מה הפתרון של שאלה 1 (וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: B′A = −v − w , B′E = u − ½v; סעיף ב: טענה 1 לא נכונה, טענות 2 ו־3 נכונות; סעיף ג: גובה המנסרה 4; סעיף ד: |B′E| = √3 , שטח המשולש AB′E = √15 ≈ 3.87

מה הפתרון של שאלה 2 (רגרסיה: טמפרטורה ומדוזות) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: 14 מדוזות; סעיף ב: רק היגד 3 נכון; סעיף ג: y = (4/7)x − 8/7 ≈ 0.571x − 1.143; סעיף ד: בערך 17.71 (קרוב ל־18) מדוזות

מה הפתרון של שאלה 3 (גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: יישוב א' – גרף III, יישוב ב' – גרף II; סעיף ב: בערך 430 נדבקים; סעיף ג: אחרי כ־10.32 ימים; סעיף ד: ירידה של כ־36.37% ביום; סעיף ה: כן – ביישוב ב' (אחרי כ־9.83 ימים) וביישוב ג' (עובר דרך 600 אחרי כ־4.2 ימים)

מה הפתרון של שאלה 4 (חקירת פונקציית ln) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: a = 9; סעיף ב: תחום x > 3 או x 3, יורדת ל־x 7 או x < 1; סעיף ד: g לא זוגית ולא אי־זוגית

מה הפתרון של שאלה 5 (פונקציית e עם מנה, גרף הנגזרת ושטח) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: מינימום ב־x = a; סעיף ב: מינימום (−1.5 , 2/e³), a = −1.5; סעיף ג: עולה ל־x > −1.5, יורדת ל־x < −2 ול־−2 < x < −1.5; סעיף ד: (0 , ½), אין חיתוך עם ציר x; סעיף ה: x = −2; סעיף ז: שטח ½ − 2/e³ ≈ 0.40

בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)

Q: מה הפתרון של שאלה 5 (פונקציית e עם מנה, גרף הנגזרת ושטח) בבגרות 472 חורף 2022 (פברואר, נבצרים)?

סעיף א: מינימום ב־x = a; סעיף ב: מינימום (−1.5 , 2/e³), a = −1.5; סעיף ג: עולה ל־x > −1.5, יורדת ל־x < −2 ול־−2 < x < −1.5; סעיף ד: (0 , ½), אין חיתוך עם ציר x; סעיף ה: x = −2; סעיף ז: שטח ½ − 2/e³ ≈ 0.40

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטריה במרחב, סטטיסטיקה (שאלות 1–2); פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים. זהו מועד הנבצרים של חורף 2022 (פברואר). קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 (פברואר)

שאלון 472 חורף 2022 נבצרים – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 4

שאלון 472 חורף 2022 נבצרים – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 4

שאלון 472 חורף 2022 נבצרים – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 4

שאלון 472 חורף 2022 נבצרים – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 4

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – גאומטריה במרחב, סטטיסטיקה
שאלה 1 – וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין
שאלה 2 – רגרסיה: טמפרטורת המים ומדוזות
פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 3 – גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים
שאלה 4 – חקירת פונקציית ln, הזזה וזוגיות
שאלה 5 – פונקציית e עם מנה, גרף הנגזרת ושטח

שאלה 1 – וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין

📄 נוסח השאלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCD הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∢BAD = 60 מעלות, נפח המנסרה הוא 8√3. הנקודה E היא אמצע המקצוע C′D′.

נסמן: AD = u , AB = v , AA′ = w.

א. הבע את הווקטורים B′A ו־B′E באמצעות u, v ו־w.

ב. לפניך שלוש טענות (1–3). קבע אלו מהטענות נכונות. נמק. (1) u · v = 0 (2) u · w = 0 (3) B′A מאונך ל־B′E.

ג. חשב את אורך הגובה של המנסרה.

ד. (1) חשב את אורך הווקטור B′E. (2) חשב את שטח המשולש AB′E.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הבעת B′A ו־B′E

B′A: מ־B′ יורדים ל־B ומשם הולכים ל־A:

B′A = B′B + BA📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

B′B = −w , BA = −v📐 וקטור נגדיXY = −YX

B′A = −v − w

B′E: מ־B′ הולכים ל־C′ ומשם לאמצע C′D′:

B′E = B′C′ + C′E📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

במעוין (ובמנסרה) מקצועות מקבילים ושווים הם אותו וקטור: B′C′ = AD = u, C′D′ = BA = −v. E אמצע C′D′:

C′E = 12C′D′ = −12v📐 אמצע קטעXM = 12XY כש־M אמצע XY

B′E = u − 12v

✅ פתרון סופי: B′A = −v − w
B′E = u − 12v

סעיף ב – שלוש הטענות

נתונים: |u| = |v| = 2 (צלעות המעוין), והזווית בין u ל־v היא ∢BAD = 60 מעלות.

טענה (1):

u · v = 2 · 2 · cos 60 = 4 · 12 = 2 ≠ 0📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos ∢

← טענה (1) לא נכונה.

טענה (2): במנסרה ישרה המקצוע הצדדי AA′ מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־AD:

u · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

← טענה (2) נכונה. (מאותה סיבה גם v · w = 0.)

טענה (3): מחשבים את המכפלה הסקלרית:

B′A · B′E = (−v − w) · (u − 12v)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c

= −v · u + 12v · v − w · u + 12w · v📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

= −2 + 12 · 4 − 0 + 0 = −2 + 2 = 0

B′A ⊥ B′E📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

← טענה (3) נכונה.

✅ פתרון סופי: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות

סעיף ג – גובה המנסרה

S_ABCD = 2 · 2 · sin 60 = 4 · √32 = 2√3📐 שטח מקבילית (ומעוין)S = a · b · sin ∢

8√3 = 2√3 · h📐 נפח מנסרה (S – שטח הבסיס)V = S · h

h = 8√32√3 = 4

✅ פתרון סופי: גובה המנסרה: 4

סעיף ד (1) – אורך B′E

|B′E|² = (u − 12v) · (u − 12v)📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

= |u|² − 2 · 12u · v + ¼|v|²📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

= 4 − 2 + ¼ · 4 = 3

|B′E| = √3 ≈ 1.73

✅ פתרון סופי: |B′E| = √3 ≈ 1.73

סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E

לפי טענה (3) – ∢AB′E = 90 מעלות, כלומר המשולש ישר־זווית ב־B′. לפי סעיף ג |w| = 4. צריך גם את |B′A|:

|B′A|² = (−v − w) · (−v − w) = |v|² + 2v · w + |w|²📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

= 4 + 0 + 16 = 20 , |B′A| = √20 = 2√5

S = 2√5 · √32 = √15 ≈ 3.87📐 שטח משולש ישר־זווית (a, b – הניצבים)S = a · b2

✅ פתרון סופי: S = √15 ≈ 3.87

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	B′A = −v − w B′E = u − 12v
סעיף ב	(1) לא נכונה, (2) ו־(3) נכונות
סעיף ג	4
סעיף ד (1)	√3
סעיף ד (2)	√15 ≈ 3.87

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה: טמפרטורת המים ומדוזות

📄 נוסח השאלה

במחקר על הקשר בין טמפרטורת המים X לבין כמות המדוזות Y, נאספו 30 זוגות נתונים והתקבלו התוצאות הבאות: X̄ = 26.5 , S_X = 3.5 , Ȳ = 14 , S_Y = 2.5 (הטמפרטורות במעלות). נערך ניבוי בעזרת ישר רגרסיה לכמות המדוזות לפי טמפרטורת המים.

א. מה יהיה הניבוי לכמות המדוזות כאשר טמפרטורת המים היא הטמפרטורה הממוצעת 26.5 מעלות?

נתון בנוסף כי מקדם המתאם הוא r = 0.8.

ב. לפניך שלושה היגדים (1–3). קבע אלו מההיגדים נכונים. נמק. (1) מקדם המתאם לא מאפשר ניבוי טוב כי הוא קטן מ־1. (2) ככל שהטמפרטורה יורדת, ננבא כמות גדולה יותר של מדוזות. (3) ככל שהטמפרטורה עולה, ננבא כמות גדולה יותר של מדוזות.

ג. מצא את ישר הרגרסיה לניבוי כמות המדוזות לפי הטמפרטורה.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מה יהיה הניבוי לכמות המדוזות ביום שבו טמפרטורת המים היא 33 מעלות?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ניבוי בטמפרטורה הממוצעת

ישר הרגרסיה עובר דרך (X̄ , Ȳ)📐 נקודת הממוצעיםישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (X̄ , Ȳ)

לכן כש־x = X̄ = 26.5, הניבוי הוא y = Ȳ = 14 – גם בלי לדעת את מקדם המתאם.

✅ פתרון סופי: הניבוי: 14 מדוזות

סעיף ב – שלושת ההיגדים

r קרוב ל־1 ← קשר חיובי חזק📐 משמעות מקדם המתאםr > 0 ← קשר חיובי (x עולה ← y עולה)|r| קרוב ל־1 ← קשר חזק, ניבוי טוב

היגד (1): r = 0.8 הוא קשר חזק – הניבוי טוב. r = 1 אומר שכל הנקודות בדיוק על ישר, אבל גם בלי זה הניבוי טוב ← לא נכון.

היגד (2): r > 0 ← שיפוע ישר הרגרסיה חיובי. כשהטמפרטורה יורדת, ננבא פחות מדוזות ← לא נכון.

היגד (3): שיפוע חיובי ← כשהטמפרטורה עולה, ננבא יותר מדוזות ← נכון.

✅ פתרון סופי: רק היגד (3) נכון

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = r · S_YS_X = 0.8 · 2.53.5 = 47 ≈ 0.571📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · S_YS_X

y − 14 = 47(x − 26.5)📐 ישר הרגרסיה דרך נקודת הממוצעיםy − Ȳ = b(x − X̄)

y − 14 = 47x − 1067📐 פתיחת סוגריים47 · 26.5 = 1067

y = 47x − 1067 + 987 = 47x − 87

✅ פתרון סופי: y = 47x − 87 ≈ 0.571x − 1.143

סעיף ד – ניבוי ב־33 מעלות

y = 47 · 33 − 87 = 132 − 87 = 1247 ≈ 17.71📐 ישר הרגרסיה (סעיף ג)y = 47x − 87

✅ פתרון סופי: כ־17.71 מדוזות (בערך 18)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	14 מדוזות
סעיף ב	רק היגד (3)
סעיף ג	y = 47x − 87
סעיף ד	כ־17.71

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 6 – נקודת הממוצעים ומציאת קו הניבוי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים

📄 נוסח השאלה

לפניך גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא M(t) = 10 · 1.5^t, וביישוב ב' היא G(t) = 100 · 1.2^t.

א. התאם לכל אחד מן היישובים א' וב' את גרף הפונקציה מבין הגרפים I–III. נמק.

ב. מה היה מספר הנדבקים ביישוב ב' לאחר 8 ימים?

ג. חשב לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישוב א' וביישוב ב' היה שווה.

בזמן הבדיקה הראשונית של יישובים א' וב', ביישוב ג' מספר הנדבקים היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', לכן הוחלט לתת ביישוב ג' תרופה ניסיונית ומספר הנדבקים קטן באופן מעריכי. לאחר 8 ימים מספר הנדבקים ביישוב ג' היה רבע ממספר הנדבקים ביישוב ב'.

ד. חשב בכמה אחוזים ירד מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ג'.

ה. הוחלט לסגור את בתי הספר ביישוב בו מספר הנדבקים יגיע ל־600. האם יסגרו את בתי הספר באחד מיישובים אלו במהלך 10 הימים מהבדיקה הראשונית? נמק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – התאמת הגרפים

M(t) = M₀ · q^t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

גרף I יורד – מתאים לדעיכה (יישוב ג׳), לא ל־M ולא ל־G, ששתיהן גדלות (q > 1).

בהתחלה (t = 0): M(0) = 10 ו־G(0) = 100. גרף III מתחיל נמוך יותר מגרף II, ולכן III הוא של יישוב א׳, ו־II של יישוב ב׳.

בדיקה: 1.5 > 1.2 – M גדלה מהר יותר, ואכן גרף III תלול יותר וחוצה את גרף II.

✅ פתרון סופי: יישוב א' – גרף III
יישוב ב' – גרף II

סעיף ב – יישוב ב' אחרי 8 ימים

G(8) = 100 · 1.2⁸ ≈ 100 · 4.2998 ≈ 430📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

✅ פתרון סופי: כ־430 נדבקים

סעיף ג – מתי המספרים שווים

10 · 1.5^t = 100 · 1.2^t

מחלקים ב־10 וב־1.2^t:

(1.51.2)^t = 10 ⟸ 1.25^t = 10📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךa^tb^t = (ab)^t

t · ln 1.25 = ln 10📐 חוקי לוגריתמיםln(a^t) = t · ln a

t = ln 10ln 1.25 ≈ 2.30260.2231 ≈ 10.32

✅ פתרון סופי: לאחר כ־10.32 ימים

סעיף ד – אחוז הירידה ביישוב ג'

C(0) = 40 · G(0) = 40 · 100 = 4000

C(8) = ¼ · G(8) ≈ ¼ · 429.98 ≈ 107.5

4000 · q⁸ = 107.5📐 גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

q⁸ = 107.54000 ≈ 0.026874

q = ⁸√0.026874 ≈ 0.6363📐 שורש מסדר גבוהqⁿ = a ⟸ q = ⁿ√a

0.6363 = 1 − p100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100

p ≈ 36.37

✅ פתרון סופי: מספר הנדבקים ירד בכ־36.37% בכל יום

סעיף ה – האם יגיעו ל־600 תוך 10 ימים

יישוב א' – הפונקציה עולה, ולכן המקסימום בעשרת הימים הוא ביום 10:

M(10) = 10 · 1.5¹⁰ ≈ 576.7 < 600

← ביישוב א' לא מגיעים ל־600.

יישוב ב':

G(10) = 100 · 1.2¹⁰ ≈ 619.2 > 600

100 · 1.2^t = 600 ⟸ t = ln 6ln 1.2 ≈ 9.83📐 חוקי לוגריתמיםln(a^t) = t · ln a

← ביישוב ב' מגיעים ל־600 אחרי כ־9.83 ימים.

יישוב ג' – מתחיל ב־4000 ויורד, ולכן עובר דרך 600:

4000 · 0.6363^t = 600 ⟸ t = ln 0.15ln 0.6363 ≈ 4.2📐 חוקי לוגריתמיםln(a^t) = t · ln a

← ביישוב ג' מספר הנדבקים שווה ל־600 אחרי כ־4.2 ימים (בדרך למטה).

✅ פתרון סופי: כן – ביישוב ב' (אחרי כ־9.83 ימים) וביישוב ג' (אחרי כ־4.2 ימים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	א׳ – גרף III, ב׳ – גרף II
סעיף ב	כ־430
סעיף ג	כ־10.32 ימים
סעיף ד	כ־36.37%
סעיף ה	כן – ביישובים ב׳ ו־ג׳

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית ln, הזזה וזוגיות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2 ln(x² − a), a פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה x = 5 שווה ל־1.25.

א. מצא את a.

הצב a = 9 וענה על הסעיפים הבאים:

ב. (1) רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקציה f(x). (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (4) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 4).

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ד. האם הפונקציה g(x) זוגית / אי־זוגית / או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמק.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – מציאת a

f′(x) = 2 · 2xx² − a = 4xx² − a📐 נגזרת ln של פונקציה(ln g(x))′ = g′(x)g(x)

שיפוע המשיק ב־x = 5 הוא f′(5):

f′(5) = 2025 − a = 1.25📐 שיפוע משיקשיפוע המשיק = f′(x₀)

20 = 1.25(25 − a) ⟸ 25 − a = 16

a = 9

✅ פתרון סופי: a = 9

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

x² − 9 > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0

x² > 9

x > 3 או x < −3

✅ פתרון סופי: x > 3 או x < −3

סעיף ב (2) – אסימפטוטות אנכיות

בקצוות התחום (x = ±3) הביטוי x² − 9 שואף ל־0 מצד החיוביים, ולכן ln(x² − 9) שואף למינוס אינסוף.

ln t → −∞ כש־t → 0⁺📐 אסימפטוטה של lnכש־t מתקרב ל־0 מימין, ln t שואף למינוס אינסוף ← אסימפטוטה אנכית

✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −3

סעיף ב (3) – עלייה וירידה

f′(x) = 4xx² − 9

בתחום ההגדרה המכנה x² − 9 > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x:

x > 3 : 4x > 0 , f′ > 0 ← עולה

x < −3 : 4x < 0 , f′ < 0 ← יורדת

f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקציה עולהf′(x) < 0 ← הפונקציה יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: x > 3
ירידה: x < −3

סעיף ב (4) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה ← אין חיתוך.

ציר ה־x:

2 ln(x² − 9) = 0 ⟸ ln(x² − 9) = 0

x² − 9 = e⁰ = 1📐 הגדרת lnln t = 0 ⟺ t = 1

x² = 10 ⟸ x = ±√10 ≈ ±3.16

✅ פתרון סופי: (√10 , 0) , (−√10 , 0)
עם ציר ה־y – אין

סעיף ב (5) – סקיצה

שני ענפים: משמאל ל־x = −3 – יורד מאינסוף, חותך את ציר ה־x ב־−3.16 ויורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה. מימין ל־x = 3 – עולה ממינוס אינסוף, חותך ב־3.16 וממשיך לעלות. הגרף סימטרי ביחס לציר ה־y (כי f(−x) = f(x)).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ג – סקיצה של g(x) = f(x − 4)

y = f(x − k)📐 הזזה אופקיתf(x − k) – הזזה של הגרף k יחידות ימינה

הגרף של g הוא הגרף של f מוזז 4 יחידות ימינה: האסימפטוטות x = 1 ו־x = 7, התחום x < 1 או x > 7, וחיתוך עם ציר ה־x ב־4 ± √10.

עכשיו יש גם חיתוך עם ציר ה־y (x = 0 בתחום): g(0) = f(−4) = 2 ln 7 ≈ 3.89.

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ד – זוגית / אי־זוגית

תחום סימטרי + g(−x) = g(x) ← זוגית📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: g(−x) = g(x) לכל x בתחוםאי־זוגית: g(−x) = −g(x)בשני המקרים התחום חייב להיות סימטרי סביב 0

התחום של g הוא x < 1 או x > 7 – לא סימטרי סביב 0. למשל x = −5 בתחום, אבל x = 5 לא בתחום.

לכן g לא יכולה להיות זוגית ולא אי־זוגית.

✅ פתרון סופי: לא זוגית ולא אי־זוגית

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	a = 9
סעיף ב (1)	x > 3 או x < −3
סעיף ב (2)	x = ±3
סעיף ב (3)	עלייה x > 3, ירידה x < −3
סעיף ב (4)	(±√10 , 0)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	לא זוגית ולא אי־זוגית

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תחום הגדרה של ln ונגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציית e עם מנה, גרף הנגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

הפונקציות f(x) ו־f′(x) מוגדרות בתחום x ≠ −2. לפניך סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x). גרף פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת (a , 0). a הוא קבוע.

א. הבע באמצעות a את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

נתון גם כי: f(x) = e^2xx + 2.

ב. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), ורשום את הערך של a.

ג. רשום את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ה. מצא את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקציה f(x).

ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ז. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), ציר ה־x וציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הקיצון לפי גרף הנגזרת

בנקודה x = a הנגזרת מתאפסת. לפי הגרף, משמאל ל־a הנגזרת שלילית (מתחת לציר ה־x) ומימין ל־a היא חיובית (מעל הציר).

f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: ב־x = a יש ל־f נקודת מינימום

סעיף ב – נקודת הקיצון והערך של a

כלל המנה עם u = e^2x, v = x + 2 ⟸ v′ = 1:

u′ = 2e^2x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 2e^2x · (x + 2) − e^2x · 1(x + 2)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

f′(x) = e^2x · (2x + 4 − 1)(x + 2)² = e^2x · (2x + 3)(x + 2)²

f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x + 3 = 0 ⟸ x = −1.5📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

f(−1.5) = e⁻³−1.5 + 2 = e⁻³0.5 = 2e³ ≈ 0.10

הנגזרת חותכת את ציר ה־x רק ב־x = −1.5, ולכן a = −1.5.

✅ פתרון סופי: מינימום (−1.5 , 2e³) ≈ (−1.5 , 0.10)
a = −1.5

סעיף ג – עלייה וירידה

הסימן של f′ הוא הסימן של 2x + 3 (כי e^2x > 0 והמכנה ריבוע חיובי). צריך לזכור את x = −2 שלא בתחום:

x = −3 : 2 · (−3) + 3 = −3 < 0 ← יורדת

x = −1.8 : 2 · (−1.8) + 3 = −0.6 < 0 ← יורדת

x = 0 : 3 > 0 ← עולה

f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקציה עולהf′(x) < 0 ← הפונקציה יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: x > −1.5
ירידה: x < −2 וגם −2 < x < −1.5

סעיף ד – חיתוך עם הצירים

f(0) = e⁰0 + 2 = 12

e^2x = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

אין פתרון – אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , 12); עם ציר ה־x – אין

סעיף ה – האסימפטוטה האנכית

ב־x = −2 המכנה מתאפס, והמונה e⁻⁴ ≠ 0.

מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית

✅ פתרון סופי: x = −2

סעיף ו – סקיצה

משמאל ל־x = −2: המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x; כש־x שואף למינוס אינסוף e^2x שואף ל־0 והגרף מתקרב לציר מלמטה, ואז יורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה.

מימין ל־x = −2: הגרף מעל ציר ה־x – יורד מאינסוף למינימום (−1.5 , 0.10), ואז עולה דרך (0 , 0.5).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ז – השטח

הגרף של f′ חותך את ציר ה־x ב־x = −1.5, ובין x = −1.5 ל־x = 0 (ציר ה־y) הוא מעל הציר (f′ > 0):

S = ∫0−1.5 f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba f(x) dx

הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה:

S = f(0) − f(−1.5)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

S = 12 − 2e³ ≈ 0.5 − 0.0996 ≈ 0.40

✅ פתרון סופי: S = 12 − 2e³ ≈ 0.40 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	מינימום ב־x = a
סעיף ב	מינימום (−1.5 , 2e³), a = −1.5
סעיף ג	עלייה x > −1.5 ירידה x < −2 , −2 < x < −1.5
סעיף ד	(0 , 12)
סעיף ה	x = −2
סעיף ו	סקיצה
סעיף ז	12 − 2e³ ≈ 0.40

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.