עוד דוגמאות פתורות – סדרות – בגרות 571
5 יחידות · שאלון 571 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא
עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא סדרות (בגרות 571, 5 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.
דוגמה 1 – שלושה מספרים – מסדרה חשבונית לסדרה הנדסית
שלושה מספרים שסכומם 15 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית עולה.
אם מוסיפים 1 למספר הראשון, 4 למספר השני ו־19 למספר השלישי, מתקבלים שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.
א. מצאו את שלושת המספרים.
ב. שלושת המספרים החדשים הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית. כמה איברים ראשונים בסדרה ההנדסית יש לחבר כדי לקבל סכום של 3279?
אם מוסיפים 1 למספר הראשון, 4 למספר השני ו־19 למספר השלישי, מתקבלים שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.
א. מצאו את שלושת המספרים.
ב. שלושת המספרים החדשים הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית. כמה איברים ראשונים בסדרה ההנדסית יש לחבר כדי לקבל סכום של 3279?
פתרון:
א. כותבים את המספרים בעזרת a1 ו־d:
a1 , a1 + d , a1 + 2d
סכום המספרים:
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 15
3a1 + 3d = 15
מחלקים ב־3: a1 + d = 5
a1 = 5 − d
המספרים: 5 − d , 5 , 5 + d
אחרי ההוספה:
5 − d + 1 = 6 − d , 5 + 4 = 9 , 5 + d + 19 = 24 + d
סדרה הנדסית – ממוצע הנדסי b2 = ac:
92 = (6 − d)(24 + d)
81 = 144 + 6d − 24d − d2
81 = 144 − 18d − d2
מעבירים אגפים: d2 + 18d − 63 = 0
(d + 21)(d − 3) = 0 ← d = 3 או d = −21
הסדרה עולה ← d > 0 ← d = 3 (d = −21 נפסל)
a1 = 5 − 3 = 2
← המספרים: 2 , 5 , 8
בדיקה: 2 + 5 + 8 = 15 ✔
המספרים החדשים 3 , 9 , 27 , 92 = 81 = 3 · 27 ✔
ב. הסדרה ההנדסית: 3 , 9 , 27 , …
a1 = 3 , q = 93 = 3
נוסחת הסכום:
Sn = a1(qn − 1)q − 1
3(3n − 1)3 − 1 = 3279
כופלים ב־2:
3(3n − 1) = 6558
מחלקים ב־3:
3n − 1 = 2186
3n = 2187
2187 = 37 ← 3n = 37 ← n = 7
← יש לחבר 7 איברים ראשונים.
א. כותבים את המספרים בעזרת a1 ו־d:
a1 , a1 + d , a1 + 2d
סכום המספרים:
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 15
3a1 + 3d = 15
מחלקים ב־3: a1 + d = 5
a1 = 5 − d
המספרים: 5 − d , 5 , 5 + d
אחרי ההוספה:
5 − d + 1 = 6 − d , 5 + 4 = 9 , 5 + d + 19 = 24 + d
סדרה הנדסית – ממוצע הנדסי b2 = ac:
92 = (6 − d)(24 + d)
81 = 144 + 6d − 24d − d2
81 = 144 − 18d − d2
מעבירים אגפים: d2 + 18d − 63 = 0
(d + 21)(d − 3) = 0 ← d = 3 או d = −21
הסדרה עולה ← d > 0 ← d = 3 (d = −21 נפסל)
a1 = 5 − 3 = 2
← המספרים: 2 , 5 , 8
בדיקה: 2 + 5 + 8 = 15 ✔
המספרים החדשים 3 , 9 , 27 , 92 = 81 = 3 · 27 ✔
ב. הסדרה ההנדסית: 3 , 9 , 27 , …
a1 = 3 , q = 93 = 3
נוסחת הסכום:
Sn = a1(qn − 1)q − 1
3(3n − 1)3 − 1 = 3279
כופלים ב־2:
3(3n − 1) = 6558
מחלקים ב־3:
3n − 1 = 2186
3n = 2187
2187 = 37 ← 3n = 37 ← n = 7
← יש לחבר 7 איברים ראשונים.
דוגמה 2 – הנדסית אין־סופית עם פרמטר – תחום, סכום וסדרת ריבועים
נתונה סדרה הנדסית אין־סופית שהאיבר הראשון בה הוא a1 = 12 והמנה שלה היא q = m − 13.
א. לאילו ערכים של m יש לסדרה סכום?
ב. נתון שסכום הסדרה הוא 18. מצאו את m.
ג. בונים סדרה חדשה bn = an2 (מעלים כל איבר בריבוע). הוכיחו שהסדרה bn הנדסית, וחשבו את סכומה (לפי m מסעיף ב).
א. לאילו ערכים של m יש לסדרה סכום?
ב. נתון שסכום הסדרה הוא 18. מצאו את m.
ג. בונים סדרה חדשה bn = an2 (מעלים כל איבר בריבוע). הוכיחו שהסדרה bn הנדסית, וחשבו את סכומה (לפי m מסעיף ב).
פתרון:
א. לסדרה הנדסית אין־סופית יש סכום רק כאשר:
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < m − 13 < 1
כופלים ב־3: −3 < m − 1 < 3
מוסיפים 1: −2 < m < 4
q ≠ 0 ← m − 1 ≠ 0 ← m ≠ 1
← −2 < m < 4 , m ≠ 1
ב. נוסחת הסכום: S = a11 − q
121 − q = 18
כופלים במכנה: 12 = 18(1 − q)
12 = 18 − 18q
מעבירים אגפים: 18q = 6 ← q = 618 = 13
בודקים: −1 < 13 < 1 ✔
מוצאים את m:
m − 13 = 13 ← m − 1 = 1
← m = 2 (נמצא בתחום מסעיף א ✔)
ג. הוכחה שהסדרה הנדסית – מחלקים איבר באיבר שלפניו:
bn + 1bn = an + 12an2 = (q · an)2an2 = q2 · an2an2 = q2
המנה קבועה ← bn סדרה הנדסית, מנה q2
נתוני הסדרה החדשה:
b1 = a12 = 122 = 144
מנה: q2 = (13)2 = 19
בודקים: −1 < 19 < 1 ✔ ← יש סכום
S = 1441 − 19 = 14489 = 144 · 98
← S = 162
א. לסדרה הנדסית אין־סופית יש סכום רק כאשר:
−1 < q < 1 , q ≠ 0
−1 < m − 13 < 1
כופלים ב־3: −3 < m − 1 < 3
מוסיפים 1: −2 < m < 4
q ≠ 0 ← m − 1 ≠ 0 ← m ≠ 1
← −2 < m < 4 , m ≠ 1
ב. נוסחת הסכום: S = a11 − q
121 − q = 18
כופלים במכנה: 12 = 18(1 − q)
12 = 18 − 18q
מעבירים אגפים: 18q = 6 ← q = 618 = 13
בודקים: −1 < 13 < 1 ✔
מוצאים את m:
m − 13 = 13 ← m − 1 = 1
← m = 2 (נמצא בתחום מסעיף א ✔)
ג. הוכחה שהסדרה הנדסית – מחלקים איבר באיבר שלפניו:
bn + 1bn = an + 12an2 = (q · an)2an2 = q2 · an2an2 = q2
המנה קבועה ← bn סדרה הנדסית, מנה q2
נתוני הסדרה החדשה:
b1 = a12 = 122 = 144
מנה: q2 = (13)2 = 19
בודקים: −1 < 19 < 1 ✔ ← יש סכום
S = 1441 − 19 = 14489 = 144 · 98
← S = 162
דוגמה 3 – כלל נסיגה – סדרת עזר הנדסית ואיבר כללי
סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה:
an + 1 = 3an − 4 , a1 = 5
א. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. האם הסדרה חשבונית? האם היא הנדסית?
ב. מגדירים סדרה חדשה bn = an − 2. הוכיחו שהסדרה bn הנדסית.
ג. מצאו ביטוי לאיבר הכללי an וחשבו את הסכום a1 + a2 + … + a6.
an + 1 = 3an − 4 , a1 = 5
א. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. האם הסדרה חשבונית? האם היא הנדסית?
ב. מגדירים סדרה חדשה bn = an − 2. הוכיחו שהסדרה bn הנדסית.
ג. מצאו ביטוי לאיבר הכללי an וחשבו את הסכום a1 + a2 + … + a6.
פתרון:
א. מחשבים איבר אחרי איבר:
a2 = 3 · 5 − 4 = 11
a3 = 3 · 11 − 4 = 29
a4 = 3 · 29 − 4 = 83
← 5 , 11 , 29 , 83
חשבונית? בודקים הפרשים:
a2 − a1 = 11 − 5 = 6 , a3 − a2 = 29 − 11 = 18
6 ≠ 18 ← לא חשבונית
הנדסית? בודקים מנות:
a2a1 = 115 , a3a2 = 2911
115 ≠ 2911 ← לא הנדסית
(להפרכה מספיקה דוגמה נגדית אחת)
ב. מחלקים איבר באיבר שלפניו:
bn + 1 = an + 1 − 2
מציבים את כלל הנסיגה:
bn + 1 = 3an − 4 − 2 = 3an − 6
גורם משותף: bn + 1 = 3(an − 2)
bn + 1bn = 3(an − 2)an − 2 = 3
המנה קבועה ← bn הנדסית, q = 3
ג. נתוני הסדרה bn:
b1 = a1 − 2 = 5 − 2 = 3 , q = 3
bn = b1 · qn − 1 = 3 · 3n − 1 = 3n
חוזרים ל־an: bn = an − 2 ← an = bn + 2
← an = 3n + 2
בדיקה: a3 = 33 + 2 = 29 ✔
הסכום: כל an הוא bn ועוד 2, ויש 6 איברים:
a1 + … + a6 = (b1 + … + b6) + 6 · 2
b1 + … + b6 = 3(36 − 1)3 − 1 = 3 · 7282 = 1092
1092 + 12 = 1104
← a1 + … + a6 = 1104
א. מחשבים איבר אחרי איבר:
a2 = 3 · 5 − 4 = 11
a3 = 3 · 11 − 4 = 29
a4 = 3 · 29 − 4 = 83
← 5 , 11 , 29 , 83
חשבונית? בודקים הפרשים:
a2 − a1 = 11 − 5 = 6 , a3 − a2 = 29 − 11 = 18
6 ≠ 18 ← לא חשבונית
הנדסית? בודקים מנות:
a2a1 = 115 , a3a2 = 2911
115 ≠ 2911 ← לא הנדסית
(להפרכה מספיקה דוגמה נגדית אחת)
ב. מחלקים איבר באיבר שלפניו:
bn + 1 = an + 1 − 2
מציבים את כלל הנסיגה:
bn + 1 = 3an − 4 − 2 = 3an − 6
גורם משותף: bn + 1 = 3(an − 2)
bn + 1bn = 3(an − 2)an − 2 = 3
המנה קבועה ← bn הנדסית, q = 3
ג. נתוני הסדרה bn:
b1 = a1 − 2 = 5 − 2 = 3 , q = 3
bn = b1 · qn − 1 = 3 · 3n − 1 = 3n
חוזרים ל־an: bn = an − 2 ← an = bn + 2
← an = 3n + 2
בדיקה: a3 = 33 + 2 = 29 ✔
הסכום: כל an הוא bn ועוד 2, ויש 6 איברים:
a1 + … + a6 = (b1 + … + b6) + 6 · 2
b1 + … + b6 = 3(36 − 1)3 − 1 = 3 · 7282 = 1092
1092 + 12 = 1104
← a1 + … + a6 = 1104
דוגמה 4 – חשבונית עם 25 איברים – אי־זוגיים, זוגיים ואיבר אמצעי
בסדרה חשבונית יש 25 איברים. האיבר הראשון הוא a1 = 3.
סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים הוא 351.
א. מצאו את הפרש הסדרה.
ב. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. הראו שההפרש בין שני הסכומים שווה לאיבר האמצעי בסדרה.
ד. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות שמתחלקים ב־3.
סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים הוא 351.
א. מצאו את הפרש הסדרה.
ב. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. הראו שההפרש בין שני הסכומים שווה לאיבר האמצעי בסדרה.
ד. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות שמתחלקים ב־3.
פתרון:
א. מקומות אי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , … , a25
סדרה חדשה: איבר ראשון a1 = 3 , הפרש 2d
כמה איברים: המקומות 1 , 3 , 5 , … , 25 ← 25 + 12 = 13 איברים
נוסחת הסכום:
S = 132 · [2 · 3 + (13 − 1) · 2d] = 351
132 · (6 + 24d) = 351
13(3 + 12d) = 351
מחלקים ב־13: 3 + 12d = 27
12d = 24 ← d = 2
ב. מקומות זוגיים: a2 , a4 , … , a24
סדרה חדשה: איבר ראשון a2 = 3 + 2 = 5 , הפרש 2d = 4
כמה איברים: 25 − 13 = 12
S = 122 · [2 · 5 + (12 − 1) · 4]
S = 6 · (10 + 44) = 6 · 54
← S = 324
ג. האיבר האמצעי: מקומו 25 + 12 = 13
a13 = 3 + 12 · 2 = 27
ההפרש בין הסכומים: 351 − 324 = 27
← 351 − 324 = a13 ✔
ד. מקומות שמתחלקים ב־3: a3 , a6 , a9 , … , a24
סדרה חדשה: איבר ראשון a3 = 3 + 2 · 2 = 7 , הפרש 3d = 6
כמה איברים: 243 = 8
האיבר האחרון: a24 = 3 + 23 · 2 = 49
S = 8 · (7 + 49)2 = 4 · 56
← S = 224
א. מקומות אי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , … , a25
סדרה חדשה: איבר ראשון a1 = 3 , הפרש 2d
כמה איברים: המקומות 1 , 3 , 5 , … , 25 ← 25 + 12 = 13 איברים
נוסחת הסכום:
S = 132 · [2 · 3 + (13 − 1) · 2d] = 351
132 · (6 + 24d) = 351
13(3 + 12d) = 351
מחלקים ב־13: 3 + 12d = 27
12d = 24 ← d = 2
ב. מקומות זוגיים: a2 , a4 , … , a24
סדרה חדשה: איבר ראשון a2 = 3 + 2 = 5 , הפרש 2d = 4
כמה איברים: 25 − 13 = 12
S = 122 · [2 · 5 + (12 − 1) · 4]
S = 6 · (10 + 44) = 6 · 54
← S = 324
ג. האיבר האמצעי: מקומו 25 + 12 = 13
a13 = 3 + 12 · 2 = 27
ההפרש בין הסכומים: 351 − 324 = 27
← 351 − 324 = a13 ✔
ד. מקומות שמתחלקים ב־3: a3 , a6 , a9 , … , a24
סדרה חדשה: איבר ראשון a3 = 3 + 2 · 2 = 7 , הפרש 3d = 6
כמה איברים: 243 = 8
האיבר האחרון: a24 = 3 + 23 · 2 = 49
S = 8 · (7 + 49)2 = 4 · 56
← S = 224
להמשך לימוד
📋 לסיכום המלאסיכום ונוסחאות – סדרות 571✏️ דוגמה פתורה – הוכחה שסדרה חשבונית או הנדסית – סדרות✏️ דוגמה פתורה – סכום ההפכיים בסדרה הנדסית – סדרות✏️ דוגמה פתורה – סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית – סדרות✏️ דוגמה פתורה – שבר עשרוני מחזורי כסכום אין־סופי – סדרות✏️ דוגמה פתורה – סדרת ההפכיים עם החלפת סימנים – סדרות📝 שאלות בגרות בנושא – עם פתרונותשאלות בגרות 571 לפי נושא – סדרות✏️ כל הדוגמאות הפתורות באתרלפי קורס ונושא
מתמטריק · eldadh.co.il
