📋 סיכום ונוסחאות – סדרות4 יחידות · שאלון 472
כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. נוסחה לפי מקום וכלל נסיגה
| נוסחה לפי מקום | מציבים את המקום n ומקבלים את האיבר: an = 3n − 1 ← a1 = 2 , a2 = 5 , a3 = 8 |
| כלל נסיגה | כל איבר מחושב מהאיבר שלפניו, צריך גם איבר ראשון: an + 1 = 2an − 1 , a1 = 3 ← 3 , 5 , 9 , 17 , … |
| האם מספר הוא איבר בסדרה? | משווים את הנוסחה למספר ופותרים: אם n יוצא מספר טבעי – כן, ו־n הוא המקום שלו |
דוגמה: an = 3n − 1: האם 59 איבר? 3n − 1 = 59 ← n = 20 ← כן, במקום ה־20.
האם 100 איבר? 3n = 101 ← n לא שלם ← לא.
האם 100 איבר? 3n = 101 ← n לא שלם ← לא.
2. סדרה חשבונית
📐 איבר כללי והפרש
an = a1 + (n − 1)d
d = an + 1 − an (ההפרש קבוע)
an + 1 = an + d (כלל הנסיגה)
📐 סכום n האיברים הראשונים
Sn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
Sn = n(a1 + an)2
📐 ממוצע חשבוני
a , b , c איברים עוקבים ⟸ b = a + c2
| d > 0 | סדרה עולה |
| d < 0 | סדרה יורדת |
| d = 0 | סדרה קבועה |
דוגמה: a1 = 3 , d = 4
a10 = 3 + 9 · 4 = 39
S10 = 10 · (3 + 39)2 = 210
a10 = 3 + 9 · 4 = 39
S10 = 10 · (3 + 39)2 = 210
🔹 שתי משוואות עם a1 ו־d – פותרים מערכת.
🔹 כשמחפשים מספר איברים n – n חייב להיות טבעי (פתרון שלילי או שבר נפסל).
🔹 כשמחפשים מספר איברים n – n חייב להיות טבעי (פתרון שלילי או שבר נפסל).
3. סכומים, הוכחות ותת־סדרות
📐 איבר מתוך נוסחת הסכום
an = Sn − Sn − 1 (לכל n ≥ 2)
a1 = S1
דוגמה: Sn = n2 + 2n
an = n2 + 2n − [(n − 1)2 + 2(n − 1)]
an = 2n + 1 ← סדרה חשבונית עם d = 2
an = n2 + 2n − [(n − 1)2 + 2(n − 1)]
an = 2n + 1 ← סדרה חשבונית עם d = 2
📐 הוכחה שסדרה חשבונית
מראים ש־an + 1 − an הוא מספר קבוע (לא תלוי ב־n)
דוגמה: an = 5n − 1
an + 1 − an = 5(n + 1) − 1 − (5n − 1) = 5 ← חשבונית, d = 5
an + 1 − an = 5(n + 1) − 1 − (5n − 1) = 5 ← חשבונית, d = 5
🔹 להפרכה מספיקה דוגמה נגדית אחת (למשל a2 − a1 ≠ a3 − a2).
🔹 איברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … – סדרה חשבונית עם הפרש 2d.
🔹 מקום האיבר האמצעי (כשמספר האיברים n אי־זוגי): n + 12
🔹 איברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … – סדרה חשבונית עם הפרש 2d.
🔹 מקום האיבר האמצעי (כשמספר האיברים n אי־זוגי): n + 12
4. סדרה הנדסית
📐 איבר כללי ומנה
an = a1 · qn − 1
q = an + 1an (המנה קבועה)
an + 1 = q · an (כלל הנסיגה)
📐 סכום n האיברים הראשונים
Sn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
📐 ממוצע הנדסי
a , b , c איברים עוקבים ⟸ b2 = a · c
| a1 > 0 , q > 1 | סדרה עולה |
| a1 > 0 , 0 < q < 1 | סדרה יורדת |
| q < 0 | סימנים מתחלפים (+ , − , + , …) |
| q = 1 | סדרה קבועה |
דוגמה: a1 = 3 , q = 2
a5 = 3 · 24 = 48
S5 = 3(25 − 1)2 − 1 = 93
a5 = 3 · 24 = 48
S5 = 3(25 − 1)2 − 1 = 93
🔹 הוכחה שסדרה הנדסית: מראים ש־an + 1an הוא מספר קבוע.
🔹 מחלקים משוואה במשוואה כדי להיפטר מ־a1: a1q6a1q3 = q3.
🔹 איברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , … – סדרה הנדסית עם מנה q2.
🔹 מחלקים משוואה במשוואה כדי להיפטר מ־a1: a1q6a1q3 = q3.
🔹 איברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , … – סדרה הנדסית עם מנה q2.
5. סדרה הנדסית אין־סופית
📐 סכום הסדרה
S = a11 − q
−1 < q < 1 , q ≠ 0 (רק אז יש סכום)
דוגמה: 8 , 4 , 2 , 1 , … ← q = 12
S = 81 − 12 = 16
S = 81 − 12 = 16
סכום האיברים במקומות הזוגיים: איבר ראשון a2 = a1q , מנה q2
Sזוגיים = a1q1 − q2
Sזוגיים = a1q1 − q2
🔹 בשאלה על אין־סופית: בודקים קודם ש־|q| < 1, ורק אז מציבים בנוסחה.
🔹 צורות שהולכות וקטנות (משולשי אמצעים, ריבועים): יחס השטחים = (יחס הדמיון)2, ולכן המנה של השטחים היא ריבוע המנה של הצלעות.
🔹 צורות שהולכות וקטנות (משולשי אמצעים, ריבועים): יחס השטחים = (יחס הדמיון)2, ולכן המנה של השטחים היא ריבוע המנה של הצלעות.
➕ סכום במקומות הזוגיים והאי־זוגיים
📐 השיטה – לא קופצים ישר לסכום
- כותבים את האיברים שבמקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … כסדרה חדשה.
- מוצאים לסדרה החדשה איבר ראשון, ואת ההפרש או המנה:
בחשבונית ההפרש הוא 2d
בהנדסית המנה היא q2 - מוצאים כמה איברים יש בסדרה החדשה.
- רק עכשיו מציבים בנוסחת הסכום.
במקומות הזוגיים עושים אותו דבר, והאיבר הראשון הוא a2
6. כלל נסיגה ושילוב חשבונית והנדסית
| כלל נסיגה כללי | מחשבים איברים אחד אחרי השני: an + 1 = 3an − 2 , a1 = 2 ← 2 , 4 , 10 , 28 , … |
| חשבונית או הנדסית? | בודקים הפרש קבוע (an + 1 − an) או מנה קבועה (an + 1an) |
| שילוב | שלושה מספרים בסדרה חשבונית ← 2b = a + c; באותה שאלה בסדרה הנדסית ← b2 = ac. פותרים את שתי המשוואות יחד |
🔹 בכלל נסיגה צריך תמיד את האיבר הראשון כדי לחשב את הסדרה.
🔹 שאלות מחיי היום יום: מזהים מה קבוע – תוספת קבועה ← חשבונית, הכפלה קבועה (אחוזים) ← הנדסית.
🔹 שאלות מחיי היום יום: מזהים מה קבוע – תוספת קבועה ← חשבונית, הכפלה קבועה (אחוזים) ← הנדסית.
7. חזקות ושורשים שמשתמשים בהם בסדרות
📐 חוקים
ax = ay ⟹ x = y
aman = am − n
qn = k ⟹ q = k1/n (n אי־זוגי)
q4 = b ⟹ q = ±4√b (n זוגי – שני פתרונות)
דוגמה: q3 = 8 ← q = 2
q2 = 9 ← q = 3 או q = −3
q2 = 9 ← q = 3 או q = −3
✔️ סדר פתרון שאלה בסדרות
- מזהים את סוג הסדרה: חשבונית (הפרש קבוע), הנדסית (מנה קבועה), או כלל נסיגה אחר.
- כותבים את הנתונים בעזרת a1 ו־d (או a1 ו־q).
- בונים משוואות מהנתונים ופותרים (d / q קודם, אחר כך a1).
- סכום: בוחרים את נוסחת הסכום המתאימה; באין־סופית – בודקים |q| < 1.
- הוכחה: הפרש קבוע ← חשבונית; מנה קבועה ← הנדסית.
- בודקים שהתשובה הגיונית: n טבעי, סימנים, יחידות בשאלה מחיי היום יום.
📚 עוד דוגמאות פתורות
עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא סדרות, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
