שיעור 23- חורף 2024

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בגרות חורף 2024 (שאלון 472) – חקירת f(x) = 3x²2ln x + 1: תחום הגדרה, חיתוך עם ציר x, אסימפטוטה וחור, קיצון, עלייה וירידה, וזיהוי הגרף.

🔵 סעיף א1: תחום ההגדרה – ln ומכנה שונה מאפס

נתונה הפונקציה f(x) = 3x²2ln x + 1. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

התוכן של ה־ln גדול מ־0:

x > 0

אסור שהמכנה יהיה 0:

2ln x + 1 ≠ 0

2ln x ≠ −1 / :2

ln x ≠ −12

ln f(x) = a → f(x) = e^a

x ≠ e⁻¹² = 1e¹² ≈ 0.606

תשובה: x > 0 , x ≠ e⁻¹²

🟢 סעיף א2: האם גרף הפונקציה חותך את ציר x?

א. (2) האם גרף הפונקציה חותך את ציר x? נמקו.

חיתוך עם ציר x – f(x) = 0:

0 = 3x²2ln x + 1

כפל בהצלבה:

0 = 3x² / :3

x = 0 – לא בתחום ההגדרה.

תשובה: לא חותך את ציר x

🟣 סעיף א3: האסימפטוטה המאונכת לציר x – אסימפטוטה או חור

א. (3) מצאו את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר x.

המכנה שווה 0 (סעיף א1): x = e⁻¹²

בודקים שהמונה לא מתאפס: 3 · (e⁻¹²)² ≠ 0 – אסימפטוטה.

בודקים גם את x = 0 (קצה התחום): המונה 3 · 0² = 0 – חור, לא אסימפטוטה.

תשובה: x = e⁻¹²

🔷 סעיף ב: נקודת הקיצון של f(x) וסוגה – נגזרת של מנה עם ln

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

נגזרת של מנה: (fg)' = f' · g − g' · fg²

נגזרת של ln: (ln x)' = 1x

f'(x) =

6x(2ln x + 1) − 2 · 1x · 3x²(2ln x + 1)² = 0

כופלים במכנה ומסדרים:

6x(2ln x + 1) − 6x = 0

/ :6

x(2ln x + 1) − x = 0

גורם משותף x:

x(2ln x + 1 − 1) = 0

x = 0 – לא בתחום ההגדרה

2ln x = 0 / :2

ln x = 0

x = e⁰ = 1

שיעור y – מציבים בפונקציה המקורית:

f(1) = 3 · 1²2ln 1 + 1 = 30 + 1 = 3

סוג הנקודה – e⁻¹² ≈ 0.606, מציבים בנגזרת:

x	0	0.1	e⁻¹²	0.8	1	2
f	‖	↘	‖	↘	min	↗

תשובה: min (1, 3)

🔵 סעיף ג: תחומי העלייה והירידה של f(x)

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

לפי החיצים בטבלה של סעיף ב:

תשובה: ירידה: 0 < x < e⁻¹² , e⁻¹² < x < 1

עלייה: x > 1

🟢 סעיף ד: איזה מהגרפים I–IV הוא גרף הפונקציה f(x)

ד. איזה מבין הגרפים I, II, III, IV שבסוף השאלה הוא גרף הפונקציה? נמקו.

יש נקודת מינימום (1, 3) – פוסלים את I ו־IV (בהם יש מקסימום).

ב־x = 0 יש חור.

לפני האסימפטוטה x = e⁻¹² הפונקציה יורדת – רק בגרף III.

תשובה: גרף III

💡 לזכור

במנה עם ln – תחום ההגדרה הוא גם התוכן של ה־ln גדול מ־0 וגם מכנה שונה מ־0. נקודה שמאפסת גם את המונה היא חור, לא אסימפטוטה.

חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות

כניסה לשיעורים