שיעור 21- קיץ 2019

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בגרות קיץ 2019 (שאלון 472) – חקירת f(x) = ln(−x² + ax) עם פרמטר: קיצון, מציאת a, סוג הקיצון, חיתוך עם ציר x, אסימפטוטות וסקיצה.

🔵 סעיף א: הוכחה ששיעור ה־x של נקודת הקיצון הוא a חלקי 2

נתונה הפונקציה f(x) = ln(−x² + ax), שתחום ההגדרה שלה הוא 0 < x < a, ו־a > 0 הוא פרמטר. ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון.
א. הראו כי שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה הוא a2.

נגזרת של ln: (ln f(x))' = f'(x)f(x)

f'(x) = −2x + a−x² + ax = 0

כפל בהצלבה:

−2x + a = 0

a = 2x / :2

x = a2

תשובה: x = a2

🟢 סעיף ב: מציאת הפרמטר a כששיעור ה־y של הקיצון הוא ln(214)

ב. נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון הוא ln(214). מצאו את a.

מציבים את נקודת הקיצון (a2, ln(214)) בפונקציה:

ln(214) = ln(−(a2)² + a · a2)

המינוס לא בריבוע. ln בשני הצדדים – משווים את התוכן:

214 = −a²4 + a²2

214 = 14a² / : 14

a² = 9

a = 3 a = −3

a = −3 נפסל, כי a > 0

תשובה: a = 3

🟣 סעיף ג: סוג נקודת הקיצון עבור a = 3

ג. הציבו a = 3 ומצאו את סוג נקודת הקיצון.

x = 32 = 112

נקודת הקיצון: (112, ln(214))

תחום הגדרה: 0 < x < 3

מציבים בנגזרת (לפני העברת אגפים) x = 1 ו־x = 2:

x	0	1	112	2	3
f	‖	↗	max	↘	‖

תשובה: max (112, ln(214))

🔷 סעיף ד1: נקודות החיתוך של f(x) עם ציר x (שתי ספרות אחרי הנקודה)

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר x. בתשובתך דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

f(x) = ln(−x² + 3x)

0 = ln(−x² + 3x)

ln f(x) = a → f(x) = e^a

−x² + 3x = e⁰

−x² + 3x = 1

0 = x² − 3x + 1

מחשבון MODE 5 3:

x = 2.62 x = 0.38

תשובה: (2.62, 0)

(0.38, 0)

🔵 סעיף ד2: האסימפטוטות של f(x) המאונכות לציר x

ד. (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר x.

אסימפטוטה אנכית של ln – התוכן של ה־ln שווה 0:

−x² + 3x = 0

x(−x + 3) = 0

x = 0 x = 3

תשובה: x = 0

x = 3

🟢 סעיף ד3: סקיצת גרף הפונקציה עבור a = 3

ד. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

נצמדים לאסימפטוטות x = 0 ו־x = 3, עוברים בנקודות החיתוך, מקסימום (112, ln(214)) – ln(214) ≈ 0.81.

💡 לזכור

כשיש ln בשני צדי המשוואה – משווים את התוכן. ln f(x) = a → f(x) = e^a. פתרון שלא מקיים את הנתון (a > 0) נפסל.

חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות

כניסה לשיעורים