חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות
שיעור 18- ת"ה +קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פותרים סעיפים מבגרות חורף 2025 על f(x) = 6x(ln x)2: תחום הגדרה, אסימפטוטה אנכית ונקודת קיצון בנגזרת מנה עם נגזרת מורכבת והצבת t.
נתונה הפונקציה f(x) = 6x(ln x)2
🔵 סעיף א(1): תחום ההגדרה של f(x) = 6x(ln x)2
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
התוכן של ה־ln גדול מ־0:
x > 0
וגם המכנה שונה מ־0:
(ln x)2 ≠ 0 /√
ln x ≠ 0
לפי ln f(x) = a → f(x) = ea:
x ≠ e0 = 1
תשובה: x > 0 , x ≠ 1
🟢 סעיף א(2): משוואת האסימפטוטה האנכית לציר x
מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־x של הפונקציה f(x).
אסימפטוטה אנכית – ההפך מתחום ההגדרה: x = 1. בודקים שלא מאפס את המונה:
6 · 1 = 6 ≠ 0 ← x = 1 אנכית.
ו־x = 0? מציבים במונה:
6 · 0 = 0 ← מאפס את המונה, חור – לא אסימפטוטה.
תשובה: x = 1
🟣 סעיף ב: נקודת הקיצון של f(x) = 6x(ln x)2 וסוגה
מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
נגזרת מנה: f'(x) = g'(x)h(x) − g(x)h'(x)[h(x)]2
הנגזרת של (ln x)2 (נגזרת מורכבת): 2(ln x)1 · 1x
f'(x) = 6·(ln x)2 −
2(ln x)·1x·6x(ln x)4 = 0
2(ln x)·1x·6x(ln x)4 = 0
כופלים במכנה. ומצמצמים:
1x · 6x1 = 6xx = 6
6(ln x)2 − 12ln x = 0 /:6
y' = (ln x)2 − 2ln x = 0
הצבה: ln x = t
t2 − 2t = 0
t(t − 2) = 0
t = 0 , t = 2
ln x = 0 → x = e0 = 1 ← לא בת"ה
ln x = 2 → x = e2
מציבים בפונקציה המקורית:
f(e2) = 6e2(ln e2)2 = 6e24 = 112e2
סוג הנקודה – מציבים בנגזרת (חילקנו רק ב־6, אפשר להציב ב־y'):
y'(2) = (ln 2)2 − 2ln 2 < 0
ב־x = 2e2 הנגזרת חיובית.
| x | 1 < x < e2 x = 2 |
e2 | x > e2 x = 2e2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | min | ↗ |
יורדת ואחר כך עולה ← מינימום.
תשובה: (e2 , 112e2) min
💡 לזכור
נקודה חשודה שיצאה מחוץ לתחום ההגדרה (כאן x = 1) נפסלת מיד. במשוואה עם (ln x)2 ו־ln x – הצבה ln x = t או גורם משותף.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il