חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות
שיעור 30 – משוואות עם לוגריתמים (ללא סרטון)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
חוקי לוגריתמים · 4 יחידות · שאלון 472
משוואות עם לוגריתמים
📄 התרגילים בשיעור
תרגיל 1. פתרו: 2x = 10 .
תרגיל 2. (בגרות 472 חורף 2025, שאלה 3 סעיף ד) במהלך ניפוח של מזרן גדל הנפח שלו בכל דקה ב־22%. בסיום הניפוח היה הנפח גדול פי 7.5 מהנפח בתחילת הניפוח. מצאו כמה דקות נמשך הניפוח.
תרגיל 3. (בגרות 472 חורף 2024, שאלה 3 סעיף ד) המשקל של קרחון A הוא f(t) = 7 · 0.96t והמשקל של קרחון B הוא g(t) = 10 · 0.91t . מצאו אחרי כמה שנים המשקלים שווים.
תרגיל 4. פתרו: ln x + ln(x − 2) = ln 3 .
תרגיל 5. (בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5 סעיף ו) פתרו: ln(−x2 + 4x − 3) − ln 0.75 = 0 .
✏️ פתרון
שתי השיטות בקצרה
משוואה מעריכית (הנעלם בחזקה): מבודדים את החזקה, ומוציאים ln משני האגפים.
ax = b ⟹ x · ln a = ln b ⟹ x = ln bln a📐 פתרון משוואה מעריכיתax = b ⟹ x = ln bln a
משוואה עם לוגריתמים: (1) תחום הגדרה, (2) מאחדים ללוגריתם אחד בכל צד, (3) משווים את מה שבתוך ה־ln, (4) בודקים שהפתרון בתחום.
ln A = ln B ⟹ A = B📐 שוויון לוגריתמיםlogaA = logaB ⟹ A = B
תרגיל 1 – משוואה מעריכית
מוציאים ln משני האגפים:
ln(2x) = ln 10
x · ln 2 = ln 10📐 לוגריתם של חזקהloga(xn) = n · logax
x = ln 10ln 2 = 2.30260.6931 ≈ 3.32
✅ פתרון סופי: x ≈ 3.32
תרגיל 2 – בגרות 472 חורף 2025
q = 1 + 22100 = 1.22📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
הנפח בסוף גדול פי 7.5 מהנפח בהתחלה:
M0 · 1.22t = 7.5 · M0 ⟹ 1.22t = 7.5📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
t · ln 1.22 = ln 7.5📐 לוגריתם של חזקהloga(xn) = n · logax
t = ln 7.5ln 1.22 = 2.01490.1989 ≈ 10.13
✅ פתרון סופי: הניפוח נמשך כ־10.13 דקות
תרגיל 3 – בגרות 472 חורף 2024
7 · 0.96t = 10 · 0.91t
מחלקים את שני האגפים ב־7 וב־0.91t :
0.96t0.91t = 107 ⟹ (0.960.91)t = 107📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
1.0549t = 1.4286
t · ln 1.0549 = ln 1.4286📐 לוגריתם של חזקהloga(xn) = n · logax
t = ln 1.4286ln 1.0549 = 0.35670.0535 ≈ 6.67
נציב t = 6.67 לבדיקה:
בדיקה: 7 · 0.966.67 ≈ 5.33 , 10 · 0.916.67 ≈ 5.33 ✓
✅ פתרון סופי: אחרי כ־6.67 שנים
תרגיל 4 – משוואה עם ln
x > 0 , x − 2 > 0 ⟹ x > 2📐 תחום הגדרה של לוגריתםlogaA מוגדר רק כאשר A > 0
ln x + ln(x − 2) = ln(x(x − 2))📐 לוגריתם של מכפלהloga(x · y) = logax + logay
x(x − 2) = 3 ⟹ x2 − 2x − 3 = 0📐 שוויון לוגריתמיםlogaA = logaB ⟹ A = B
(x − 3)(x + 1) = 0 ⟹ x = 3 , x = −1📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
x = 3 – בתחום ✓
x = −1 – לא בתחום, נפסל ✗
✅ פתרון סופי: x = 3
תרגיל 5 – בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד
−x2 + 4x − 3 > 0 ⟹ 1 < x < 3📐 תחום הגדרה של לוגריתםlogaA מוגדר רק כאשר A > 0
ln(−x2 + 4x − 3) = ln 0.75
−x2 + 4x − 3 = 0.75 ⟹ x2 − 4x + 3.75 = 0📐 שוויון לוגריתמיםlogaA = logaB ⟹ A = B
x = 1.5 , x = 2.5📐 משוואה ריבועית במחשבוןנוסחת השורשים במחשבון: MODE 5 3
שני הפתרונות בין 1 ל־3 בתחום ✓
✅ פתרון סופי: x = 1.5 , x = 2.5
📌 סיכום
| תרגיל 1 | x ≈ 3.32 |
|---|---|
| תרגיל 2 | t ≈ 10.13 דקות |
| תרגיל 3 | t ≈ 6.67 שנים |
| תרגיל 4 | x = 3 |
| תרגיל 5 | x = 1.5 , x = 2.5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il