עוד דוגמאות פתורות – חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות – בגרות 472

פתרון:
א. הופכים לאותו בסיס 2: 4 = 2² , 8 = 2³
(2³)⁴ · (2²)⁵(2³)⁶
חזקה של חזקה – כופלים מעריכים (חוק 4):
= 2¹² · 2¹⁰2¹⁸
במונה כפל – מחברים מעריכים (חוק 1): = 2²²2¹⁸
מונה חלקי מכנה – מחסירים מעריכים (חוק 2): = 2^{22 − 18} = 2⁴
= 16
ב. מפרקים לבסיסים 2 ו־3: 6 = 2 · 3 , 12 = 2² · 3
(2 · 3)⁵ · 2³(2² · 3)⁴
חזקה של מכפלה (חוק 5) וחזקה של חזקה (חוק 4):
= 2⁵ · 3⁵ · 2³2⁸ · 3⁴
מסדרים לפי בסיסים: = 2⁸ · 3⁵2⁸ · 3⁴
כל בסיס לחוד: 2^{8 − 8} · 3^{5 − 4} = 2⁰ · 3¹ = 1 · 3
= 3

פתרון:
א. מביאים לאותו בסיס 5:
25³⁰ = (5²)³⁰ = 5⁶⁰
125²¹ = (5³)²¹ = 5⁶³
הבסיס 5 גדול מ־1 ← המעריך הגדול נותן את החזקה הגדולה: 60 < 63
← 125²¹ > 25³⁰
ב. מביאים לאותו בסיס 2:
16⁹ = (2⁴)⁹ = 2³⁶
32⁷ = (2⁵)⁷ = 2³⁵
36 > 35 ← 16⁹ > 32⁷
ג. מביאים לאותו בסיס 13:
(19)¹⁰ = ((13)²)¹⁰ = (13)²⁰
(127)⁷ = ((13)³)⁷ = (13)²¹
הבסיס שבר בין 0 ל־1 ← המעריך הגדול נותן את החזקה הקטנה: 20 < 21
← (19)¹⁰ > (127)⁷

פתרון:
א. מפרקים את החזקה: 3^{x + 2} = 3^x · 3² = 9 · 3^x
9 · 3^x − 3^x = 72
גורם משותף: 3^x(9 − 1) = 72 ← 8 · 3^x = 72
מחלקים ב־8: 3^x = 9 = 3²
← x = 2
ב. הופכים לאותו בסיס 2: 4 = 2² , 8 = 2³
(2²)^{x + 1} = (2³)^{x − 1}
2^{2(x + 1)} = 2^{3(x − 1)}
בסיסים שווים ← מעריכים שווים:
2(x + 1) = 3(x − 1)
2x + 2 = 3x − 3
מעבירים אגפים: 2 + 3 = 3x − 2x
← x = 5
ג. כותבים את אגף ימין כחזקה של 2:
8 = 2³
√2 = 2^0.5
8√2 = 2³ · 2^0.5 = 2^{3 + 0.5} = 2^3.5
2^x = 2^3.5 ← x = 3.5

פתרון:
א. יש גם 9 בחזקת x וגם 3 בחזקת x ← הצבה
9^x = (3²)^x = (3^x)²
מציבים 3^x = t: t² − 4t + 3 = 0
(t − 1)(t − 3) = 0 ← t = 1 או t = 3
חוזרים להצבה:
3^x = 1 = 3⁰ ← x = 0
3^x = 3 = 3¹ ← x = 1
← x = 0 , x = 1
ב. מפרקים את החזקה: 2^{x + 1} = 2 · 2^x , 4^x = (2^x)²
מציבים 2^x = t: t² − 2t − 8 = 0
(t − 4)(t + 2) = 0 ← t = 4 או t = −2
חוזרים להצבה:
2^x = 4 = 2² ← x = 2
2^x = −2 ← אין פתרון (2^x > 0 תמיד) – נפסל
← x = 2