חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות
שיעור 27- מציאת שטח 1
חקירת פונקציית ln · 4 יחידות · שאלון 472
📄 דף הסבר: מציאת שטח – אינטגרל שנותן ln
מחלקים את השטח לחלקים, עושים אינטגרל של העליון פחות התחתון בין הגבולות, ומחברים.
השטח
S = ∫ba(y1 − y2)dx
y1 – הגרף העליון, y2 – התחתון. a ו־b – איפה השטח מתחיל ואיפה נגמר על ציר x.
אינטגרל שנותן ln
∫1xdx = ln x
∫max + bdx = m · ln|ax + b|a
ln של המכנה, חלקי הנגזרת של התוכן של ה־ln. מספר בכפל נשאר.
חזקה
∫m · xndx = m · xn+1n + 1
משיק בנקודת קיצון
השיפוע 0, לכן המשיק הוא y = ערך ה־y של נקודת הקיצון.
שלביםחישוב שטח
1מחלקים
מחלקים את השטח לחלקים פשוטים (מלבן, ושטח מתחת לגרף).
2העליון פחות התחתון
בכל חלק – אינטגרל של העליון פחות התחתון בין הגבולות.
3אינטגרל
לפי הנוסחאות, בערך מוחלט ב־ln.
4מציבים ומחברים
הגבול העליון פחות הגבול התחתון, ומחברים את כל החלקים.
מחלקים ← עליון פחות תחתון ← אינטגרל ← הצבה ← מחברים ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
מציאת שטח (מבוסס על בגרות חורף 2024): שטח המחולק למלבן ולשטח בין הגרף למשיק בנקודת הקיצון, עם אינטגרל שנותן ln.
🔵 תרגיל: שטח בין משיק בנקודת קיצון, ישר אופקי, גרף הפונקציה וציר y
נתונה הפונקציה f(x) = 32x + 2x3 בתחום x > 0. העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה, והעבירו את הישר y = 216 החותך את גרף הפונקציה בין היתר בנקודה שבה x = 1 (הנקודה הקרובה לציר y). נתון: נקודת הקיצון (1.5, 2). מצאו את השטח המוגבל על ידי שני הישרים, על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר y (השטח המקווקו בציור).
משיק בנקודת קיצון – שיפוע 0: y = 2
מחלקים את השטח: S1 – מלבן, S2 – בין הגרף למשיק.
S1 – אורך כפול רוחב:
S1 = 1 · (216 − 2)
= 1 · 16 = 16
S2 – הפונקציה פחות המשיק, בין 1 ל־1.5:
S2 = ∫1.51(32x + 2x3 − 2)dx
∫32xdx = 3ln|2x|2
∫23x dx = 23 · x²2
= 3ln|2x|2 + 23 · x²2 − 2x|1.51
(3ln|3|2 + 23 · 1.5²2 − 2 · 1.5)
− (3ln22 + 23 · 12 − 2)
S2 ≈ 0.0249
S = S1 + S2 = 16 + 0.0249
תשובה: S ≈ 0.192 יח"ר
💡 לזכור
משיק בנקודת קיצון הוא y = ערך ה־y של הקיצון.
∫max + bdx = m · ln|ax + b|a
∫max + bdx = m · ln|ax + b|a
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il