עוד דוגמאות פתורות – סדרות – בגרות 472
4 יחידות · שאלון 472 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא
עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא סדרות (בגרות 472, 4 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.
דוגמה 1 – סדרה חשבונית – מערכת משוואות, סכום ואיבר בסדרה
בסדרה חשבונית סכום האיבר השלישי והאיבר השביעי הוא 32, והאיבר העשירי הוא 31.
א. מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.
ב. כמה איברים ראשונים יש לחבר כדי לקבל סכום של 476?
ג. האם המספר 100 הוא איבר בסדרה? אם כן, באיזה מקום?
א. מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.
ב. כמה איברים ראשונים יש לחבר כדי לקבל סכום של 476?
ג. האם המספר 100 הוא איבר בסדרה? אם כן, באיזה מקום?
פתרון:
א. כותבים את הנתונים בעזרת a1 ו־d:
an = a1 + (n − 1)d
a3 = a1 + 2d , a7 = a1 + 6d , a10 = a1 + 9d
משוואה 1:
a1 + 2d + a1 + 6d = 32
2a1 + 8d = 32
משוואה 2:
a1 + 9d = 31 ← a1 = 31 − 9d
מציבים במשוואה 1:
2(31 − 9d) + 8d = 32
62 − 18d + 8d = 32
מעבירים אגפים: −10d = 32 − 62 = −30 ← d = 3
a1 = 31 − 9 · 3 = 4
← a1 = 4 , d = 3
ב. נוסחת הסכום:
Sn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
n2 · [2 · 4 + (n − 1) · 3] = 476
n2 · (3n + 5) = 476
כופלים ב־2: n(3n + 5) = 952
מעבירים אגפים: 3n2 + 5n − 952 = 0
n = −5 ± √(25 + 11424)6 = −5 ± 1076
n = 1026 = 17 או n = −1126 (לא טבעי – נפסל)
← 17 איברים
ג. משווים את האיבר הכללי ל־100:
an = 4 + (n − 1) · 3 = 3n + 1
3n + 1 = 100 ← 3n = 99 ← n = 33
n טבעי ← כן, a33 = 100 (במקום ה־33)
א. כותבים את הנתונים בעזרת a1 ו־d:
an = a1 + (n − 1)d
a3 = a1 + 2d , a7 = a1 + 6d , a10 = a1 + 9d
משוואה 1:
a1 + 2d + a1 + 6d = 32
2a1 + 8d = 32
משוואה 2:
a1 + 9d = 31 ← a1 = 31 − 9d
מציבים במשוואה 1:
2(31 − 9d) + 8d = 32
62 − 18d + 8d = 32
מעבירים אגפים: −10d = 32 − 62 = −30 ← d = 3
a1 = 31 − 9 · 3 = 4
← a1 = 4 , d = 3
ב. נוסחת הסכום:
Sn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
n2 · [2 · 4 + (n − 1) · 3] = 476
n2 · (3n + 5) = 476
כופלים ב־2: n(3n + 5) = 952
מעבירים אגפים: 3n2 + 5n − 952 = 0
n = −5 ± √(25 + 11424)6 = −5 ± 1076
n = 1026 = 17 או n = −1126 (לא טבעי – נפסל)
← 17 איברים
ג. משווים את האיבר הכללי ל־100:
an = 4 + (n − 1) · 3 = 3n + 1
3n + 1 = 100 ← 3n = 99 ← n = 33
n טבעי ← כן, a33 = 100 (במקום ה־33)
דוגמה 2 – סדרה הנדסית – מציאת המנה ומספר האיברים
בסדרה הנדסית האיבר השני הוא 6 והאיבר החמישי הוא 162.
א. מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.
ב. כמה איברים ראשונים בסדרה יש לחבר כדי לקבל סכום של 728?
א. מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.
ב. כמה איברים ראשונים בסדרה יש לחבר כדי לקבל סכום של 728?
פתרון:
א. כותבים בעזרת a1 ו־q:
an = a1 · qn − 1
a2 = a1q = 6
a5 = a1q4 = 162
מחלקים משוואה במשוואה כדי להיפטר מ־a1:
a1q4a1q = 1626 ← q3 = 27 ← q = 3
a1 · 3 = 6 ← a1 = 2
← q = 3 , a1 = 2
ב. נוסחת הסכום:
Sn = a1(qn − 1)q − 1
2(3n − 1)3 − 1 = 728
2(3n − 1)2 = 3n − 1 = 728
מעבירים אגפים: 3n = 729
729 = 36 ← 3n = 36 ← n = 6
← 6 איברים
בדיקה: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 ✔
א. כותבים בעזרת a1 ו־q:
an = a1 · qn − 1
a2 = a1q = 6
a5 = a1q4 = 162
מחלקים משוואה במשוואה כדי להיפטר מ־a1:
a1q4a1q = 1626 ← q3 = 27 ← q = 3
a1 · 3 = 6 ← a1 = 2
← q = 3 , a1 = 2
ב. נוסחת הסכום:
Sn = a1(qn − 1)q − 1
2(3n − 1)3 − 1 = 728
2(3n − 1)2 = 3n − 1 = 728
מעבירים אגפים: 3n = 729
729 = 36 ← 3n = 36 ← n = 6
← 6 איברים
בדיקה: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 ✔
דוגמה 3 – סדרה הנדסית אין־סופית – סכום, זוגיים ואי־זוגיים
בסדרה הנדסית אין־סופית יורדת הסכום הוא 24 והאיבר השני הוא 6.
א. מצאו את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה.
ב. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים.
א. מצאו את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה.
ב. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים.
פתרון:
א. רושמים שתי משוואות:
a11 − q = 24
a1q = 6 ← a1 = 6q
מציבים: 6q(1 − q) = 24
כופלים במכנה: 6 = 24q(1 − q) = 24q − 24q2
מעבירים אגפים: 24q2 − 24q + 6 = 0
מחלקים ב־6: 4q2 − 4q + 1 = 0
(2q − 1)2 = 0 ← q = 12
בודקים: −1 < 12 < 1 ✔
a1 = 612 = 12
← a1 = 12 , q = 12
ב. מקומות זוגיים: a2 , a4 , a6 , …
סדרה חדשה: איבר ראשון a2 = 6 , מנה q2 = 14
S = 61 − 14 = 634 = 6 · 43
סכום הזוגיים: S = 8
ג. מקומות אי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , …
סדרה חדשה: איבר ראשון a1 = 12 , מנה q2 = 14
S = 121 − 14 = 1234 = 12 · 43
סכום האי־זוגיים: S = 16
בדיקה: 8 + 16 = 24 = הסכום של כל הסדרה ✔
א. רושמים שתי משוואות:
a11 − q = 24
a1q = 6 ← a1 = 6q
מציבים: 6q(1 − q) = 24
כופלים במכנה: 6 = 24q(1 − q) = 24q − 24q2
מעבירים אגפים: 24q2 − 24q + 6 = 0
מחלקים ב־6: 4q2 − 4q + 1 = 0
(2q − 1)2 = 0 ← q = 12
בודקים: −1 < 12 < 1 ✔
a1 = 612 = 12
← a1 = 12 , q = 12
ב. מקומות זוגיים: a2 , a4 , a6 , …
סדרה חדשה: איבר ראשון a2 = 6 , מנה q2 = 14
S = 61 − 14 = 634 = 6 · 43
סכום הזוגיים: S = 8
ג. מקומות אי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , …
סדרה חדשה: איבר ראשון a1 = 12 , מנה q2 = 14
S = 121 − 14 = 1234 = 12 · 43
סכום האי־זוגיים: S = 16
בדיקה: 8 + 16 = 24 = הסכום של כל הסדרה ✔
דוגמה 4 – מציאת האיבר הכללי מתוך נוסחת הסכום והוכחה
סכום n האיברים הראשונים בסדרה הוא Sn = 2n2 + 3n.
א. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.
ב. מצאו ביטוי לאיבר הכללי an.
ג. הוכיחו שהסדרה חשבונית.
ד. חשבו את סכום האיברים מ־a11 עד a20.
א. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.
ב. מצאו ביטוי לאיבר הכללי an.
ג. הוכיחו שהסדרה חשבונית.
ד. חשבו את סכום האיברים מ־a11 עד a20.
פתרון:
א. a1 = S1 = 2 · 12 + 3 · 1 = 5 ← a1 = 5
ב. an = Sn − Sn − 1
Sn − 1 = 2(n − 1)2 + 3(n − 1)
פותחים סוגריים:
= 2n2 − 4n + 2 + 3n − 3
= 2n2 − n − 1
an = 2n2 + 3n − (2n2 − n − 1)
= 2n2 + 3n − 2n2 + n + 1
an = 4n + 1
בדיקה: a1 = 4 · 1 + 1 = 5 ✔
ג. מראים שההפרש קבוע:
an + 1 − an = 4(n + 1) + 1 − (4n + 1)
= 4n + 4 + 1 − 4n − 1 = 4
מספר קבוע, לא תלוי ב־n ← סדרה חשבונית, d = 4
ד. סכום מ־a11 עד a20: S20 − S10
S20 = 2 · 400 + 3 · 20 = 860
S10 = 2 · 100 + 3 · 10 = 230
860 − 230 = 630
א. a1 = S1 = 2 · 12 + 3 · 1 = 5 ← a1 = 5
ב. an = Sn − Sn − 1
Sn − 1 = 2(n − 1)2 + 3(n − 1)
פותחים סוגריים:
= 2n2 − 4n + 2 + 3n − 3
= 2n2 − n − 1
an = 2n2 + 3n − (2n2 − n − 1)
= 2n2 + 3n − 2n2 + n + 1
an = 4n + 1
בדיקה: a1 = 4 · 1 + 1 = 5 ✔
ג. מראים שההפרש קבוע:
an + 1 − an = 4(n + 1) + 1 − (4n + 1)
= 4n + 4 + 1 − 4n − 1 = 4
מספר קבוע, לא תלוי ב־n ← סדרה חשבונית, d = 4
ד. סכום מ־a11 עד a20: S20 − S10
S20 = 2 · 400 + 3 · 20 = 860
S10 = 2 · 100 + 3 · 10 = 230
860 − 230 = 630
להמשך לימוד
מתמטריק · eldadh.co.il
