חקירת פונקציית ln – שאלון 472 2 פרקים31 שיעורים15 שבועות
שיעור 16 אינטגרל lan
חקירת פונקציית ln · 4 יחידות · שאלון 472
📄 דף הסבר: אינטגרל של ln – אינטגרל של שבר עם x במכנה
עושים הפוך מהנגזרת של ln: שבר שהמכנה שלו בחזקת 1 נותן ln
נזכרים בנגזרת
(ln x)' = 1x
ln(2x + 4)' = 22x + 4
מה שבתוך ה־ln עובר למכנה, ובמונה – הנגזרת הפנימית. באינטגרל עושים הפוך.
הנוסחאות
∫ 1x dx = ln|x| + c
∫ 1mx + b dx = ln|mx + b|m + c
מכנה בחזקת 1 בלבד
ln יוצא רק כשהמכנה (x או mx + b) בחזקת 1. בחזקה אחרת, כמו 1x2, התשובה היא לא ln – הופכים לחזקה שלילית.
ערך מוחלט
שמים את מה שבתוך ה־ln בערך מוחלט, כי מה שבתוך ה־ln לא יכול להיות שלילי.
שלביםאינטגרל שנותן ln
1מוציאים מספר החוצה
למשל 3x = 3 · 1x
2המכנה עובר ל־ln
מה שיש במכנה שמים בתוך ה־ln, בערך מוחלט.
3מחלקים בנגזרת הפנימית
ב־mx + b מחלקים ב־m.
4מוסיפים c
באינטגרל לא מסוים.
מכנה בחזקת 1 ← ln ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פותרים חמישה אינטגרלים: שבר עם x במכנה, שבר עם mx + b במכנה, פיצול לשני אינטגרלים, מקדם e, ופיצול מונה לפני האינטגרציה.
🔵 תרגיל 1: ∫ 8x + 3x dx
חשבו: ∫ 8x + 3x dx
∫ 8x – רגיל: 8x22
3x = 3 · 1x ← לפי הנוסחה הראשונה:
8x22 + 3ln x
תשובה: 4x2 + 3ln|x| + c
🟢 תרגיל 2: ∫ 22x + 3 dx
חשבו: ∫ 22x + 3 dx
מוציאים את ה־2 החוצה:
= 2∫ 12x + 3
המכנה עובר לתוך ה־ln, ומחלקים בנגזרת הפנימית 2:
= 2 · ln(2x + 3)2
ה־2 מצטמצם, ושמים ערך מוחלט:
תשובה: ln|2x + 3| + c
🟣 תרגיל 3: ∫ 1x2 + 2x dx
חשבו: ∫ 1x2 + 2x dx
מפצלים לשני אינטגרלים:
∫ 1x2 dx + ∫ 2x dx
1x2 – המכנה בריבוע, התשובה לא ln. הופכים לחזקה שלילית:
= ∫ x−2 dx + ∫ 2x dx
= x−1−1 + 2ln|x|
לפי a−n = 1an:
תשובה: −1x + 2ln|x| + c
🔷 תרגיל 4: ∫ e·x + ex dx
חשבו: ∫ e·x + ex dx
e הוא מספר רגיל, נשאר לפני ה־x: e·x22
ex – x במכנה, שייך ל־ln:
e∫ 1x = e ln|x|
תשובה: e·x22 + e ln|x| + c
🔵 תרגיל 5: ∫ 8 − x2x dx
חשבו: ∫ 8 − x2x dx
חייבים לסדר: מפרידים את המונה:
= ∫ 8x − x2x dx
מצמצמים:
= ∫ 8x − x dx
∫ 8x = 8∫ 1x = 8ln|x|
∫ x = x22
תשובה: 8ln|x| − x22 + c
💡 לזכור
מספר חלקי x (או חלקי mx + b) ← ln. מכנה בחזקה שאינה 1 ← לא ln. שבר עם כמה איברים במונה – קודם מפרידים ומצמצמים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il