מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותחוקי חזקות ומשוואות מעריכיות

4 יחידות · שאלון 472 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: חזקות ומשוואות מעריכיות – 472⬅️ חזרה לקורס: חזקות ומשוואות מעריכיות – 572

1. חוקי חזקות – 7 החוקים

📐 7 חוקי החזקות
an · am = an + m (מחברים מעריכים)
anam = an − m (מחסירים מעריכים)
a0 = 1
(an)m = an · m (כופלים מעריכים)
(a · b)n = an · bn
(ab)n = anbn
a−n = 1an
חוק 1: כפל חזקות עם אותו בסיסx2 · x3 · x5 = x10
חוק 2: חילוק חזקות עם אותו בסיסx6x2 = x4
חוק 3: חזקת 05353 = 50 = 1
חוק 4: חזקה של חזקה(22)3 = 26
חוק 5: חזקה של מכפלה(2 · 4)2 = 22 · 42 = 64
חוק 6: חזקה של שבר(23)2 = 49
חוק 7: חזקה שלילית5−2 = 152 = 125
🔹 חוקים 1 ו־2 רק כשהבסיס זהה: 42 · 53 · 4 · 52 = 43 · 55.
🔹 4 = 41 – בסיס בלי מעריך הוא בחזקת 1.

2. תרגול: סדר פישוט של תרגיל מסכם

  1. חזקה של חזקה, של מכפלה ושל שבר – פותחים סוגריים (חוקים 4–6).
  2. מסדרים לפי בסיסים: כל בסיס לחוד.
  3. במונה ובמכנה: כפל ← מחברים מעריכים (חוק 1).
  4. מונה חלקי מכנה ← מחסירים מעריכים (חוק 2).
  5. מעריך שלילי ← הופכים לשבר (חוק 7). מעריך 0 ← 1.
דוגמה (שיעור 4): (32)3 · (33)4(36)3 = 36 · 312318 = 318318 = 1
חזקה שלילית (שיעור 13): (32)2 · 3237 = 3637 = 3−1 = 13
🔹 המעריך הגדול במכנה? יוצא מעריך שלילי ← כותבים כשבר.

3. הופכים לאותו בסיס, ופירוק לשני בסיסים

📐 חזקות שכדאי לזכור
4 = 22 , 8 = 23 , 16 = 24 , 32 = 25
9 = 32 , 27 = 33 , 25 = 52 , 125 = 53
10 = 2 · 5 , 6 = 2 · 3
  1. כל מספר כותבים כחזקה של בסיס קטן (2, 3 או 5).
  2. חזקה של חזקה: כופלים מעריכים.
  3. בסיס כמו 10 או 6 – מפרקים למכפלה ופותחים בחוק 5.
  4. מפשטים בחוקים 1, 2.
שיעור 18: 93 · 35274 = 36 · 35312 = 311312 = 13
שיעור 16: 323210 · 82 = 215210 · 26 = 215216 = 2−1 = 12

4. השוואת חזקות – מי גדול יותר?

  1. מביאים את שתי החזקות לאותו בסיס.
  2. בסיס גדול מ־1: המעריך הגדול ← החזקה הגדולה.
  3. בסיס שבר (בין 0 ל־1): המעריך הגדול ← החזקה הקטנה.
4100 ? 835 ← 2200 > 2105
94 ? 273 ← 38 < 39
(14)20 ? (18)13 ← (12)40 < (12)39

5. משוואות מעריכיות

📐 השוואת בסיסים
af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x)
📐 פירוק חזקה
ax + n = ax · an
למשל 2x + 2 = 4 · 2x
📐 שורש ושבר כחזקה
√a = a12
1a = a−1
אותו בסיס פעמיים, מחובר או מחוסרהוצאת גורם משותף: 2x + 2 + 2x = 40 ← 5 · 2x = 40 ← x = 3
גם 4x וגם 2xהצבה t = 2x: t2 − 5t + 4 = 0 ← t = 4 , t = 1 ← x = 2 , x = 0
חזקה אחת בכל אגףהשוואת בסיסים: 4x + 1 = 8x ← 2(x + 1) = 3x ← x = 2
שבר או שורשכותבים כחזקה: 2x = 4√2 = 22.5 ← x = 2.5
🔹 ax > 0 תמיד, לכן בהצבה פתרון t ≤ 0 נפסל.
🔹 כמעט תמיד מתחילים בפירוק החזקה, ואז מזהים את השיטה.

✔️ סדר פתרון

  1. פישוט: פותחים סוגריים (חוקים 4–6), מסדרים לפי בסיסים, מחברים ומחסירים מעריכים.
  2. בסיסים שונים? הופכים לאותו בסיס או מפרקים (10 = 2 · 5).
  3. משוואה: מפרקים ax + n.
  4. מזהים שיטה: גורם משותף · הצבה · השוואת בסיסים · שורש ושבר כחזקה.
  5. מגיעים ל־ax = ak ← x = k.
  6. בודקים: בהצבה – t חייב להיות חיובי.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות