נוסחה: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
✅ פתרון סופי: SABFSCBF = 43
סעיף ג – שטח המשולש AEC
SCBF = 34S ⇐ SABC = S + 34S = 74S
△EBC ∼ △ECA: הזווית E משותפת, ו־∢ECB = ∢CAB📐 משפטזווית בין משיק למיתר = זווית היקפית; משפט דמיון ז.ז.
יחס הדמיון הוא BCCA. נחשב אותו בעזרת זוויות. נסמן ∢ACD = ∢ADC = x. במשולש שווה השוקיים ACD נוריד גובה מ־A ל־CD (הוא חוצה את CD):
cos x = CD/2AC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
(עם CD = 3s , AD = AC = 4s: cos x = 1.5s4s = 38.) DB חוצה את ∢ADC, ולכן ∢BCA = ∢BDA = x2. במשולש שווה השוקיים ABC נוריד גובה מ־B ל־AC:
cosx2 = AC/2BC ⇐ BCCA = 12cos(x/2)📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
cos2x2 = 1 + cos x2 = 1116📐 נוסחה: זווית כפולהcos(2y) = 2cos2y − 1
(BCCA)2 = 14 · 1116 = 411
SEBCSECA = 411📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםריבוע יחס הדמיון
SABC = SAEC − SEBC = 711SAEC
711SAEC = 74S ⇐ SAEC = 114S = 2.75S
✅ פתרון סופי: SAEC = 114S = 2.75S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכחה |
| סעיף ב (2) | ADCD = 43 |
| סעיף ב (3) | 43 |
| סעיף ג | SAEC = 2.75S |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו־B. C היא נקודה על המעגל הימני.
המשכי הקטעים CA ו־CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו־E בהתאמה.
הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט.
המשכי הקטעים CF ו־DE נפגשים בנקודה G.
א. הוכיחו: ∢EDA = ∢CBA.
ב. הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.
המיתרים AF ו־BC נפגשים בנקודה H.
נתון: ∢GEC = ∢CHA.
ג. הוכיחו: CGCD = GEDE.
נתון: CE מאונך ל־AB. CD = 36 , DE = 18.
ד. חשבו את אורכי הקטעים EG ו־CG.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־∢EDA = ∢CBA
המרובע ABED חסום במעגל השמאלי. הנקודות E , B , C על ישר אחד, ולכן ∢CBA היא זווית חיצונית של המרובע בקדקוד B.
∢CBA = ∢EDA – הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה (בקדקוד D).📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
∢EDA = ∢CBA
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – המרובע GDAF בר חסימה
במעגל הימני הזוויות ההיקפיות ∢CBA ו־∢CFA נשענות על אותה קשת AC:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢CFA = ∢CBA
לפי סעיף א:
∢CFA = ∢CBA = ∢EDA = ∢GDA
הנקודות G , F , C על ישר אחד, ולכן ∢CFA היא זווית חיצונית של המרובע GDAF בקדקוד F, והיא שווה לזווית הפנימית שמולה, ∢GDA.
לכן המרובע GDAF בר חסימה.📐 מרובע בר חסימהאם זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה – המרובע בר חסימה
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – הוכחה ש־CG : CD = GE : DE
נראה ש־CE חוצה את הזווית ∢DCG.
במשולש CED, הזווית ∢GEC חיצונית (G, E, D על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢GEC = ∢EDC + ∢ECD
לפי סעיפים א ו־ב, ∢EDC = ∢EDA = ∢CFA. וגם ∢ECD = ∢BCA. לכן:
∢GEC = ∢CFA + ∢BCA
במשולש CHF, הזווית ∢CHA חיצונית (A, H, F על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢CHA = ∢HFC + ∢HCF
= ∢CFA + ∢BCF
נתון ∢GEC = ∢CHA, ולכן:
∢CFA + ∢BCA = ∢CFA + ∢BCF
∢BCA = ∢BCF
כלומר ∢ECD = ∢ECG: CE חוצה את הזווית ∢DCG במשולש DCG.
CGCD = GEDE📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ד – אורכי EG ו־CG
CE ⊥ AB, ו־B על CE, ולכן ∢CBA = 90. לפי סעיף א:
∢EDA = ∢CBA = 90
לכן המשולש GDC ישר זווית ב־D, ו־CE חוצה את הזווית C (סעיף ג). נסמן EG = x:
CG36 = x18📐 משפט חוצה הזווית (סעיף ג)CGCD = GEDE
CG = 2x
DG = DE + EG = 18 + x
CG2 = CD2 + DG2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
(2x)2 = 362 + (18 + x)2
4x2 = 1296 + 324 + 36x + x2
3x2 − 36x − 1620 = 0
x2 − 12x − 540 = 0
x = 12 ± √(144 + 2160)2 = 12 ± 482📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x = 30
(x = −18 נפסל – אורך חיובי.)
EG = 30 , CG = 2 · 30 = 60
✅ פתרון סופי: EG = 30 , CG = 60
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב | הוכח |
| סעיף ג | הוכח |
| סעיף ד | EG = 30 , CG = 60 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
במשולש ישר הזווית ABC (∢ACB = 90) הנקודות G, H, F נמצאות על הצלעות AC, CB, AB בהתאמה.
המרובע GCHF חסום במעגל. הצלע AB משיקה למעגל בנקודה F (ראו סרטוט).
נתון: GH ∥ AB.
א. הוכיחו כי FG = FH.
ב. (1) מצאו את הזווית ACF.
(2) הוכיחו כי המשולש GFC דומה למשולש FBC.
הקוטר במעגל היוצא מן הנקודה F חותך את הצלע AC בנקודה E.
ג. הוכיחו כי ∢FEB = ∢FCB.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – FG = FH
AB משיק בנקודה F, ו־FG מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢AFG = ∢FHG
GH ∥ AB, ו־FG חותך אותם:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢AFG = ∢FGH
∢FHG = ∢FGH
במשולש FGH שתי זוויות שוות, ולכן הצלעות שמולן שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
FG = FH
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ב (1) – הזווית ACF
∢GCH = 90 היא זווית היקפית, ולכן GH הוא קוטר.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
∢GFH = 90
המשולש GFH ישר זווית ושווה שוקיים (סעיף א):
∢FGH = ∢FHG = 180 − 902 = 45
∢ACF ו־∢GHF נשענות על אותה קשת GF:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢ACF = ∢GHF = 45
✅ פתרון סופי: ∢ACF = 45
סעיף ב (2) – דמיון המשולשים
נשווה שתי זוויות במשולשים GFC ו־FBC:
זוג ראשון: מסעיף ב(1) ∢GCF = ∢ACF = 45.
∢FCB = 90 − 45 = 45
∢GCF = ∢FCB
זוג שני: FB משיק, ו־FC מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢BFC = ∢FGC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים:📐 דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
המשולש GFC דומה למשולש FBC.
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ג – שוויון הזוויות
FE עובר דרך המרכז, ו־AB משיק ב־F:📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢EFB = 90
נתון:
∢ECB = 90
במרובע EFBC סכום שתי הזוויות הנגדיות F ו־C הוא 180, ולכן הוא בר־חסימה.📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
∢EFB + ∢ECB = 90 + 90 = 180
במעגל החוסם את EFBC: ∢FEB ו־∢FCB נשענות על אותה קשת FB:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢FEB = ∢FCB
בסרטוט (בקנה מידה): המעגל, המשולש FGH (סגול), הקטע CF (ירוק) והקוטר FE (כחול):
✅ פתרון סופי: הוכחה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | ∢ACF = 45 |
| סעיף ב (2) | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
הנקודה B נמצאת מחוץ למעגל. BC משיק למעגל בנקודה C. הישר BA חותך את המעגל בנקודות E ו־A.
הנקודה D נמצאת על המעגל כך ש־CD ∥ EA. המיתרים ED ו־AC נחתכים בנקודה K (ראו סרטוט).
א. הוכיחו: △CEB ∼ △DCE.
נתון: ED = 7 , AK = 3. נסמן ב־S את שטח המשולש CEK.
ב. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CKD.
נתון גם: BC = 35√32.
ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CEB.
הנקודה O היא מרכז המעגל.
ד. הוכיחו: ∢COE = ∢CKE.
נתון: ∢CAE = 45 מעלות.
ה. הסבירו מדוע הנקודות O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחת דמיון
נשווה זוויות במשולשים CEB ו־DCE:
זוג ראשון: ∢BCE היא זווית בין המשיק BC למיתר CE, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על CE:
∢BCE = ∢CDE📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
זוג שני: CD ∥ BA, ו־CE חותך אותם:
∢CEB = ∢DCE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
שתי זוויות שוות, ולכן:
△CEB ∼ △DCE📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
(התאמה: C ↔ D , E ↔ C , B ↔ E.)
━ המעגל (כחול) ━ המשיק BC (ירוק) ━ האלכסונים CA , ED (סגול) ━ המשולש CEK (תכלת)
הסרטוט בקנה מידה לפי הנתונים: ED = 7 , AK = 3 , BC = 35√32
✅ פתרון סופי: △CEB ∼ △DCE הוכח
סעיף ב – שטח המשולש CKD
CD ∥ EA, ולכן המרובע CDAE הוא טרפז חסום במעגל – טרפז שווה שוקיים, ואלכסוניו שווים:
AC = ED = 7📐 משפט: מיתרים מקביליםמיתרים מקבילים במעגל ⟸ טרפז שווה שוקיים, אלכסונים שווים
KC = AC − AK = 7 − 3 = 4
המשולשים KEA ו־KDC דומים (EA ∥ CD, זוויות מתחלפות), ולכן:
EKKD = AKKC = 34📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
ו־EK + KD = ED = 7:
EK = 3 , KD = 4
למשולשים CEK ו־CKD אותו גובה מ־C לישר ED, ולכן:
SCKDSCEK = KDEK = 43📐 משפט: יחס שטחיםמשולשים עם אותו גובה – יחס השטחים = יחס הבסיסים
SCKD = 43S
✅ פתרון סופי: SCKD = 43S
סעיף ג – שטח המשולש CEB
שטח המשולש DCE:
SDCE = SCEK + SCKD = S + 43S = 73S
לפי סעיף א, △CEB ∼ △DCE והצלע CB מתאימה לצלע DE. יחס הדמיון:
k = CBDE = 35√327 = 5√32
k2 = 2532
SCEB = k2 · SDCE📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS1 : S2 = k2k – יחס הדמיון
SCEB = 2532 · 73S
SCEB = 17596S
✅ פתרון סופי: SCEB = 17596S
סעיף ד – הוכחה: ∢COE = ∢CKE
∢COE היא זווית מרכזית ו־∢CAE זווית היקפית, שתיהן נשענות על הקשת CE:
∢COE = 2∢CAE📐 משפט: זווית מרכזיתזווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת
∢CKE היא זווית חיצונית למשולש KCD:
∢CKE = ∢KCD + ∢KDC📐 משפט: זווית חיצוניתזווית חיצונית למשולש = סכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢KCD = ∢ACD, ו־CD ∥ EA:
∢ACD = ∢CAE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
∢KDC = ∢EDC היא זווית היקפית שנשענת על הקשת CE, כמו ∢CAE:
∢EDC = ∢CAE📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות
לכן:
∢CKE = ∢CAE + ∢CAE = 2∢CAE
∢CKE = ∢COE
✅ פתרון סופי: ∢COE = ∢CKE = 2∢CAE הוכח
סעיף ה – O, C, E, K על מעגל אחד
לפי סעיף ד, עם ∢CAE = 45:
∢COE = ∢CKE = 2 · 45 = 90
הנקודות O ו־K רואות את הקטע CE בזווית ישרה, ולכן שתיהן נמצאות על המעגל שהקטע CE הוא קוטרו (זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר).
לכן O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד – המעגל שקוטרו CE.📐 משפט: זווית היקפית ישרהזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: כי ∢COE = ∢CKE = 90 – שתיהן על המעגל שקוטרו CE
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | 43S |
| סעיף ג | 17596S |
| סעיף ד | הוכחה |
| סעיף ה | הסבר |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
הנקודות A , B ו־C נמצאות על מעגל.
הנקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
בנקודה E מעבירים משיק למעגל.
המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G.
המיתרים AE ו־BC נחתכים בנקודה F.
א. הוכיחו: △ACE ∼ △AEG.
נתון: AE = 3√6 , AG = 6.
ב. חשבו את אורך המיתר AC.
ג. הוכיחו: BC ∥ GE.
נתון: שטח המשולש ABF גדול פי 2 משטח המשולש BFE.
ד. חשבו את אורך המיתר AB.
ה. מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – דמיון המשולשים
E אמצע הקשת BC, ולכן הקשתות BE ו־EC שוות, והזוויות ההיקפיות הנשענות עליהן שוות:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות – שוות
∢CAE = ∢EAG
הזווית בין המשיק EG למיתר EA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢AEG = ∢ACE
לכן לפי משפט דמיון ז.ז.:
✅ פתרון סופי: הוכח: △ACE ∼ △AEG
סעיף ב – אורך AC
מהדמיון בסעיף א:📐 דמיון משולשיםיחס הצלעות המתאימות שווה
ACAE = AEAG
AC = AE2AG = (3√6)26 = 546 = 9
✅ פתרון סופי: AC = 9
סעיף ג – BC ∥ GE
קשתות שוות נשענות על מיתרים שווים: BE = EC, ולכן המשולש BEC שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢EBC = ∢ECB
הזווית בין המשיק EG למיתר EB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢GEB = ∢ECB
∢GEB = ∢EBC
אלה זוויות מתחלפות שוות בין הישרים GE ו־BC:📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות שוות – הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ GE
סעיף ד – אורך AB
למשולשים ABF ו־BFE יש גובה משותף מ־B לישר AE, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
AFFE = 2
AFAE = 23
במשולש AGE: BF ∥ GE (סעיף ג):📐 משפט תאלס המורחבישר המקביל לצלע מקצה על שתי הצלעות קטעים פרופורציוניים
ABAG = AFAE = 23
AB = 23 · 6 = 4
✅ פתרון סופי: AB = 4
סעיף ה – יחס השטחים ABF ו־AFC
למשולשים ABF ו־AFC יש גובה משותף מ־A לישר BC:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SABFSAFC = BFFC
AF חוצה את הזווית BAC (סעיף א):📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
BFFC = ABAC = 49
✅ פתרון סופי: 49
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח: △ACE ∼ △AEG |
|---|---|
| סעיף ב | AC = 9 |
| סעיף ג | הוכח: BC ∥ GE |
| סעיף ד | AB = 4 |
| סעיף ה | 49 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו־B (ראו סרטוט).
המיתר AC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה D.
המיתר AE במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה F.
הקטע CE עובר דרך הנקודה B.
א. הוכיחו כי △ACE ∼ △BCD.
נתון: DC = FE.
ב. הוכיחו כי △BFE ≅ △BCD.
ג. (1) הוכיחו כי AC · BE = AE · BC.
(2) הוכיחו כי AB הוא חוצה זווית CAE.
ד. הוכיחו כי ∢DEC = ∢FCE.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – △ACE ∼ △BCD
הנקודות A , D , B , E על המעגל הימני, והנקודות A , C , B , F על המעגל השמאלי.
במשולשים ACE ו־BCD:
1. ∢ACE = ∢BCD – זווית משותפת.📐 נוסחה: זווית משותפתזווית משותפת לשני המשולשים שווה בשניהם
2. המרובע ADBE חסום במעגל הימני. הזווית ∢CDB היא זווית חיצונית שלו בקודקוד D (צמודה ל־∢ADB), ולכן שווה לזווית הנגדית ∢AEB:
∢CDB = ∢AEB = ∢AEC📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה
לכן △ACE ∼ △BCD (ז.ז.), בהתאמה A ↔ B , C ↔ C , E ↔ D.📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות
✅ פתרון סופי: הוכח (ז.ז.)
סעיף ב – △BFE ≅ △BCD
במשולשים BFE ו־BCD:
1. המרובע ACBF חסום במעגל השמאלי. הזווית ∢BFE חיצונית לו בקודקוד F, ולכן:
∢BFE = ∢ACB = ∢BCD📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה
2. מסעיף א:
∢BEF = ∢AEC = ∢CDB
3. נתון:
FE = CD
הצלע FE נמצאת בין הזוויות F ו־E, והצלע CD בין הזוויות C ו־D:
△BFE ≅ △BCD (ז.צ.ז.)📐 משפט: חפיפת משולשים (ז.צ.ז.)צלע ושתי הזוויות שלידה שוות ⟸ המשולשים חופפים
✅ פתרון סופי: הוכח (ז.צ.ז.)
סעיף ג (1) – AC · BE = AE · BC
מהדמיון בסעיף א (לפי ההתאמה A ↔ B , C ↔ C , E ↔ D):
ACBC = AEBD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות
מהחפיפה בסעיף ב: BD מתאימה ל־BE:
BD = BE
ACBC = AEBE
AC · BE = AE · BC
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג (2) – AB חוצה את הזווית CAE
מסעיף ג (1):
ACAE = BCBE
הנקודה B על הצלע CE של המשולש ACE, והיא מחלקת אותה ביחס הצלעות AC : AE:
לכן AB חוצה את הזווית CAE.📐 משפט: חוצה זווית – משפט הפוךACAE = BCBE⟸ AB חוצה את הזווית CAE
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ד – ∢DEC = ∢FCE
מהחפיפה בסעיף ב:
BD = BE , BC = BF
∢DBC = ∢FBE
הזוויות ∢DBE ו־∢FBC צמודות לזוויות השוות האלה (כי C , B , E על ישר אחד):
∢DBE = 180 − ∢DBC📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
∢FBC = 180 − ∢FBE
∢DBE = ∢FBC
המשולשים DBE ו־FBC שווי שוקיים עם זוויות ראש שוות, ולכן זוויות הבסיס שוות:
∢BED = 180 − ∢DBE2📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות
∢BCF = 180 − ∢FBC2📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢BED = ∢BCF
כלומר ∢DEC = ∢FCE.
✅ פתרון סופי: הוכח
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה – דמיון (ז.ז.) |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה – חפיפה (ז.צ.ז.) |
| סעיף ג (1) | הוכחה |
| סעיף ג (2) | הוכחה |
| סעיף ד | הוכחה |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
במלבן ABCD הנקודה E נמצאת על הצלע AD.
הקטע CE חותך את האלכסון BD בנקודה F.
המרובע EABF הוא מרובע בר־חסימה במעגל.
א. הוכיחו: המשולש DAB דומה למשולש BFC.
נתון: DE = EA.
ב. חשבו את היחס EFFC.
נסמן את שטח המשולש DEF ב־S.
ג. הביעו באמצעות S את שטחי המשולשים DFC ו־BFC.
ד. חשבו את יחס הדמיון בין המשולש DAB ובין המשולש BFC.
נסמן: DE = a.
ה. (1) הביעו באמצעות a את אורך האלכסון BD.
(2) הביעו באמצעות a את קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – דמיון המשולשים
EABF מרובע חסום, ו־∢EAB = 90 (זווית במלבן). הזווית הנגדית לה:📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
∢EFB = 180 − 90 = 90
E, F, C על ישר אחד, ולכן הזווית BFC צמודה ל־EFB:
∢BFC = 180 − 90 = 90
∢DAB = ∢BFC = 90
AD ∥ BC (צלעות נגדיות במלבן), ו־BD חותך אותן:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢ADB = ∢FBC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים.📐 דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
המשולש DAB דומה למשולש BFC (בהתאמה D ↔ B , A ↔ F , B ↔ C).
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ב – היחס EF:FC
DE ∥ BC, ולכן המשולשים DEF ו־BCF דומים (זוויות מתחלפות, וזוויות קודקודיות ב־F):
EFFC = DEBC📐 משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
BC = AD = 2DE
EFFC = DE2DE = 12
✅ פתרון סופי: EFFC = 12
סעיף ג – שטחי המשולשים
למשולשים DEF ו־DFC יש אותו גובה מ־D לישר EC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SDFCSDEF = FCEF = 2
SDFC = 2S
המשולש BCF דומה למשולש DEF ביחס 2:📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
SBFC = 22 · S = 4S
✅ פתרון סופי: SDFC = 2S , SBFC = 4S
סעיף ד – יחס הדמיון
SDBC = SDFC + SBFC = 2S + 4S = 6S
האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים שווי שטח:
SDAB = SDBC = 6S
SDABSBFC = 6S4S = 1.5📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
k = √1.5 ≈ 1.22
✅ פתרון סופי: k = √1.5 ≈ 1.22
סעיף ה (1) – האלכסון BD
AD = BC = 2a
מסעיף א יחס הדמיון הוא BDBC = √1.5:
BD = √1.5 · 2a = √6a
✅ פתרון סופי: BD = √6a
סעיף ה (2) – קוטר המעגל
∢EAB = 90 היא זווית היקפית במעגל החוסם, ולכן BE קוטר.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
AB2 = BD2 − AD2 = 6a2 − 4a2 = 2a2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
BE2 = EA2 + AB2 = a2 + 2a2 = 3a2
BE = √3a
בסרטוט (בקנה מידה, a = 1): המלבן, הקטעים CE ו־BD (סגול), המשולש DEF (תכלת) והמעגל שקוטרו BE:
✅ פתרון סופי: √3a
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | 12 |
| סעיף ג | 2S , 4S |
| סעיף ד | √1.5 |
| סעיף ה (1) | BD = √6a |
| סעיף ה (2) | √3a |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שרדיוסו R ומרכזו O.
מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים:
הישר AB משיק למעגל בנקודה B,
הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו־D,
והישר AG מאונך לישר AD (ראו סרטוט).
הנקודות B , D ו־G נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢ADB = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)
א. הביעו את כל זוויות המשולש ABG באמצעות x.
ב. הוכיחו: ABAC = DBBC.
נתון: AC = 12DC , AG = 8.
ג. חשבו את R.
נסמן ב־S את שטח המשולש BDC.
ד. (1) הוכיחו: △ADG ∼ △BDC.
(2) הביעו את שטח המשולש ADG באמצעות S.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – זוויות המשולש ABG
סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: R = 8√3 , x = 30 מעלות):
הזווית ∢ABC: זווית בין המשיק AB למיתר BC.
∢ABC = ∢BDC = x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
הזווית ∢CBD: CD קוטר (עובר דרך O).
∢CBD = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
∢ABD = ∢ABC + ∢CBD = x + 90
הזווית ∢ABG: D , B , G על ישר אחד – זוויות צמודות.
∢ABG = 180 − (x + 90) = 90 − x📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
הזווית ∢AGB: במשולש ADG הזווית ∢GAD = 90 (נתון AG ⊥ AD).
∢AGD = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
הזווית ∢BAG: במשולש ABG:
∢BAG = 180 − (90 − x) − (90 − x)📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢BAG = 180 − 180 + 2x = 2x
✅ פתרון סופי: ∢BAG = 2x , ∢ABG = ∢AGB = 90 − x
סעיף ב – הוכחה
נתבונן במשולשים ABC ו־ADB:
∢BAC = ∢DAB (זווית משותפת)
∢ABC = ∢ADB = x (סעיף א)📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
△ABC ∼ △ADB📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה ⟸ המשולשים דומים
מהדמיון – יחס הצלעות המתאימות שווה:
ABAD = BCDB = ACAB📐 נוסחה: יחס צלעות במשולשים דומיםABAD = BCDB = ACAB
מהשוויון BCDB = ACAB נהפוך את שני האגפים:
DBBC = ABAC
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – חישוב R
לפי סעיף א, במשולש ABG: ∢ABG = ∢AGB = 90 − x.
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:
AB = AG = 8📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
DC = 2R
AC = 12 · 2R = R
AD = AC + CD = R + 2R = 3R
מסעיף ב: ABAD = ACAB, כלומר:
AB2 = AC · AD📐 נוסחה: משיק וחותךAB2 = AC · AD
82 = R · 3R
64 = 3R2
R2 = 643
R = 8√3 = 8√33 ≈ 4.62
✅ פתרון סופי: R = 8√33 ≈ 4.62
סעיף ד (1) – הוכחת דמיון
נתבונן במשולשים ADG ו־BDC:
∢GAD = 90 (נתון AG ⊥ AD)
∢CBD = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
∢ADG = ∢BDC = x (זווית משותפת)
△ADG ∼ △BDC📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה ⟸ המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ד (2) – שטח המשולש ADG
הצלעות המתאימות: AD (ליד הזווית הישרה A ולזווית D) מתאימה ל־BD (ליד הזווית הישרה B ולזווית D).
AD = 3R = 3 · 8√3 = 24√3 = 8√3
מציאת x במשולש ישר הזווית ADG:
tan x = AGAD📐 נוסחה: טנגנס במשולש ישר זוויתtan x = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
tan x = 88√3 = 1√3
x = 30 מעלות
מציאת BD במשולש ישר הזווית BDC (היתר DC = 2R):
BD = DC · cos x📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
BD = 2 · 8√3 · cos 30
BD = 16√3 · √32 = 8
יחס הדמיון: k = ADBD = 8√38 = √3
SADGSBDC = k2 = (√3)2 = 3📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
SADG = 3S
✅ פתרון סופי: SADG = 3S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | 2x , 90 − x , 90 − x |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | R = 8√33 ≈ 4.62 |
| סעיף ד (1) | הוכחה |
| סעיף ד (2) | 3S |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, BA = BC. מנקודה D הנמצאת על השוק BC הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה K. מנקודה E הנמצאת על השוק BA הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה L. נתון: AL = LK = KC.
א. חשבו את BDDC.
הקטעים DL ו־EK נפגשים בנקודה G.
ב. הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון.
נתון: AC = 45. היקף המרובע EDKL הוא 54.
ג. חשבו את אורך הקטע BG.
ד. האם קיימת נקודה F שנמצאת על הישר BG שעבורה המרובע BDFE הוא בר־חסימה במעגל? נמקו.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – היחס BD:DC
נוריד גובה BM לבסיס. במשולש שווה־שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן M אמצע AC.📐 משפט: משולש שווה־שוקייםהגובה לבסיס הוא גם תיכון
נסמן KC = t. אז AC = 3t, ולכן:
MC = 3t2 = 1.5t
DK ⊥ AC ו־BM ⊥ AC, ולכן המשולשים DKC ו־BMC דומים (זווית C משותפת, ושתי זוויות ישרות):📐 משפט: דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
DCBC = KCMC = t1.5t = 23📐 משפט: משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
אם DC = 2s אז BC = 3s, ולכן BD = s:
BDDC = s2s = 12
✅ פתרון סופי: BDDC = 12
סעיף ב – BDGE דלתון
במשולשים AEL ו־CDK:
AL = KC (נתון), ∢A = ∢C (זוויות בסיס במשולש שווה־שוקיים), ∢ELA = ∢DKC = 90.
לכן המשולשים חופפים, ומכאן EL = DK ו־AE = CD.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה ז.צ.ז.
BE = BA − AE = BC − CD = BD
במשולשים ELK ו־DKL: EL = DK, ∢ELK = ∢DKL = 90, והצלע LK משותפת – המשולשים חופפים.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה צ.ז.צ.
∢GKL = ∢GLK
במשולש GLK שתי זוויות שוות, ולכן הוא שווה־שוקיים: GL = GK.📐 משפט: משולש שווה־שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
מהחפיפה גם EK = DL, ולכן:
GE = EK − GK = DL − GL = GD
במרובע BDGE יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: BE = BD ו־GE = GD.📐 הגדרה: דלתוןמרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחה – BDGE דלתון
סעיף ג – אורך BG
AL = LK = KC = 453 = 15
EL ו־DK שניהם מאונכים ל־AC ושווים (סעיף ב), ולכן EDKL מלבן:📐 משפט: מלבןמרובע עם זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות וזווית ישרה
ED = LK = 15
ED + DK + KL + LE = 54
15 + DK + 15 + DK = 54
2DK = 24
DK = 12
מהדמיון בסעיף א:
DKBM = KCMC = 23📐 משפט: משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
12BM = 23 ⟸ BM = 18
GL = GK ו־M אמצע LK, ולכן G נמצאת על האנך האמצעי BM.
במשולש LDK: M אמצע LK ו־GM ∥ DK, ולכן GM קטע אמצעים:📐 משפט: קטע אמצעים במשולששווה למחצית הצלע השלישית
GM = DK2 = 122 = 6
BG = BM − GM = 18 − 6 = 12
בסרטוט (בקנה מידה): הדלתון BDGE בתכלת, הקטעים DL ו־EK בסגול, והגובה BM בירוק מקווקו:
✅ פתרון סופי: BG = 12
סעיף ד – נקודה F
נעביר מ־E אנך לשוק BA, ונסמן ב־F את נקודת החיתוך שלו עם הישר BG (האנך אינו מקביל ל־BG, ולכן נקודת החיתוך קיימת).
BG חוצה את זווית B (הגובה לבסיס במשולש שווה־שוקיים הוא גם חוצה זווית).📐 משפט: משולש שווה־שוקייםהגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש
במשולשים BEF ו־BDF: BE = BD (סעיף ב), ∢EBF = ∢DBF, ו־BF משותפת – המשולשים חופפים.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה צ.ז.צ.
∢BDF = ∢BEF = 90
∢BEF + ∢BDF = 90 + 90 = 180
סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180, ולכן המרובע BDFE בר־חסימה (וקוטר המעגל הוא BF).📐 משפט: מרובע בר־חסימהסכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות
בסרטוט (בקנה מידה): המרובע BDFE בתכלת והמעגל החוסם אותו בירוק:
✅ פתרון סופי: כן – F היא נקודת החיתוך של האנך ל־BA בנקודה E עם הישר BG
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | 12 |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | BG = 12 |
| סעיף ד | כן, קיימת |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R. BC הוא קוטר במעגל.
AG הוא המשך של CA, כמתואר בסרטוט. GB חותך את המעגל בנקודה D.
נתון: GA = AC.
א. הוכיחו כי AB חוצה את הזווית GBC.
ב. הוכיחו: △GBC ∼ △GAD.
נתון כי היחס בין שטח המרובע DBCA לשטח המשולש GAD הוא 15.
ג. הביעו את AC באמצעות R.
דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל. המשיק חותך את המשך הקטע BA בנקודה E.
ד. פי כמה גדול שטח המשולש CBE משטח המשולש ABC?
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – AB חוצה את הזווית GBC
סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: AC = R2):
∢BAC = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
G , A , C על ישר אחד, ולכן גם:
∢BAG = 180 − 90 = 90📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
במשולש GBC: BA ⊥ GC – BA גובה לצלע GC.
נתון GA = AC – BA גם תיכון לצלע GC.
במשולש שבו הגובה הוא גם התיכון, המשולש שווה שוקיים (BG = BC), והגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש.📐 משפט: משולש שווה שוקייםגובה שהוא גם תיכון – המשולש שווה שוקייםבשווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש
∢GBA = ∢ABC
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – הוכחת הדמיון
נתבונן במשולשים GBC ו־GAD:
∢BGC = ∢AGD
(זווית משותפת)
המרובע DBCA חסום במעגל. הזווית ∢GDA היא זווית חיצונית למרובע ליד הקודקוד D, ולכן היא שווה לזווית הפנימית הנגדית ∢ACB:
∢GDA = 180 − ∢BDA = ∢BCA📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות במרובע חסום 180 מעלות
△GBC ∼ △GAD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
(התאמה: G ↔ G , B ↔ A , C ↔ D)
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – AC באמצעות R
SGBC = SGAD + SDBCA
SDBCA = 15 · SGAD
SGBC = 16 · SGAD
SGBCSGAD = k2 = 16📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
k = 4
לפי ההתאמה מסעיף ב, הצלע GB מתאימה לצלע GA:
GBGA = 4
לפי סעיף א GB = BC = 2R, ונתון GA = AC:
2RAC = 4
AC = 2R4 = R2
✅ פתרון סופי: AC = R2 = 0.5R
סעיף ד – פי כמה גדול שטח CBE
∢BCE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
נתבונן במשולשים ישרי הזווית ABC (∢BAC = 90) ו־CBE (∢BCE = 90):
∢ABC = ∢CBE
(זווית משותפת)
△ABC ∼ △CBE📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
התאמה: A ↔ C , B ↔ B , C ↔ E. הצלע BC (במשולש CBE) מתאימה לצלע AB (במשולש ABC).
מציאת AB במשולש ישר הזווית ABC:
AB2 = BC2 − AC2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AB2 = 4R2 − R24 = 15R24
AB = √15 · R2
k = BCAB = 2R√15 · R2 = 4√15
SCBESABC = k2 = 1615📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
✅ פתרון סופי: פי 1615 = 1115
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | AC = 0.5R |
| סעיף ד | פי 1615 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
AB ו־AC משיקים למעגל שמרכזו O בנקודות B ו־C.
BE ו־CE הם מיתרים במעגל.
המעגל החוסם את המשולש ABC חותך את הקטע CE בנקודה D (ראו סרטוט).
נתון: ∢CAB = 90.
א. הוכיחו: BD = DE.
ב. הוכיחו: △ADB ∼ △CEB.
ג. פי כמה גדול שטח המשולש CEB משטח המשולש ADB?
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־BD = DE
סרטוט בקנה מידה: המעגל הנתון (כחול), המעגל החוסם את △ABC (ירוק, מקווקו).
∢ABO = ∢ACO = 90📐 משפט: משיק ורדיוסרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
במרובע ABOC שלוש זוויות ישרות (∢A נתונה), ולכן גם הרביעית:
∢BOC = 360 − 3 · 90 = 90📐 משפט: סכום זוויות במרובע360 מעלות
במעגל הנתון, ∢BEC היא זווית היקפית הנשענת על הקשת BC, כמו הזווית המרכזית ∢BOC:
∢BEC = 902 = 45📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
המרובע ABDC חסום במעגל החוסם את △ABC:
∢BDC = 180 − ∢BAC📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום כל שתי זוויות נגדיות 180 מעלות
∢BDC = 180 − 90 = 90
D על הקטע CE, ולכן הזווית הצמודה:
∢BDE = 180 − 90 = 90
במשולש BDE:
∢DBE = 180 − 90 − 45 = 45📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢DBE = ∢DEB = 45
במשולש מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:
BD = DE
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – הוכחת הדמיון
במשולש ABC: AB = AC ו־∢A = 90, ולכן:📐 משפט: משיקים מנקודהשני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה
∢ACB = ∢ABC = 45
זווית ראשונה: במעגל החוסם, ∢ADB ו־∢ACB נשענות על הקשת AB:
∢ADB = ∢ACB = 45📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢CEB = 45
∢ADB = ∢CEB
זווית שנייה: במעגל החוסם, ∢BAD ו־∢BCD נשענות על הקשת BD:
∢BAD = ∢BCD = ∢BCE📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
△ADB ∼ △CEB📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
התאמה: A ↔ C , D ↔ E , B ↔ B.
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – יחס השטחים
יחס הדמיון: הצלע AB ב־△ADB מתאימה לצלע CB ב־△CEB.
במשולש ישר הזווית ושווה השוקיים ABC:
CB = √(AB2 + AC2) = AB√2📐 משפט: משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
k = CBAB = √2
SCEBSADB = (√2)2 = 2📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
✅ פתרון סופי: פי 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב | הוכח |
| סעיף ג | פי 2 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
שני מעגלים משיקים מבפנים בנקודה P (ראו ציור). מרכזי המעגלים הם M ו־N, ורדיוסי המעגלים הם R1 ו־R2 בהתאמה (R2 < R1).
דרך הנקודה P העבירו משיק משותף לשני המעגלים. מהנקודה M העבירו שני ישרים המשיקים למעגל שמרכזו N בנקודות A ו־B. ישרים אלה חותכים את המשיק המשותף בנקודות C ו־D, כמתואר בציור.
א. הוכיחו: AB ⊥ MN.
ב. הוכיחו: AB ∥ DC.
ג. הוכיחו: NB · MC = MN · DC2.
נתון: R1R2 = 73 , MN = 8.
ד. (1) מצאו את R1 ואת R2.
(2) מצאו את DC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־AB ⊥ MN
MA = MB📐 משפט: שני משיקים מנקודהקטעי המשיקים מנקודה שמחוץ למעגל שווים
NA = NB = R2📐 תכונה: רדיוסיםכל הרדיוסים במעגל שווים
במרובע MANB יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן הוא דלתון.📐 הגדרה: דלתוןמרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
MN הוא האלכסון הראשי (מחבר את קודקודי הראש), ו־AB הוא האלכסון המשני:📐 משפט: דלתוןהאלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו
AB ⊥ MN📐 משפט: דלתוןהאלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו
✅ פתרון סופי: הוכחה – AB ⊥ MN
סעיף ב – הוכחה ש־AB ∥ DC
המעגלים משיקים ב־P, ולכן M, N ו־P על ישר אחד:📐 משפט: מעגלים משיקיםהמרכזים ונקודת ההשקה נמצאים על ישר אחד
DC משיק למעגל הגדול ב־P, ו־MP רדיוס:📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
DC ⊥ MP📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
⟹ DC ⊥ MN
AB ⊥ MN📐 הוכח: סעיף אAB ⊥ MN
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה:📐 משפט: ניצבים לאותו ישראם a ⊥ c ו־b ⊥ c אז a ∥ b
AB ∥ DC📐 משפט: ניצבים לאותו ישראם a ⊥ c ו־b ⊥ c אז a ∥ b
✅ פתרון סופי: הוכחה – AB ∥ DC
סעיף ג – הוכחה ש־NB · MC = MN · DC / 2
נתבונן במשולשים MBN ו־MPC:📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
∢MBN = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢MPC = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢NMB = ∢PMC📐 נימוק: זווית משותפתהזווית ב־M משותפת לשני המשולשים
△MBN ∼ △MPC📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
NBPC = MNMC📐 משפט: יחס דמיוןצלעות מתאימות במשולשים דומים פרופורציוניות
NB · MC = MN · PC📐 נוסחה: כפל בהצלבהab = cd ⟹ ad = bc
MP מאונך ל־DC, ו־MC = MD (כי במשולשים MPC ו־MPD: MP משותפת, ∢MPC = ∢MPD = 90 ו־∢PMC = ∢PMD, כי MN חוצה את הזווית AMB בדלתון). לכן P אמצע DC:📐 משפט: חפיפת משולשים (ז.צ.ז.)זווית, צלע וזווית שוות ⟸ המשולשים חופפים
PC = DC2📐 תכונה: אמצע קטעPC = PD = DC2
NB · MC = MN · DC2📐 חישוב: הצבהPC = DC2
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ד (1) – הרדיוסים
M, N ו־P על ישר אחד, ו־N בין M ל־P:📐 משפט: מעגלים משיקיםהמרכזים ונקודת ההשקה נמצאים על ישר אחד
MN = MP − NP = R1 − R2📐 תכונה: מעגלים משיקים מבפניםהמרחק בין המרכזים = R1 − R2
R1 = 7k📐 נתון: יחסR1R2 = 73
R2 = 3k
7k − 3k = 8📐 נתון: הנתוןMN = 8
⟹ 4k = 8
⟹ k = 2
R1 = 14📐 חישוב: הצבהR1 = 7k , R2 = 3k
R2 = 6
✅ פתרון סופי: R1 = 14 , R2 = 6
סעיף ד (2) – אורך DC
במשולש MBN ישר הזווית (∢MBN = 90):📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MB2 + 62 = 82📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MB = √28 = 2√7📐 נוסחה: פישוט שורש√28 = √(4 · 7) = 2√7
מהדמיון בסעיף ג (MP = R1 = 14):📐 משפט: יחס דמיוןNBPC = MBMP
6PC = 2√714📐 משפט: יחס דמיוןNBPC = MBMP
PC = 6 · 142√7 = 42√7 = 6√7📐 נוסחה: ביטול שורש מהמכנה42√7 = 42√77 = 6√7
DC = 2 · PC = 12√7 ≈ 31.75📐 תכונה: אמצע קטעDC = 2 · PC
✅ פתרון סופי: DC = 12√7 ≈ 31.75
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| א | הוכחה |
|---|---|
| ב | הוכחה |
| ג | הוכחה |
| ד (1) | R1 = 14 , R2 = 6 |
| ד (2) | DC = 12√7 ≈ 31.75 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה A (ראה סרטוט). הנקודה O היא מרכז המעגל השמאלי.
מעבירים בנקודה A משיק משותף לשני המעגלים. B ו־C הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים. שני המשיקים נחתכים בנקודה M.
א. הוכח כי הזווית BAC ישרה.
ב. הוכח כי 4 · AM2 = AC2 + AB2 .
נתון: AB = 8 , AC = 6 .
ג. חשב את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה O.
ד. חשב את יחס השטחים SOBMSAMC .
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – BAC ישרה
מ־M יוצאים שני משיקים למעגל השמאלי (MB , MA) ושני משיקים למעגל הימני (MA , MC):📐 משפט: משיקים מנקודה למעגלשני קטעי המשיקים היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
MB = MA
MC = MA
MA = MB = MC = BC2
AM הוא תיכון לצלע BC במשולש ABC ושווה למחציתה:📐 משפט: תיכון במשולשאם התיכון לצלע שווה למחצית הצלע – המשולש ישר זווית, והזווית מול הצלע ישרה
∢BAC = 90
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – הוכחה
BC = 2AM
המשולש ABC ישר זווית ב־A:📐 נוסחה: משפט פיתגורסBC2 = AB2 + AC2
BC2 = AB2 + AC2
(2AM)2 = AC2 + AB2
4 · AM2 = AC2 + AB2
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – רדיוס המעגל O
4 · AM2 = 36 + 64 = 100
⟹ AM = 5
MB = MA = 5
OA = OB (רדיוסים) ו־MA = MB, לכן OM הוא האנך האמצעי של AB. נסמן ב־N את אמצע AB:📐 משפט: אנך אמצעינקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו
BN = 4
∢BNM = 90
MN = √52 − 42 = 3
∢OBM = 90 (רדיוס מאונך למשיק), ו־BN הוא הגובה ליתר OM:📐 משפט: גובה ליתר במשולש ישר זוויתOBBM = BNMN (משולשים דומים OBN ∼ BMN)
OB5 = 43
R = OB = 203
✅ פתרון סופי: R = 203 ≈ 6.67
סעיף ד – יחס השטחים
OBM ישר זווית ב־B:📐 נוסחה: שטח משולשS = a · h2S = a · b2 (ישר זווית)
SOBM = 203 · 52 = 503
AMC שווה שוקיים (MA = MC = 5), בסיס AC = 6. הגובה מ־M חוצה את הבסיס:
h = √52 − 32 = 4
SAMC = 6 · 42 = 12
SOBMSAMC = 50312 = 2518
▬ המעגלים (כחול) · ▬ המשיקים (סגול) · ▬ המשולש ABC (ירוק חזק) · ▬ המשולש OBM (תכלת)
✅ פתרון סופי: 2518
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב | הוכח |
| סעיף ג | R = 203 |
| סעיף ד | 2518 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il