בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 472 לפי נושא – סדרות

כל השאלות בנושא סדרות מבחינות הבגרות בשאלון 472, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. סדרה חשבונית וסדרה הנדסית בבעיות מילוליות. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: סדרות – 472

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

38 שאלות פתורות: 9 מבחינות 472 של 2024–2026 ו־29 מבגרויות ישנות (5 משאלון 471 (2022–2023) ו־24 משאלון 482), מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור תמורת כסף.

תלמידי כיתה י"ב1 אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. מספר הבקבוקים שהם אספו בכל שבוע גדול פי q ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע שלפניו. מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הרביעי גדול פי 3.375 ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע הראשון.

א. מצאו את הערך של q.

מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה 2,425.

ב. מצאו את מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון.

תלמידי כיתה י"ב2 אספו בקבוקים במשך 18 שבועות. בכל שבוע הם אספו d בקבוקים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע השני תלמידי כיתה י"ב2 אספו 230 בקבוקים. תלמידי כיתה י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים סך הכול.

ג. מצאו את הערך של d.

בעבור כל בקבוק שהעבירו התלמידים למחזור, הם קיבלו 0.3 שקלים. העלות של מסיבת הסיום היא 3,400 שקלים.

ד. האם הסכום הכולל שקיבלו תלמידי שתי הכיתות ממחזור כל הבקבוקים יספיק למימון עלות המסיבה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המנה q

בכל שבוע מספר הבקבוקים גדל פי q מהשבוע הקודם, ולכן המספרים של כיתה י"ב1 הם סדרה הנדסית עם מנה q. נסמן ב־a1 את מספר הבקבוקים בשבוע הראשון.
מבטאים את השבוע הרביעי בעזרת הנוסחה (n = 4):
a4 = a1 · q4 − 1 = a1 · q3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
נתון: בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון, כלומר a4 = 3.375 · a1. מציבים:
a1 · q3 = 3.375 · a1
מחלקים את שני האגפים ב־a1 (מותר, כי a1 ≠ 0):
q3 = 3.375
q = 3.37513 = 1.5📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
בדיקה: 1.5 · 1.5 = 2.25 2.25 · 1.5 = 3.375 ✓
✅ פתרון סופי: q = 1.5

סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון

השבוע האחרון של י"ב1 הוא השבוע החמישי. נתון: a1 + a5 = 2,425.
a5 = a1 · q5 − 1 = a1 · q4📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחשבים את q4 עם q = 1.5:
1.54 = 1.52 · 1.52 = 2.25 · 2.25 = 5.0625
a5 = 5.0625a1
מציבים במשוואה של הסכום:
a1 + 5.0625a1 = 2,425
6.0625a1 = 2,425
a1 = 2,4256.0625 = 400
בדיקה: a5 = 400 · 5.0625 = 2,025 400 + 2,025 = 2,425 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = 400 בקבוקים

סעיף ג – ההפרש d

בכל שבוע י"ב2 אספו d בקבוקים יותר מהשבוע הקודם, ולכן זו סדרה חשבונית עם הפרש d ו־18 איברים. כדי לא להתבלבל עם י"ב1, נסמן את האיבר הראשון שלה ב־b1.
השבוע השני (n = 2):
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
b1 + d = 230
b1 = 230 − d
סך הכול ב־18 שבועות (n = 18):
S18 = 182 · (2b1 + (18 − 1)d)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
9 · (2b1 + 17d) = 6,300
מחלקים את שני האגפים ב־9:
2b1 + 17d = 6,3009 = 700
מציבים b1 = 230 − d:
2(230 − d) + 17d = 700
460 − 2d + 17d = 700
460 + 15d = 700
15d = 700 − 460 = 240
d = 24015 = 16
b1 = 230 − 16 = 214
בדיקה: S18 = 9 · (2 · 214 + 17 · 16) = 9 · (428 + 272) = 9 · 700 = 6,300 ✓
✅ פתרון סופי: d = 16

סעיף ד – האם הכסף יספיק?

קודם מחשבים כמה בקבוקים אספה י"ב1 בכל 5 השבועות – סכום של סדרה הנדסית:
S5 = 400 · (1.55 − 1)1.5 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
1.55 = 1.54 · 1.5 = 5.0625 · 1.5 = 7.59375
S5 = 400 · (7.59375 − 1)0.5 = 400 · 6.593750.5 = 2,637.50.5 = 5,275
בדיקה: לפי השבועות: 400 , 600 , 900 , 1,350 , 2,025 ← 400 + 600 + 900 + 1,350 + 2,025 = 5,275 ✓
י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים (נתון). סך הבקבוקים של שתי הכיתות:
5,275 + 6,300 = 11,575
על כל בקבוק מקבלים 0.3 שקלים:
11,575 · 0.3 = 3,472.5 שקלים
משווים לעלות המסיבה:
3,472.5 > 3,400 (נשארים 3,472.5 − 3,400 = 72.5 שקלים)
✅ פתרון סופי: כן – הסכום הוא 3,472.5 שקלים, יותר מ־3,400 שקלים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = 1.5
סעיף ב400 בקבוקים
סעיף גd = 16
סעיף דכן – 3,472.5 > 3,400 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות גלידה להכין גלידת שוקולד. בכל יום הכינו בחנות 3 ק"ג גלידת שוקולד יותר מביום שלפניו. הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בחנות ביום הראשון וביום הרביעי הייתה 149 ק"ג.

א. מצאו כמה קילוגרמים של גלידת שוקולד הכינו בחנות ביום הראשון.

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 16 ימים סך הכול.

ב. מצאו כמה קילוגרמים סך הכול של גלידת שוקולד הכינו בחנות.

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות d ק"ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 16 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 115 ק"ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב־480 ק"ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה.

ג. מצאו את הערך של d.

לאחר שהסתיים תהליך הכנת גלידת השוקולד וגלידת הווניל, החלו למכור את שני סוגי הגלידה. המכירה נמשכה 5 ימים, ובמהלכה נמכרה כל הגלידה שהכינו בחנות. כמות הגלידה שנמכרה בכל יום הייתה גדולה פי 2 מן הכמות שנמכרה ביום שלפניו.

ד. מצאו כמה קילוגרמים של גלידה נמכרו ביום הראשון.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון

בכל יום מוסיפים אותה כמות (3 ק"ג), ולכן הכמויות היומיות הן סדרה חשבונית עם הפרש d = 3.
נסמן ב־a1 את הכמות (בק"ג) ביום הראשון. נבטא את היום הרביעי (n = 4) בעזרת נוסחת האיבר הכללי:
a4 = a1 + (4 − 1) · 3📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a4 = a1 + 3 · 3
a4 = a1 + 9
הכמות ביום הראשון וביום הרביעי יחד היא 149 ק"ג:
a1 + a4 = 149
a1 + a1 + 9 = 149
2a1 + 9 = 149
2a1 = 149 − 9
2a1 = 140
a1 = 1402 = 70
✅ פתרון סופי: 70 ק"ג ביום הראשון

סעיף ב – כמה גלידת שוקולד הכינו סך הכול

התהליך נמשך 16 ימים, ולכן מחפשים את סכום 16 האיברים הראשונים: n = 16, a1 = 70, d = 3.
S16 = 162 · [2 · 70 + (16 − 1) · 3]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
S16 = 8 · [140 + 15 · 3]
S16 = 8 · [140 + 45]
S16 = 8 · 185
S16 = 1480
✅ פתרון סופי: 1480 ק"ג גלידת שוקולד

סעיף ג – מציאת d

גם הכמויות של גלידת הווניל הן סדרה חשבונית (מוסיפים בכל יום d ק"ג). נסמן ב־b1 את הכמות ביום הראשון.
נתון: n = 16, ביום האחרון b16 = 115.
הסכום של הווניל קטן ב־480 מהסכום של השוקולד (שמצאנו בסעיף ב):
S16 = 1480 − 480 = 1000
ידועים לנו האיבר האחרון והסכום, ולכן נשתמש בנוסחת הסכום עם האיבר הראשון והאחרון:
1000 = 162 · (b1 + 115)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
1000 = 8 · (b1 + 115)
b1 + 115 = 10008
b1 + 115 = 125
b1 = 125 − 115 = 10
עכשיו נציב בנוסחת האיבר הכללי את האיבר ה־16:
b16 = b1 + (16 − 1)d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
115 = 10 + 15d
115 − 10 = 15d
105 = 15d
d = 10515 = 7
✅ פתרון סופי: d = 7 (ק"ג ליום)

סעיף ד – כמה נמכר ביום הראשון

כל הגלידה נמכרה: שוקולד (סעיף ב) ועוד וניל (סעיף ג):
1480 + 1000 = 2480
בכל יום מכרו פי 2 מהיום הקודם, ולכן הכמויות שנמכרו הן סדרה הנדסית עם מנה q = 2, לאורך n = 5 ימים, וסכומה 2480. נסמן ב־a1 את הכמות שנמכרה ביום הראשון.
2480 = a1 · (25 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
2480 = a1 · (32 − 1)1
2480 = 31 · a1
a1 = 248031 = 80
בדיקה: 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 = 2480 ✓
✅ פתרון סופי: 80 ק"ג ביום הראשון

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א70 ק"ג
סעיף ב1480 ק"ג
סעיף גd = 7
סעיף ד80 ק"ג
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך 7 ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי 2 מכמות הספרים שנמכרו ביום שלפניו. ידוע כי בשלושת הימים הראשונים של היריד נמכרו 420 ספרים סך הכול.

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

כל ספר ביריד נמכר ב־50 שקלים.

ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך 7 ימי היריד.

לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פָּרַס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315 שקלים יותר מבחודש שלפניו.

ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון

כל יום נמכרו פי 2 ספרים מהיום שלפניו, ולכן מספרי הספרים בכל יום הם סדרה הנדסית עם מנה q = 2. נסמן ב־a1 את מספר הספרים ביום הראשון.
בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים, כלומר S3 = 420:
S3 = a1(23 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
23 = 8 8 − 1 = 7 2 − 1 = 1
S3 = a1 · 71 = 7a1
7a1 = 420
מחלקים את שני האגפים ב־7:
a1 = 4207 = 60
בדיקה: 60 + 120 + 240 = 420 ✓ (ביום השני 60 · 2 = 120, ביום השלישי 120 · 2 = 240)
✅ פתרון סופי: a1 = 60 ספרים ביום הראשון

סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד

קודם נמצא כמה ספרים נמכרו בכל 7 הימים – זה הסכום S7 של הסדרה ההנדסית (a1 = 60 , q = 2 , n = 7):
S7 = 60 · (27 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
27 = 128 128 − 1 = 127
S7 = 60 · 1271 = 7,620 ספרים
כל ספר נמכר ב־50 שקלים, ולכן ההכנסות:
7,620 · 50 = 381,000📐 הכנסהמספר הספרים · מחיר לספר
✅ פתרון סופי: 381,000 שקלים

סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה

התרומה היא מחצית מההכנסות:
381,0002 = 190,500 שקלים
התרומות החודשיות הן סדרה חשבונית: a1 = 4,315 , d = 315. מחפשים את מספר החודשים n שבו הסכום הוא Sn = 190,500.
190,500 = n2 · [2 · 4,315 + (n − 1) · 315]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 4,315 = 8,630 (n − 1) · 315 = 315n − 315
190,500 = n2 · [8,630 + 315n − 315]
190,500 = n2 · [315n + 8,315]
כופלים את שני האגפים ב־2:
381,000 = n · (315n + 8,315)
381,000 = 315n2 + 8,315n
315n2 + 8,315n − 381,000 = 0
כל המקדמים מתחלקים ב־5, נחלק כדי לקבל מספרים קטנים יותר:
315 : 5 = 63 8,315 : 5 = 1,663 381,000 : 5 = 76,200
63n2 + 1,663n − 76,200 = 0
a = 63 , b = 1,663 , c = −76,200
מחשבים את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = 1,6632 − 4 · 63 · (−76,200)
1,6632 = 2,765,569 4 · 63 · 76,200 = 19,202,400
2,765,569 + 19,202,400 = 21,967,969
√21,967,969 = 4,687
n1,2 = −1,663 ± 4,6872 · 63 = −1,663 ± 4,687126📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = −1,663 + 4,687126 = 3,024126 = 24
n2 = −1,663 − 4,687126 = −6,350126 ≈ −50.4 – נפסל, מספר חודשים לא יכול להיות שלילי.
בדיקה: S24 = 242 · [8,630 + 23 · 315] = 12 · [8,630 + 7,245] = 12 · 15,875 = 190,500 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: n = 24 חודשים

סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים

יש 24 חודשים – מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה־12 והחודש ה־13 (לפני כל אחד מהם 11 חודשים ואחרי כל אחד מהם 11 חודשים).
a12 = 4,315 + (12 − 1) · 315 = 4,315 + 11 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
11 · 315 = 3,465 a12 = 4,315 + 3,465 = 7,780
a13 = 4,315 + (13 − 1) · 315 = 4,315 + 12 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
12 · 315 = 3,780 a13 = 4,315 + 3,780 = 8,095
a12 + a13 = 7,780 + 8,095 = 15,875
בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שווי מרחק מהקצוות שווה: a1 + a24 = 4,315 + (4,315 + 23 · 315) = 4,315 + 11,560 = 15,875 ✓
✅ פתרון סופי: 15,875 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א60 ספרים
סעיף ב381,000 שקלים
סעיף ג24 חודשים
סעיף ד15,875 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,680 שקלים סך הכול.

בחודש ה־12, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 3 מן התשלום שלפניו.

ג. מצאו את התשלום הראשון.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון

הפיקדון גדל כל חודש במספר קבוע ⟸ סדרה חשבונית. נסמן את הפיקדון הראשון a1 ואת ההפרש d.
a2 = a1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש הראשון והשני ביחד 2,100:
a1 + (a1 + d) = 2,100 ⟹ 2a1 + d = 2,100 (משוואה 1)
a5 = a1 + 4d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש החמישי פי 3 מהראשון:
a1 + 4d = 3a1 ⟹ 4d = 2a1 ⟹ a1 = 2d (משוואה 2)
מציבים את משוואה 2 במשוואה 1:
2 · 2d + d = 2,100 5d = 2,100 d = 2,1005 = 420
a1 = 2 · 420 = 840
בדיקה: a2 = 840 + 420 = 1,260 840 + 1,260 = 2,100 ✓ ; a5 = 840 + 4 · 420 = 2,520 = 3 · 840 ✓
✅ פתרון סופי: 840 שקלים

סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680

22,680 = n2 · [2 · 840 + (n − 1) · 420]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 840 = 1,680 (n − 1) · 420 = 420n − 420
22,680 = n2 · [1,680 + 420n − 420]
22,680 = n2 · [420n + 1,260]
כופלים ב־2:
45,360 = n · (420n + 1,260)
420n2 + 1,260n − 45,360 = 0
מחלקים את כל המשוואה ב־420:
1,260 : 420 = 3 45,360 : 420 = 108
n2 + 3n − 108 = 0
a = 1 , b = 3 , c = −108
b2 − 4ac = 9 + 432 = 441 √441 = 21
n1,2 = −3 ± 212📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = 182 = 9 n2 = −242 = −12 – נפסל (מספר חודשים חיובי).
בדיקה: S9 = 92 · [1,680 + 8 · 420] = 4.5 · 5,040 = 22,680 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: לאחר 9 חודשים

סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר

מחיר המקרר = הפיקדון שהיה אמור להיות בחודש ה־12:
a12 = 840 + 11 · 420 = 840 + 4,620 = 5,460📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
ארבעה תשלומים, כל אחד פי 3 מהקודם ⟸ סדרה הנדסית עם q = 3 , n = 4, וסכומה 5,460. נסמן את התשלום הראשון b1:
5,460 = b1(34 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
34 = 81 81 − 1 = 80 3 − 1 = 2
5,460 = 80b12 = 40b1
b1 = 5,46040 = 136.5
בדיקה: 136.5 + 409.5 + 1,228.5 + 3,685.5 = 5,460 ✓
✅ פתרון סופי: 136.5 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א840 שקלים
סעיף ב9 חודשים
סעיף ג136.5 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A, ובה 57 איברים: a1 , a2 , a3 , … נתון: a2 + a4 = a6. האיבר האחרון בסדרה A הוא 171.

א. מצאו את הפרש הסדרה ואת a1.

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית B שאיבריה הם: b1 , b2 , b3 , … נתון: b1 = a6 , 3 · b3 = a8.

ב. מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת.

ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ההפרש ו־a1

נכתוב כל איבר בעזרת האיבר הראשון וההפרש:
a2 = a1 + d , a4 = a1 + 3d , a6 = a1 + 5d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים בנתון a2 + a4 = a6:
(a1 + d) + (a1 + 3d) = a1 + 5d
2a1 + 4d = a1 + 5d
2a1 − a1 = 5d − 4d
a1 = d
האיבר האחרון הוא האיבר ה־57:
a57 = a1 + 56d = 171📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים a1 = d:
d + 56d = 171
57d = 171
d = 17157 = 3
a1 = d = 3
בדיקה: a2 + a4 = 6 + 12 = 18 , a6 = 3 + 5 · 3 = 18 ✓ ; a57 = 3 + 56 · 3 = 171 ✓
✅ פתרון סופי: d = 3 , a1 = 3

סעיף ב – המנה של B

b1 = a6 = a1 + 5d = 3 + 15 = 18📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a8 = a1 + 7d = 3 + 21 = 24📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
נתון 3 · b3 = a8:
3 · b3 = 24
b3 = 243 = 8
b3 = b1 · q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
18q2 = 8
q2 = 818 = 49
q = ±√49 = ±23
בדיקה: 18 · (23)2 = 18 · 49 = 8 ✓
✅ פתרון סופי: q = 23 או q = −23

סעיף ג – סכום האיברים במקומות הזוגיים

כש־q = 23 (חיובית) הסדרה יורדת. כש־q = −23 הסימנים מתחלפים (פלוס, מינוס, פלוס…), והסדרה לא עולה ולא יורדת. לכן q = −23.
האיברים במקומות הזוגיים: b2 , b4 , b6 , …. כל אחד מתקבל מהקודם לו בכפל ב־q2 (מדלגים איבר אחד), ולכן גם הם סדרה הנדסית:
b2 = b1 · q = 18 · (−23) = −12📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
המנה של הסדרה החדשה: q2 = (−23)2 = 49📐 ריבוע של מספר שלילי(−k)2 = k2
49 < 1, ולכן לסדרה האין־סופית יש סכום:
S = −121 − 49📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = b11 − q , |q| < 1
1 − 49 = 99 − 49 = 59
S = −1259 = −12 · 95 = −1085 = −21.6
✅ פתרון סופי: S = −21.6

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אd = 3 , a1 = 3
סעיף בq = ±23
סעיף ג−21.6
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שהמנה שלה היא q, ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.

א. מצאו את שני הערכים של q.

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A הוא 1,296, וכי כל איבריה הם חיוביים.

ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

נתונה סדרה חשבונית B. סכום הסדרה A גדול פי 11 מסכום הסדרה B.

ג. מצאו את סכום הסדרה B.

בסדרה B יש 32 איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה B גדול פי 16 מן ההפרש שלה.

ד. מצאו את הפרש הסדרה B.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שני הערכים של q

נבטא את האיבר השני ואת האיבר השישי בעזרת a1 ו־q:
a2 = a1 · q2 − 1 = a1 · q📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · q6 − 1 = a1 · q5📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
האיבר השישי פי 81 מהאיבר השני:
a6 = 81 · a2
a1 · q5 = 81 · a1 · q
מחלקים את שני האגפים ב־a1 · q (בסדרה הנדסית a1 ≠ 0 ו־q ≠ 0):
q5 − 1 = 81📐 חילוק חזקותaman = am − n
q4 = 81
81 = 34 (3 · 3 · 3 · 3)
מעריך זוגי – יש שני פתרונות, חיובי ושלילי:
q = 3 או q = −3📐 שורש זוגיq4 = b ⟸ q = ±4√b
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3

סעיף ב – האיבר הראשון

כל האיברים חיוביים. אם q = −3 הסימנים היו מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן q = 3.
בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי.
a5 = a1 · 34 = 81a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · 35 = 243a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a5 + a6 = 1296
81a1 + 243a1 = 1296
324a1 = 1296
a1 = 1296324 = 4
✅ פתרון סופי: a1 = 4

סעיף ג – סכום הסדרה B

קודם סכום הסדרה A: a1 = 4, q = 3, n = 10.
SA = 4 · (310 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
310 = 59049
SA = 4 · 590482 = 2 · 59048 = 118096
סכום A גדול פי 11 מסכום B:
SA = 11 · SB
SB = 11809611 = 10736
✅ פתרון סופי: SB = 10736

סעיף ד – ההפרש של הסדרה B

בסדרה B יש 32 איברים, הפרש d, ואיבר ראשון b1. האיבר השני גדול פי 16 מההפרש:
b2 = 16d
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתbn = b1 + (n − 1)d
b1 + d = 16d
b1 = 16d − d = 15d
סכום 32 האיברים הוא 10736 (סעיף ג):
S32 = 322 · [2 · 15d + (32 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2b1 + (n − 1)d]
S32 = 16 · [30d + 31d] = 16 · 61d = 976d
976d = 10736
d = 10736976 = 11
✅ פתרון סופי: d = 11

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = 3 או q = −3
סעיף בa1 = 4
סעיף גSB = 10736
סעיף דd = 11
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1 , a2 , a3 , … ובה 23 איברים. נתון: a12 = 7, הפרש הסדרה הוא 5.

א. מצאו את a1.

ב. מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה.

נתונה סדרה חשבונית B שאיבריה הם: b1 , b2 , b3 , … וגם בה 23 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 3. נסמן את הפרש הסדרה B ב־d. מכל איברי הסדרות A ו־B בונים סדרה חשבונית חדשה שאיבריה הם: a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , ….

ג. (1) מצאו את האיבר הראשון של הסדרה החדשה. (2) הביעו באמצעות d את הפרש הסדרה החדשה. (3) נתון כי סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא 3,013. מצאו את d.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון

a12 = a1 + (12 − 1) · 5📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
7 = a1 + 11 · 5 7 = a1 + 55
a1 = 7 − 55 = −48
✅ פתרון סופי: a1 = −48

סעיף ב – סכום האיברים במקומות האי־זוגיים

האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , … , a23. כל אחד גדול מהקודם בשני הפרשים: 2 · 5 = 10 – זו סדרה חשבונית חדשה עם a1 = −48 , d = 10.
כמה איברים יש? המקומות 1, 3, 5, …, 23: 23 + 12 = 12 איברים.
S12 = 122 · [2 · (−48) + (12 − 1) · 10]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
= 6 · [−96 + 110] = 6 · 14 = 84
✅ פתרון סופי: 84

סעיף ג – הסדרה החדשה

(1) האיבר הראשון:
a1 + b1 = −48 + 3 = −45
(2) ההפרש: מכל איבר לאיבר הבא a גדל ב־5 ו־b גדל ב־d:
(an+1 + bn+1) − (an + bn) = (an+1 − an) + (bn+1 − bn) = 5 + d📐 הפרש סדרה חשבוניתd = an+1 − an
(3) בסדרה החדשה 23 איברים, c1 = −45 , הפרש 5 + d , וסכום 3,013:
3,013 = 232 · [2 · (−45) + 22 · (5 + d)]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · (−45) = −90 22 · (5 + d) = 110 + 22d
3,013 = 232 · [20 + 22d] = 23 · (10 + 11d)
10 + 11d = 3,01323 = 131
11d = 121 d = 11
בדיקה: 232 · [−90 + 22 · 16] = 11.5 · 262 = 3,013 ✓
✅ פתרון סופי: (1) −45
(2) 5 + d
(3) d = 11

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = −48
סעיף ב84
סעיף ג−45
5 + d
d = 11
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר הנוסעים בקרון האחרון היה גדול פי 3 ממספר הנוסעים בקרון הראשון. ביום זה מספר הנוסעים ברכבת היה 220 סך הכול.

א. מצאו כמה נוסעים היו בקרון הראשון.

ב. מצאו כמה נוסעים היו בקרון האמצעי.

ג. מצאו כמה נוסעים סך הכול היו בקרונות האי־זוגיים (בקרון הראשון, השלישי, החמישי וכן הלאה).

ביום ב' מספר הנוסעים ברכבת היה גדול פי 2 ממספר הנוסעים בה ביום א' ולכן הוחלט להוסיף קרונות לרכבת. ביום ב', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול ב־3 ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. ביום זה היו בקרון הראשון 5 נוסעים.

ד. מצאו את מספר הקרונות שהוסיפו לרכבת ביום ב'.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון

כל קרון גדול במספר קבוע מהקודם – זו סדרה חשבונית עם 11 איברים. נתון: a11 = 3a1 ו־S11 = 220.
S11 = 112 · (a1 + a11)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
112 · (a1 + 3a1) = 220
112 · 4a1 = 220
22a1 = 220
a1 = 22022 = 10
נמצא גם את ההפרש (נצטרך אותו בהמשך):
a11 = 3 · 10 = 30
a11 = a1 + 10d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
10 + 10d = 30 10d = 20 d = 2
✅ פתרון סופי: 10 נוסעים

סעיף ב – הקרון האמצעי

ב־11 קרונות, האמצעי הוא הקרון השישי (5 לפניו ו־5 אחריו).
a6 = a1 + 5d = 10 + 5 · 2 = 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
בדיקה: הסכום שווה למספר האיברים כפול האיבר האמצעי: 11 · 20 = 220 ✓
✅ פתרון סופי: 20 נוסעים

סעיף ג – הקרונות האי־זוגיים

הקרונות 1, 3, 5, 7, 9, 11 – 6 קרונות. בין שני קרונות כאלה יש קפיצה של שני מקומות, ולכן ההפרש ביניהם 2d = 4. גם זו סדרה חשבונית:
10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30
S6 = 62 · (10 + 30) = 3 · 40 = 120📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 120 נוסעים

סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו?

ביום ב' היו פי 2 נוסעים: 2 · 220 = 440. הסדרה החדשה: b1 = 5 , d = 3, ומספר הקרונות n לא ידוע.
Sn = n2 · (2 · 5 + (n − 1) · 3) = 440📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n2 · (10 + 3n − 3) = 440
n2 · (3n + 7) = 440
כופלים את שני האגפים ב־2:
n(3n + 7) = 880
3n2 + 7n − 880 = 0
n = −7 ± √(72 − 4 · 3 · (−880))2 · 3📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
72 + 4 · 3 · 880 = 49 + 10,560 = 10,609 , √10,609 = 103
n = −7 + 1036 = 966 = 16 (הפתרון השני שלילי – נפסל)
בדיקה: S16 = 8 · (10 + 45) = 8 · 55 = 440 ✓
16 − 11 = 5
✅ פתרון סופי: הוסיפו 5 קרונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א10 נוסעים
סעיף ב20 נוסעים
סעיף ג120 נוסעים
סעיף ד5 קרונות
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במפעל אלקטרוניקה החלו לייצר מחשבים. בכל שבוע כמות המחשבים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המחשבים שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים. הייצור נמשך 50 שבועות. בתקופה זו ייצרו 167,500 מחשבים סך הכול.

א. בכמה הייתה גדולה כמות המחשבים שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?

בגמר הייצור מכר המפעל את המחשבים במשך כמה חודשים. כמות המחשבים שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי q מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו. בחודש ה־4 נמכרו 160 מחשבים. בחודש ה־7 נמכרו 1,280 מחשבים.

ב. כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון?

החודש ה־7 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.

ג. כמה חודשים נמשכה המכירה?

ד. כמה מן המחשבים שייצרו במפעל לא נמכרו?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ההפרש הקבוע

כמות המחשבים גדלה כל שבוע במספר קבוע – זו סדרה חשבונית: a1 = 900, n = 50, S50 = 167500. מחפשים את ההפרש d.
S50 = 502 · [2 · 900 + (50 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
167500 = 25 · (1800 + 49d)
מחלקים את שני האגפים ב־25:
6700 = 1800 + 49d
49d = 6700 − 1800 = 4900
d = 490049 = 100
✅ פתרון סופי: בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו

סעיף ב – החודש הראשון

כמות המכירות גדלה פי q כל חודש – זו סדרה הנדסית. נכתוב את שני האיברים הנתונים:
a4 = a1 · q3 = 160📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a7 = a1 · q6 = 1280📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה:
a1 · q6a1 · q3 = 1280160📐 חילוק חזקותq6q3 = q6 − 3 = q3
q3 = 8
q = 3√8 = 2
מציבים במשוואה הראשונה:
a1 · 23 = 160
a1 · 8 = 160
a1 = 1608 = 20
✅ פתרון סופי: בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים

סעיף ג – מספר חודשי המכירה

החודש ה־7 הוא האמצעי – יש לפניו ולאחריו אותו מספר חודשים. לפניו יש 6 חודשים (1 עד 6), ולכן גם אחריו 6 חודשים (8 עד 13).
n = 6 + 1 + 6 = 13
בדיקה: בסדרה עם מספר אי־זוגי של איברים, האיבר האמצעי נמצא במקום n + 12:
n + 12 = 7 ⟸ n + 1 = 14 ⟸ n = 13📐 האיבר האמצעימקום האמצעי = n + 12
✅ פתרון סופי: המכירה נמשכה 13 חודשים

סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו

סך המחשבים שנמכרו הוא סכום 13 האיברים של הסדרה ההנדסית (a1 = 20, q = 2):
S13 = 20 · (213 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
213 = 8192
S13 = 20 · 8191 = 163820
המחשבים שלא נמכרו = מה שייצרו פחות מה שנמכר:
167500 − 163820 = 3680
✅ פתרון סופי: 3,680 מחשבים לא נמכרו

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א100
סעיף ב20
סעיף ג13 חודשים
סעיף ד3,680
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 471 – חורף 2023, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

יוסי רץ במסלול מסוים. בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים. בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. בתשובותיכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

א. (1) מהו המרחק שרץ יוסי במשך הדקה הרביעית? (2) מהו המרחק הכולל שרץ יוסי במשך ארבע הדקות הראשונות של הריצה?

ב. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n הדקות הראשונות של הריצה.

ג. יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים סך הכול, אך לרשותו עומדות 25 דקות בלבד לעשות זאת. הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.

ד. דני רץ באותו המסלול. בדקה הראשונה הוא רץ מרחק מסוים. גם הוא רץ בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור מרחק של 2,500 מטרים ב־25 דקות.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הדקה הרביעית וארבע הדקות

המרחקים בכל דקה הם סדרה הנדסית: a1 = 75 , q = 1.02.
a4 = 75 · 1.02³ = 75 · 1.061208 ≈ 79.59📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
(2) S4 = 75(1.02⁴ − 1)1.02 − 1 = 75 · 0.082430.02 ≈ 309.12
✅ פתרון סופי: (1) 79.59 מטר   (2) 309.12 מטר

סעיף ב – נוסחה ל־n דקות

Sn = 75(1.02ⁿ − 1)0.02 = 3750(1.02ⁿ − 1)📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
✅ פתרון סופי: Sn = 3750(1.02ⁿ − 1)

סעיף ג – למה לא 2,500 ב־25 דקות

1.02²⁵ ≈ 1.64061
S25 = 3750(1.64061 − 1) = 3750 · 0.64061 ≈ 2402.27
ב־25 דקות יוסי עובר רק כ־2402 מטרים, פחות מ־2500.
✅ פתרון סופי: S25 ≈ 2402.27 < 2500 – לא יצליח

סעיף ד – המרחק המינימלי בדקה הראשונה

נסמן את המרחק של דני בדקה הראשונה a1. צריך S25 ≥ 2500. הקטן ביותר – כשמתקבל בדיוק 2500:
a1(1.02²⁵ − 1)0.02 = 2500📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
a1 · 0.64061 = 50
a1 = 500.64061 ≈ 78.05
✅ פתרון סופי: ≈ 78.05 מטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א79.59 ; 309.12
סעיף בSn = 3750(1.02ⁿ − 1)
סעיף ג≈ 2402.27 < 2500
סעיף ד≈ 78.05 מטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לתוכן העניינים

📅 שאלון 471 – קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נועם התאמן לקראת תחרות שחייה. בכל אימון, החל מן האימון השני, שחה נועם 50 מטר יותר מבאימון שקדם לו. ידוע כי המרחק ששחה נועם באימון השמיני גדול פי 2 מן המרחק ששחה באימון הראשון.

א. מצאו כמה מטרים שחה נועם באימון הראשון.

ב. (1) האם ייתכן שבאחד האימונים שחה נועם 830 מטר בדיוק? נמקו. (2) מצאו באיזה אימון שחה נועם 1,000 מטר בדיוק.

אחרי האימון שבו שחה נועם 1,000 מטר בפעם הראשונה, החליט נועם לשנות את שיטת האימון שלו ולשחות בכל אחד מן האימונים שבאו אחריו 1,000 מטר בדיוק. ידוע כי עד לתחרות שחה נועם בכל האימונים 25,450 מטר סך הכול.

ג. כמה אימונים סך הכול התאמן נועם לקראת התחרות?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המרחק באימון הראשון

המרחקים הם סדרה חשבונית עם הפרש d = 50.
a8 = a1 + 7 · 50 = a1 + 350📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a1 + 350 = 2a1 → a1 = 350
✅ פתרון סופי: 350 מטר

סעיף ב (1) – 830 מטר?

350 + 50(n − 1) = 830 → 50(n − 1) = 480 → n − 1 = 9.6📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
n = 10.6 – לא מספר שלם, ולכן אין אימון כזה.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

סעיף ב (2) – באיזה אימון 1,000 מטר

350 + 50(n − 1) = 1,000 → 50(n − 1) = 650 → n − 1 = 13 → n = 14
✅ פתרון סופי: באימון ה־14

סעיף ג – מספר האימונים

S14 = 142(350 + 1,000) = 7 · 1,350 = 9,450📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
25,450 − 9,450 = 16,000 מטר נשארו לאימונים של 1,000 מטר.
16,0001,000 = 16 אימונים נוספים.
14 + 16 = 30
✅ פתרון סופי: 30 אימונים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א350 מטר
סעיף ב (1)לא
סעיף ב (2)האימון ה־14
סעיף ג30
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לתוכן העניינים

📅 שאלון 471 – קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a1 = 84 , an+1 = an − 2.

א. (1) האם הסדרה הנתונה חשבונית או הנדסית? נמקו את תשובתכם. (2) כתבו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) כתבו את ערכו של האיבר השלילי הראשון בסדרה.

נתון כי סכום האיברים השליליים בסדרה שווה ל־−552.

ג. כמה איברים סך הכול יש בסדרה הנתונה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סוג הסדרה והאיבר הכללי

(1) an+1 − an = −2 – ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם d = −2.
(2)
an = 84 + (n − 1)(−2) = 84 − 2n + 2 = 86 − 2n📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
✅ פתרון סופי: (1) חשבונית , d = −2   (2) an = 86 − 2n

סעיף ב – איברים חיוביים והשלילי הראשון

(1)
86 − 2n > 0  ⟸  n < 43
האיברים a1 עד a42 חיוביים (a43 = 0).
(2) השלילי הראשון הוא a44:
a44 = 86 − 88 = −2
✅ פתרון סופי: (1) 42 איברים   (2) −2

סעיף ג – מספר האיברים

האיברים השליליים: −2 , −4 , −6 , … – סדרה חשבונית עם a1 = −2 , d = −2. נסמן את מספרם k. האחרון: −2k:
k(−2 − 2k)2 = −552📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
−k(1 + k) = −552 ⟸ k² + k − 552 = 0
k = −1 ± √1 + 22082 = −1 ± 472📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
k = 23 (k = −24 נפסל)
סך הכול: 42 חיוביים, האפס a43 ו־23 שליליים:
42 + 1 + 23 = 66
✅ פתרון סופי: 66 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אחשבונית ; an = 86 − 2n
סעיף ב42 ; −2
סעיף ג66
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א'⬆️ חזרה לתוכן העניינים

📅 שאלון 471 – חורף 2022 נבצרים, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

עדי מתאמנת לקראת מרוץ של 42 ק"מ. לפי תוכנית האימונים, בשבוע הראשון תרוץ עדי 6 ק"מ, בכל שבוע תרוץ 1.5 ק"מ יותר מאשר בשבוע שקדם לו, ובשבוע האחרון תרוץ 42 ק"מ.

א. כמה שבועות תימשך תוכנית האימונים של עדי?

ב. כמה קילומטרים תרוץ עדי בשבוע ה־20 לאימונים?

לאחר שעדי רצה 20 שבועות התברר לה כי המרוץ המתוכנן הוקדם בשבועיים, ולכן שינתה את תוכנית האימונים: אחרי השבוע ה־20 היא תרוץ בכל שבוע 2 ק"מ יותר מאשר בשבוע שקדם לו.

ג. האם לפי התוכנית לאחר השינוי עדי תרוץ 42 ק"מ בשבוע האחרון? נמק.

ד. כמה קילומטרים סך הכול תרוץ עדי במהלך כל האימונים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספר השבועות

סדרה חשבונית: a1 = 6 , d = 1.5 , an = 42.
6 + 1.5(n − 1) = 42 → 1.5(n − 1) = 36 → n − 1 = 24 → n = 25📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 25 שבועות

סעיף ב – השבוע ה־20

a20 = 6 + 19 · 1.5 = 6 + 28.5 = 34.5📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 34.5 ק"מ

סעיף ג – האם 42 ק"מ בשבוע האחרון

המרוץ הוקדם בשבועיים: התוכנית נגמרת אחרי 25 − 2 = 23 שבועות. אחרי השבוע ה־20 נשארו 3 שבועות, בכל אחד 2 ק"מ יותר:
34.5 + 2 = 36.5 , 36.5 + 2 = 38.5 , 38.5 + 2 = 40.5
בשבוע האחרון (ה־23) היא תרוץ 40.5 ק"מ – פחות מ־42.
✅ פתרון סופי: לא (40.5 ק"מ)

סעיף ד – סך הכול

S20 = 202(6 + 34.5) = 10 · 40.5 = 405📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
36.5 + 38.5 + 40.5 = 115.5
405 + 115.5 = 520.5
✅ פתרון סופי: 520.5 ק"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א25 שבועות
סעיף ב34.5 ק"מ
סעיף גלא
סעיף ד520.5 ק"מ
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)⬆️ חזרה לתוכן העניינים

📅 שאלון 471 – חורף 2022, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

יוסי רוצה לקנות אופנוע. מחיר האופנוע הוא 43,650 שקלים. הוא מתלבט בין שתי הצעות שהוצעו לו לשלם בעבור האופנוע בתשלומים.

הצעה ראשונה: התשלומים שונים זה מזה. כל תשלום (מלבד התשלום הראשון) גבוה מן התשלום הקודם לו במספר שקלים קבוע. על פי ההצעה הזאת: ההפרש בין התשלום השישי ובין התשלום השני הוא 200 שקלים. התשלום התשיעי גבוה פי 1.2 מן התשלום הראשון.

א. מצא את התשלום הראשון.

ב. מצא את מספר התשלומים שישלם יוסי בעבור האופנוע לפי ההצעה הראשונה.

הצעה שנייה: התשלומים שווים זה לזה. מספר התשלומים שיהיה על יוסי לשלם בעבור האופנוע זהה בשתי ההצעות (מספר התשלומים שמצאת בסעיף ב).

ג. מצא כמה מן התשלומים שעל יוסי לשלם לפי ההצעה הראשונה נמוכים מן התשלום הקבוע שעליו לשלם לפי ההצעה השנייה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – התשלום הראשון

התשלומים בהצעה הראשונה הם סדרה חשבונית. ההפרש בין התשלום השישי לשני:
a6 − a2 = (a1 + 5d) − (a1 + d) = 4d = 200📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
d = 50
a9 = 1.2a1 ⟸ a1 + 8 · 50 = 1.2a1
400 = 0.2a1 ⟸ a1 = 2000
✅ פתרון סופי: 2,000 שקלים

סעיף ב – מספר התשלומים

n[2 · 2000 + (n − 1) · 50]2 = 43650📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n[2a1 + (n − 1)d]2
כופלים ב־2:
n(4000 + 50n − 50) = 87300
50n² + 3950n − 87300 = 0
מחלקים ב־50:
n² + 79n − 1746 = 0
n = −79 ± √6241 + 69842 = −79 ± 1152📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
n = 18 (הפתרון השלילי נפסל)
✅ פתרון סופי: 18 תשלומים

סעיף ג – תשלומים נמוכים מהתשלום הקבוע

התשלום הקבוע בהצעה השנייה: 4365018 = 2425
2000 + (n − 1) · 50 < 2425 ⟸ (n − 1) · 50 < 425 ⟸ n − 1 < 8.5
כלומר n ≤ 9: התשלומים 1 עד 9 (a9 = 2400 , a10 = 2450).
✅ פתרון סופי: 9 תשלומים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א2,000
סעיף ב18
סעיף ג9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 (ינואר)⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il

📅 שאלון 482 – קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית an בת n איברים.

נתון: a1 = −10 , a3 = −4. סכום כל איברי הסדרה הוא 10,353.

א. מצאו את n.

מחקו כל איבר שלישי בסדרה an (כלומר מחקו את האיברים a3 , a6 , …).

ב. (1) כמה איברים נמחקו מן הסדרה an? (2) מהו סכום האיברים שנמחקו מן הסדרה an? (3) מהו סכום האיברים שנשארו בסדרה an אחרי המחיקה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מספר האיברים

a3 = a1 + 2d ⟸ −4 = −10 + 2d ⟸ d = 3📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים בנוסחת הסכום:
Sn = n2 · (−20 + 3(n − 1)) = 10,353📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n2 · (3n − 23) = 10,353 ⟸ 3n2 − 23n − 20,706 = 0
n = 23 ± √(529 + 248,472)6 = 23 ± 4996📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n = 87 (הפתרון השני שלילי, נפסל).
✅ פתרון סופי: d = 3 ; n = 87

סעיף ב – האיברים שנמחקו ומה שנשאר

(1) האיברים a3 , a6 , … , a87 – כל המקומות שמתחלקים ב־3 עד 87:
873 = 29
(2) האיברים שנמחקו הם בעצמם סדרה חשבונית: האיבר הראשון a3 = −4, וכל פעם קופצים 3 מקומות, כלומר ההפרש 3d = 9:
S = 292 · (2 · (−4) + 28 · 9) = 292 · 244 = 3,538📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
(3) מה שנשאר = כל הסכום פחות מה שנמחק:
10,353 − 3,538 = 6,815
✅ פתרון סופי: (1) 29 ; (2) 3,538 ; (3) 6,815

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אn = 87
סעיף ב(1) 29 ; (2) 3,538
(3) 6,815
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה הסדרה: an = 4n − 6.

א. מצאו את a1.

ב. הוכיחו כי הסדרה חשבונית, ומצאו את הפרש הסדרה.

נתון: בסדרה יש 2k איברים סך הכול.

ג. (1) הביעו באמצעות k את סכום k האיברים הראשונים בסדרה. (2) הביעו באמצעות k את סכום כל 2k האיברים בסדרה.

נתון כי סכום k האיברים האחרונים בסדרה הוא 7,210.

ד. מצאו את k.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון

a1 = 4 · 1 − 6 = −2
✅ פתרון סופי: a1 = −2

סעיף ב – הוכחה שהסדרה חשבונית

an + 1 − an = (4(n + 1) − 6) − (4n − 6) = 4n − 2 − 4n + 6 = 4📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא המספר הקבוע 4 – הסדרה חשבונית עם d = 4.
✅ פתרון סופי: הוכח ; d = 4

סעיף ג – סכומים באמצעות k

Sk = k2 · (2 · (−2) + (k − 1) · 4) = k2 · (4k − 8) = 2k2 − 4k📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
(2) מציבים 2k במקום k:
S2k = 2(2k)2 − 4 · 2k = 8k2 − 8k
✅ פתרון סופי: (1) Sk = 2k2 − 4k
(2) S2k = 8k2 − 8k

סעיף ד – מציאת k

סכום k האיברים האחרונים = סכום כל 2k האיברים פחות סכום k הראשונים:
S2k − Sk = 8k2 − 8k − 2k2 + 4k = 6k2 − 4k
6k2 − 4k = 7,210 ⟸ 3k2 − 2k − 3,605 = 0
k = 2 ± √(4 + 43,260)6 = 2 ± 2086📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
k = 35 (הפתרון השני שלילי, נפסל).
✅ פתרון סופי: k = 35

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = −2
סעיף בהוכח (d = 4)
סעיף גSk = 2k2 − 4k
S2k = 8k2 − 8k
סעיף דk = 35
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2023, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ביום ראשון יצאו יעל ושירה להליכה במסלול שאורכו 4,200 מטרים. הן יצאו יחד מתחילת המסלול.

בדקה הראשונה הלכה יעל מרחק של 130 מטרים, ובכל דקה שלאחר מכן היא הלכה מרחק הקטן ב־2 מטרים מן המרחק שהלכה בדקה שקדמה לה.

א. מהו המרחק שהלכה יעל בדקה ה־55?

ב. (1) כמה דקות הלכה יעל מתחילת המסלול ועד סופו? (2) מהו המרחק שהלכה יעל בדקה האחרונה?

שירה הלכה בכל דקה מרחק קבוע. יעל ושירה הגיעו לסוף המסלול באותו הזמן.

ג. מהו המרחק הקבוע שהלכה שירה בכל דקה?

ביום שני יצאו יעל ושירה להליכה במסלול אחר. שירה יצאה מתחילת המסלול והלכה בכל דקה אותו מרחק קבוע כמו ביום ראשון. יעל יצאה מתחילת המסלול 4 דקות אחרי שירה, והלכה בכל דקה באותו אופן שבו הלכה ביום ראשון (בדקה הראשונה היא הלכה מרחק של 130 מטרים, ובכל דקה שלאחר מכן היא הלכה מרחק הקטן ב־2 מטרים מן המרחק שהלכה בדקה שקדמה לה).

ד. כמה דקות עברו מזמן שיצאה יעל מתחילת המסלול ועד שהיא פגשה את שירה בפעם הראשונה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המרחק בדקה ה־55

המרחקים של יעל בכל דקה הם סדרה חשבונית: a1 = 130 , d = −2.
a55 = 130 + 54 · (−2) = 130 − 108 = 22📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 22 מטרים

סעיף ב – זמן ההליכה של יעל

(1) סכום המרחקים אחרי n דקות שווה לאורך המסלול:
Sn = n2 · (260 − 2(n − 1)) = n(131 − n)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n(131 − n) = 4,200 ⟸ n2 − 131n + 4,200 = 0
n = 131 ± √(17,161 − 16,800)2 = 131 ± 192📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n = 56 n = 75
יעל מגיעה לסוף המסלול בפעם הראשונה שהסכום מגיע ל־4,200, כלומר אחרי 56 דקות. (ב־n = 75 האיברים כבר שליליים – a75 = −18 – וזה לא מרחק אמיתי.)
a56 = 130 + 55 · (−2) = 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: (1) 56 דקות ; (2) 20 מטרים

סעיף ג – המרחק הקבוע של שירה

שירה הלכה את כל 4,200 המטרים ב־56 דקות, בכל דקה אותו מרחק:
4,20056 = 75
✅ פתרון סופי: 75 מטרים בדקה

סעיף ד – הפגישה הראשונה ביום שני

מסמנים ב־t את מספר הדקות מהרגע שיעל יצאה. עד אז שירה כבר הלכה t + 4 דקות.
יעל: St = t(131 − t)
שירה: 75(t + 4)
נפגשות כשהמרחקים שווים:
t(131 − t) = 75t + 300 ⟸ t2 − 56t + 300 = 0
t = 56 ± √(3,136 − 1,200)2 = 56 ± 442📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 6 t = 50
הפגישה הראשונה – אחרי 6 דקות. בדיקה: יעל הלכה 6 · 125 = 750 מטרים, ושירה 75 · 10 = 750 מטרים.
✅ פתרון סופי: 6 דקות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א22 מטרים
סעיף ב56 דקות ; 20 מטרים
סעיף ג75 מטרים
סעיף ד6 דקות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2023 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה חשבונית.

נתון: a1 · a4 = (a2)2 , הפרש הסדרה הוא 3.

א. מצאו את a1.

נתון: האיבר האחרון בסדרה an שווה ל־300.

ב. מצאו כמה איברים יש בסדרה an.

מחקו כל איבר רביעי בסדרה an, כלומר את האיברים: a4 , a8 , a12 ….

ג. (1) מצאו את סכום האיברים שנמחקו מן הסדרה. (2) מצאו את סכום האיברים שנשארו בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון

a2 = a1 + 3 a4 = a1 + 9📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a1(a1 + 9) = (a1 + 3)2
a12 + 9a1 = a12 + 6a1 + 9 ⟸ 3a1 = 9 ⟸ a1 = 3📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
✅ פתרון סופי: a1 = 3

סעיף ב – מספר האיברים

3 + (n − 1) · 3 = 300 ⟸ 3n = 300 ⟸ n = 100📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 100 איברים

סעיף ג – האיברים שנמחקו ומה שנשאר

האיברים שנמחקו: a4 , a8 , … , a100 – יש 1004 = 25 כאלה. הם סדרה חשבונית שמתחילה ב־a4 = 12 ומסתיימת ב־a100 = 300:
S = 252 · (12 + 300) = 25 · 156 = 3,900📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
(2) סכום כל הסדרה, פחות מה שנמחק:
S100 = 1002 · (3 + 300) = 15,150
15,150 − 3,900 = 11,250
✅ פתרון סופי: (1) 3,900 ; (2) 11,250

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = 3
סעיף ב100
סעיף ג(1) 3,900 ; (2) 11,250
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית.

נתון: a3 = 4t , a5 = t. t הוא פרמטר.

א. מצאו את מנת הסדרה an (שתי אפשרויות).

נתון כי כל איברי הסדרה an חיוביים וכי סכום אין־סוף האיברים בסדרה הוא 4.

ב. מצאו את a1, האיבר הראשון בסדרה, ואת t.

bn היא סדרה חשבונית המקיימת: b1 = a1 , b3 = a3. בסדרה bn יש 63 איברים.

ג. מצאו את סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה bn.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מנת הסדרה

a5 = a3 · q2 ⟸ t = 4t · q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחלקים ב־4t (בסדרה הנדסית אין איבר אפס, ולכן t ≠ 0):
q2 = 14 ⟸ q = ±12
✅ פתרון סופי: q = 12 או q = −12

סעיף ב – האיבר הראשון ו־t

כל האיברים חיוביים, ולכן המנה חיובית: q = 12.
S = a11 − 12 = 2a1 = 4 ⟸ a1 = 2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
a3 = 2 · (12)2 = 12 4t = 12 ⟸ t = 18
✅ פתרון סופי: a1 = 2 ; t = 18

סעיף ג – סכום האיברים במקומות הזוגיים

b1 = 2 b3 = 12
12 = 2 + 2d ⟸ d = −34 = −0.75📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
האיברים במקומות הזוגיים: b2 , b4 , … , b62 – 31 איברים. גם הם סדרה חשבונית:
b2 = 2 − 0.75 = 1.25 b62 = 2 + 61 · (−0.75) = −43.75
S = 312 · (1.25 + (−43.75)) = 312 · (−42.5) = −658.75📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: −658.75

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = ±12
סעיף בa1 = 2 ; t = 18
סעיף ג−658.75
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2022, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה הסדרה: an = 2n + 1.

א. (1) הוכח כי an היא סדרה חשבונית. (2) מצא את a1 ואת הפרש הסדרה.

נתון כי סכום n האיברים הראשונים בסדרה an הוא 1,443.

ב. מצא את n.

מן הסדרה הנתונה בנו סדרה חשבונית חדשה, bn. נתון: bn = 1 + 3 · an, לכל n טבעי.

ג. מצא את הפרש הסדרה החדשה.

בסדרה החדשה יש n איברים – n הוא המספר שמצאת בסעיף ב.

ד. מצא את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה החדשה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה, האיבר הראשון וההפרש

an + 1 − an = (2(n + 1) + 1) − (2n + 1) = 2📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
ההפרש קבוע – הסדרה חשבונית.
a1 = 2 · 1 + 1 = 3 d = 2
✅ פתרון סופי: (1) הוכח ; (2) a1 = 3 , d = 2

סעיף ב – מציאת n

Sn = n2 · (6 + 2(n − 1)) = n(n + 2)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n2 + 2n − 1,443 = 0
n = −2 ± √(4 + 5,772)2 = −2 ± 762📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n = 37 (הפתרון השני שלילי, נפסל).
✅ פתרון סופי: n = 37

סעיף ג – הפרש הסדרה החדשה

bn = 1 + 3(2n + 1) = 6n + 4
bn + 1 − bn = 6(n + 1) + 4 − (6n + 4) = 6
✅ פתרון סופי: 6

סעיף ד – סכום האיברים במקומות האי־זוגיים

המקומות האי־זוגיים מתוך 37: b1 , b3 , … , b37 – יש 37 + 12 = 19 איברים. גם הם סדרה חשבונית (הפרש 12):
b1 = 10 b37 = 6 · 37 + 4 = 226
S = 192 · (10 + 226) = 19 · 118 = 2,242📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 2,242

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = 3 , d = 2
סעיף בn = 37
סעיף ג6
סעיף ד2,242
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2022 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2022, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה חשבונית.

נתון: a2 + a4 = 124.

א. מצא את a3.

נתון: a4 = 76.

ב. מצא את a1 ואת הפרש הסדרה.

ג. (1) הבע באמצעות n את האיבר an. (2) הסבר מדוע כל איבר בסדרה an הוא זוגי.

נתון כי הסדרה an היא בת 64 איברים.

ד. בסדרה הנתונה כל איבר שלישי (a3 , a6 , …) נמחק. מהו סכום האיברים שנותרו בסדרה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר השלישי

a2 + a4 = (a3 − d) + (a3 + d) = 2a3📐 איבר אמצעי בסדרה חשבוניתan = an − 1 + an + 12
2a3 = 124 ⟸ a3 = 62
✅ פתרון סופי: a3 = 62

סעיף ב – האיבר הראשון וההפרש

d = a4 − a3 = 76 − 62 = 14
a3 = a1 + 2d ⟸ 62 = a1 + 28 ⟸ a1 = 34📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: a1 = 34 , d = 14

סעיף ג – האיבר הכללי וזוגיות

an = 34 + 14(n − 1) = 14n + 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
(2) 14n + 20 = 2(7n + 10) – כפולה של 2, ולכן כל איבר זוגי. (או: האיבר הראשון זוגי, וכל פעם מוסיפים 14 – מספר זוגי.)
✅ פתרון סופי: (1) an = 14n + 20

סעיף ד – סכום האיברים שנותרו

S64 = 642 · (2 · 34 + 63 · 14) = 32 · 950 = 30,400📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
נמחקו a3 , a6 , … , a63 – 633 = 21 איברים, סדרה חשבונית מ־a3 = 62 עד a63 = 14 · 63 + 20 = 902:
S = 212 · (62 + 902) = 21 · 482 = 10,122📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
30,400 − 10,122 = 20,278
✅ פתרון סופי: 20,278

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa3 = 62
סעיף בa1 = 34 , d = 14
סעיף גan = 14n + 20
סעיף ד20,278
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2022 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית an שבה a4 = 12 , a7 = −96.

א. מצא את מנת הסדרה ואת a1.

נתון: בסדרה an יש מספר זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים של הסדרה הוא 262,143.

ב. מצא את מספר האיברים בסדרה an.

נתונה סדרה חשבונית bn המקיימת: b1 = a3 , b7 = a6.

ג. (1) מצא את הפרש הסדרה bn. (2) מצא את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה bn שסכומם הוא 357.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המנה והאיבר הראשון

a7 = a4 · q3 ⟸ −96 = 12q3 ⟸ q3 = −8 ⟸ q = −2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a4 = a1 · (−2)3 ⟸ 12 = −8a1 ⟸ a1 = −1.5
✅ פתרון סופי: q = −2 ; a1 = −1.5

סעיף ב – מספר האיברים

האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , a6 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון a2 = −1.5 · (−2) = 3 ומנה q2 = 4. אם בסדרה 2m איברים, יש m איברים במקומות הזוגיים:
Sm = 3(4m − 1)4 − 1 = 4m − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
4m − 1 = 262,143 ⟸ 4m = 262,144 = 49 ⟸ m = 9
מספר האיברים בסדרה כולה: 2m = 18.
✅ פתרון סופי: 18 איברים

סעיף ג – הסדרה החשבונית

b1 = a3 = −1.5 · (−2)2 = −6
b7 = a6 = −1.5 · (−2)5 = 48
48 = −6 + 6d ⟸ d = 9📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
(2) bk = −6 + 9(k − 1) = 9k − 15. שני איברים סמוכים: bk ו־bk + 1:
(9k − 15) + (9(k + 1) − 15) = 357 ⟸ 18k − 21 = 357 ⟸ k = 21
✅ פתרון סופי: (1) d = 9 ; (2) האיברים במקומות 21 ו־22

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = −2 ; a1 = −1.5
סעיף ב18
סעיף גd = 9 ; מקומות 21 , 22
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

דניאלה קנתה מקרר בתשלומים חודשיים. התשלום הראשון הוא 700 שקלים, ולאחר מכן כל תשלום נמוך ב־30 שקלים מן התשלום שלפניו.

א. מהו מספר התשלום שבו תשלם דניאלה 280 שקלים?

ב. (1) האם ייתכן שהתשלום האחרון שתשלם דניאלה יהיה תשלום מספר 29? נמק את תשובתך. (2) מהו התשלום הנמוך ביותר האפשרי בסדרת התשלומים של דניאלה ומהו מספר התשלום?

נעמה קנתה מקרר באותו המחיר שבו קנתה דניאלה את המקרר שלה, אך שילמה עליו ב־30 תשלומים חודשיים שווים של 280 שקלים כל תשלום.

ג. בכמה תשלומים קנתה דניאלה את המקרר שלה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – התשלום של 280 שקלים

התשלומים הם סדרה חשבונית: a1 = 700 , d = −30.
700 − 30(n − 1) = 280 ⟸ 30(n − 1) = 420 ⟸ n = 15📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: תשלום מספר 15

סעיף ב – התשלום האחרון

a29 = 700 − 30 · 28 = −140
(1) תשלום לא יכול להיות שלילי – לא ייתכן.
(2) מחפשים את התשלום החיובי האחרון:
700 − 30(n − 1) > 0 ⟸ n − 1 < 23.3 ⟸ n ≤ 24
a24 = 700 − 30 · 23 = 10
✅ פתרון סופי: (1) לא ; (2) 10 שקלים, תשלום מספר 24

סעיף ג – מספר התשלומים של דניאלה

30 · 280 = 8,400
(מחיר המקרר 8,400 שקלים.) סכום התשלומים של דניאלה שווה למחיר:
n2 · (1,400 − 30(n − 1)) = 8,400 ⟸ 3n2 − 143n + 1,680 = 0📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n = 143 ± √(20,449 − 20,160)6 = 143 ± 176📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n = 21 n = 26.67 – מספר תשלומים חייב להיות שלם.
✅ פתרון סופי: 21 תשלומים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א15
סעיף בלא ; 10 ש״ח, תשלום 24
סעיף ג21
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף מאוחר 2021, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

הסדרה an מקיימת את הכלל: an + 1 = 2n + 1 − an. נתון: a1 = 10.

א. מצא את האיברים: a2 , a3 , a4.

ב. (1) הוכח כי הסדרה של האיברים במקומות האי־זוגיים היא חשבונית. (2) האם הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים גם היא חשבונית? נמק.

ג. מצא את סכום 46 האיברים הראשונים בסדרה an.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שלושה איברים

a2 = 2 · 1 + 1 − 10 = −7📐 כלל נסיגהמציבים n ומקבלים את האיבר הבא
a3 = 2 · 2 + 1 − (−7) = 12
a4 = 2 · 3 + 1 − 12 = −5
✅ פתרון סופי: a2 = −7 , a3 = 12 , a4 = −5

סעיף ב – הוכחה

כותבים את הכלל פעמיים – עבור n + 1 ועבור n:
an + 2 = 2(n + 1) + 1 − an + 1 = 2n + 3 − (2n + 1 − an) = an + 2
כלומר כל איבר גדול ב־2 מהאיבר שנמצא שני מקומות לפניו: an + 2 − an = 2. לכן האיברים במקומות האי־זוגיים (a1 , a3 , a5 , …) הם סדרה חשבונית עם הפרש 2.
📐 הוכחה שסדרה חשבוניתההפרש בין איברים סמוכים בה קבוע
(2) אותו שוויון נכון לכל n, גם זוגי – ולכן גם האיברים במקומות הזוגיים (a2 , a4 , …) הם סדרה חשבונית עם הפרש 2.
✅ פתרון סופי: (1) הוכח ; (2) כן, הפרש 2

סעיף ג – סכום 46 האיברים הראשונים

מפרידים: 23 איברים במקומות האי־זוגיים ו־23 במקומות הזוגיים.
האי־זוגיים מתחילים ב־a1 = 10, הזוגיים ב־a2 = −7:
232 · (2 · 10 + 22 · 2) = 23 · 32 = 736📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
232 · (2 · (−7) + 22 · 2) = 23 · 15 = 345
S46 = 736 + 345 = 1,081
✅ פתרון סופי: 1,081

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א−7 , 12 , −5
סעיף בהוכח ; כן
סעיף ג1,081
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף מאוחר 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2021, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הכללי שלה הוא an = 2n − 3, ונתונה סדרה המוגדרת על ידי הכלל bn = 3an + 5.

א. (1) מצא את b1. (2) הוכח כי הסדרה bn היא חשבונית.

נתון כי האיבר האחרון בסדרה bn הוא 110.

ב. מצא את מספר האיברים בסדרה bn.

נתון כי בסדרה an ובסדרה bn יש אותו מספר איברים.

ג. מצא את סכום האיברים במקומות האי־זוגיים בסדרה an.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון והוכחה

bn = 3(2n − 3) + 5 = 6n − 4
b1 = 6 − 4 = 2
bn + 1 − bn = 6(n + 1) − 4 − (6n − 4) = 6📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
ההפרש קבוע – הסדרה חשבונית.
✅ פתרון סופי: (1) b1 = 2 ; (2) הוכח (d = 6)

סעיף ב – מספר האיברים

6n − 4 = 110 ⟸ 6n = 114 ⟸ n = 19
✅ פתרון סופי: 19 איברים

סעיף ג – סכום האיברים במקומות האי־זוגיים

גם ב־an יש 19 איברים. המקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … , a19 – 10 איברים, סדרה חשבונית:
a1 = −1 a19 = 2 · 19 − 3 = 35
S = 102 · (−1 + 35) = 170📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 170

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אb1 = 2 ; הוכח
סעיף ב19
סעיף ג170
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2021, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות: an = 4n + 1 , bn = 9 − 2n.

א. (1) מצא את a1 ואת b1. (2) הוכח כי שתי הסדרות הן סדרות חשבוניות, ומצא את הפרשיהן.

סכום k האיברים הראשונים בסדרה an הוא 860.

ב. (1) מצא את k. (2) מצא את סכום k האיברים הראשונים בסדרה bn.

נתונה סדרה חדשה המקיימת לכל n: cn = an − bn.

ג. האם cn היא סדרה חשבונית? הוכח את תשובתך.

ד. מהו סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה cn? הסבר את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – איברים ראשונים והפרשים

a1 = 5 b1 = 9 − 2 = 7
an + 1 − an = 4(n + 1) + 1 − (4n + 1) = 4📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
bn + 1 − bn = 9 − 2(n + 1) − (9 − 2n) = −2
שני ההפרשים קבועים – שתי הסדרות חשבוניות.
✅ פתרון סופי: a1 = 5 , b1 = 7
הפרשים: 4 ו־−2

סעיף ב – מציאת <bndi>kbndi> וסכום ב־bn

Sk = k2 · (10 + 4(k − 1)) = k(2k + 3) = 860📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
2k2 + 3k − 860 = 0
k = −3 ± √(9 + 6,880)4 = −3 ± 834📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
k = 20 (הפתרון השני שלילי).
S20(b) = 202 · (2 · 7 + 19 · (−2)) = 10 · (−24) = −240
✅ פתרון סופי: (1) k = 20 ; (2) −240

סעיף ג – האם cn חשבונית

cn = (4n + 1) − (9 − 2n) = 6n − 8
cn + 1 − cn = 6(n + 1) − 8 − (6n − 8) = 6
ההפרש קבוע – כן, סדרה חשבונית.
✅ פתרון סופי: כן (d = 6)

סעיף ד – סכום 20 האיברים של cn

כל איבר ב־cn הוא הפרש של האיברים המתאימים, ולכן גם הסכום הוא הפרש הסכומים:
S20(c) = S20(a) − S20(b) = 860 − (−240) = 1,100
✅ פתרון סופי: 1,100

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = 5 , b1 = 7 ; הפרשים 4 , −2
סעיף בk = 20 ; −240
סעיף גכן
סעיף ד1,100
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות חשבוניות:

an : 3 , 10 , 17 , 24 , …

bn : 17 , 38 , 59 , 80 , …

א. (1) חשב את b30. (2) עבור איזה ערך של n מתקיים an = b30? נמק. (n הוא מספר טבעי.)

ב. עבור כל אחד משני ההיגדים I–II שלפניך כתוב אם הוא נכון או לא נכון. נמק את קביעותיך. I. לכל n טבעי 3an = bn. II. לכל n טבעי a3n = bn.

ג. נתון כי ההפרש בין סכום k האיברים הראשונים בסדרה bn ובין סכום k האיברים הראשונים בסדרה an הוא 924 (k הוא מספר טבעי). מצא את k.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – b30 והאיבר המתאים ב־an

an: a1 = 3 , d = 7 bn: b1 = 17 , d = 21
b30 = 17 + 29 · 21 = 626📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
an = 3 + 7(n − 1) = 7n − 4
7n − 4 = 626 ⟸ 7n = 630 ⟸ n = 90
90 הוא מספר טבעי, ולכן יש איבר כזה.
✅ פתרון סופי: (1) b30 = 626 ; (2) n = 90

סעיף ב – נכון או לא נכון

bn = 17 + 21(n − 1) = 21n − 4
I. 3an = 3(7n − 4) = 21n − 12 – שונה מ־21n − 4. למשל n = 1: 3 · 3 = 9 ≠ 17. לא נכון.
II. a3n = 7 · 3n − 4 = 21n − 4 = bn. נכון.
✅ פתרון סופי: I – לא נכון ; II – נכון

סעיף ג – מציאת k

מחסרים איבר־איבר:
bn − an = (21n − 4) − (7n − 4) = 14n
זו סדרה חשבונית (14 , 28 , 42 , …):
Sk(b) − Sk(a) = k2 · (14 + 14k) = 7k(k + 1)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
7k(k + 1) = 924 ⟸ k2 + k − 132 = 0 ⟸ (k + 12)(k − 11) = 0
k = 11 (k = −12 לא טבעי).
✅ פתרון סופי: k = 11

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אb30 = 626 ; n = 90
סעיף בI לא נכון ; II נכון
סעיף גk = 11
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונים האיברים הכלליים של שתי סדרות: an = −8n + 5 , bn = −4n + 3.

א. מצא את a1 ואת b1.

נתונה סדרה חדשה, cn, כך ש־cn = an + bn.

ב. הוכח כי הסדרה cn היא סדרה חשבונית, ומצא את האיבר הראשון שלה, c1, ואת ההפרש שלה.

ג. נתון: ak = −75. חשב את סכום k האיברים הראשונים של הסדרה החדשה, cn.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיברים הראשונים

a1 = −8 + 5 = −3 b1 = −4 + 3 = −1
✅ פתרון סופי: a1 = −3 , b1 = −1

סעיף ב – הסדרה החדשה

cn = (−8n + 5) + (−4n + 3) = −12n + 8
cn + 1 − cn = −12(n + 1) + 8 − (−12n + 8) = −12📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
c1 = −12 + 8 = −4
✅ פתרון סופי: c1 = −4 , d = −12

סעיף ג – הסכום

−8k + 5 = −75 ⟸ −8k = −80 ⟸ k = 10
S10 = 102 · (2 · (−4) + 9 · (−12)) = 5 · (−116) = −580📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
✅ פתרון סופי: −580

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = −3 , b1 = −1
סעיף בc1 = −4 , d = −12
סעיף ג−580
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2020, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית שהמנה שלה היא 14 וסכומה 913.

א. מצא את האיבר הראשון בסדרה.

בין כל שני איברים סמוכים בסדרה הוסיפו איבר חדש כך שהתקבלה סדרה הנדסית אין־סופית חדשה, שכל האיברים בה חיוביים.

ב. מהי המנה של הסדרה החדשה? נמק.

ג. עבור כל אחת מן הטענות I–II שלפניך קבע אם היא נכונה או אינה נכונה. נמק את קביעותיך. I) האיבר החמישי בסדרה החדשה שווה לאיבר העשירי בסדרה הנתונה. II) סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה החדשה הוא 12 מסכום הסדרה הנתונה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון

a11 − 14 = 283 ⟸ a1 = 283 · 34 = 7📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
✅ פתרון סופי: a1 = 7

סעיף ב – המנה של הסדרה החדשה

בסדרה החדשה: 7 , c2 , 7 · 14 , c4 , …. כל איבר מהסדרה הנתונה נמצא עכשיו שני מקומות אחרי הקודם, ולכן אם המנה החדשה היא Q:
Q2 = 14 ⟸ Q = ±12📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
כל האיברים חיוביים, ולכן המנה חיובית.
✅ פתרון סופי: Q = 12

סעיף ג – נכון או לא נכון

c5 = 7 · (12)4 = 716
a10 = 7 · (14)9 = 749
I. 716 ≠ 749 – לא נכונה. (c5 שווה ל־a3, כי האיבר ה־n בסדרה הנתונה נמצא במקום 2n − 1 בסדרה החדשה.)
II. האיברים במקומות הזוגיים הם האיברים שהוסיפו: c2 = 7 · 12 = 3.5, והמנה ביניהם Q2 = 14:
S = 3.51 − 14 = 143📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
143 = 12 · 283 – נכונה.
✅ פתרון סופי: I – לא נכונה ; II – נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = 7
סעיף בQ = 12
סעיף גI לא נכונה ; II נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2020 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות חשבוניות, an ו־bn. נתון: a1 = b1.

הפרש הסדרה an הוא d, והפרש הסדרה bn הוא d + 1. נתון: a4 גדול ב־2 מ־b3.

א. מצא את d.

ב. הראה כי: bn = an + n − 1.

בכל אחת מן הסדרות an ו־bn יש n איברים.

ג. הבע באמצעות n את ההפרש בין סכום כל האיברים בסדרה bn ובין סכום כל האיברים בסדרה an.

נתון: ההפרש בין סכום כל האיברים בסדרה bn ובין סכום כל האיברים בסדרה an הוא 780. סכום כל האיברים בסדרה an הוא 3,040.

ד. מצא את a1.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מציאת d

a4 = a1 + 3d b3 = a1 + 2(d + 1)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a1 + 3d = a1 + 2(d + 1) + 2 ⟸ 3d = 2d + 4 ⟸ d = 4
✅ פתרון סופי: d = 4

סעיף ב – הראה כי

bn = b1 + (n − 1)(d + 1) = a1 + (n − 1)d + (n − 1) = an + n − 1
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – הפרש הסכומים

לפי סעיף ב, כל איבר ב־bn גדול מהאיבר המתאים ב־an ב־i − 1. מחברים את ההפרשים 0 , 1 , 2 , … , n − 1:
Sb − Sa = 0 + 1 + … + (n − 1) = n2 · (0 + n − 1) = n(n − 1)2📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: n(n − 1)2

סעיף ד – מציאת a1

n(n − 1)2 = 780 ⟸ n2 − n − 1,560 = 0 ⟸ (n − 40)(n + 39) = 0 ⟸ n = 40
S40 = 402 · (2a1 + 39 · 4) = 3,040 ⟸ 2a1 + 156 = 152 ⟸ a1 = −2📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
✅ פתרון סופי: a1 = −2

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אd = 4
סעיף בהוכח
סעיף גn(n − 1)2
סעיף דa1 = −2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה הוא a1 וההפרש שלה הוא 4.

bn היא סדרה המוגדרת כך: bn = an + 8n.

א. הוכח כי bn היא סדרה חשבונית ומצא את ההפרש שלה.

cn היא סדרה המוגדרת כך: cn = an + bn.

ב. הוכח כי cn היא סדרה חשבונית.

נתון: a1 = 12.

ג. (1) מצא את c1. (2) מצא את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה cn.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הסדרה bn

bn + 1 − bn = (an + 1 + 8(n + 1)) − (an + 8n) = (an + 1 − an) + 8 = 4 + 8 = 12📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
✅ פתרון סופי: הוכח ; d = 12

סעיף ב – הסדרה cn

cn + 1 − cn = (an + 1 − an) + (bn + 1 − bn) = 4 + 12 = 16
ההפרש קבוע – הסדרה חשבונית.
✅ פתרון סופי: הוכח (d = 16)

סעיף ג – האיבר הראשון והסכום

b1 = 12 + 8 = 8.5 c1 = 12 + 8.5 = 9
S20 = 202 · (2 · 9 + 19 · 16) = 10 · 322 = 3,220📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
✅ פתרון סופי: (1) c1 = 9 ; (2) 3,220

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכח ; d = 12
סעיף בהוכח
סעיף גc1 = 9 ; 3,220
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2019, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית an שבה a2 = 6 , a5 = 162.

א. מצא את מנת הסדרה ואת a1.

סכום האיברים במקומות האי־זוגיים בסדרה הוא 1640.

ב. מצא את מספר האיברים במקומות האי־זוגיים בסדרה.

נתון כי מספר האיברים בסדרה הוא אי־זוגי.

ג. מצא את סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה.

הסדרה bn היא סדרה הנדסית אין־סופית, ובה: b1 = 5a1 , b2 = 5a2.

ד. (1) מצא את מנת הסדרה bn. (2) מצא את סכום הסדרה bn.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המנה והאיבר הראשון

a5 = a2 · q3 ⟸ 162 = 6q3 ⟸ q3 = 27 ⟸ q = 3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a1 = a2q = 63 = 2
✅ פתרון סופי: q = 3 ; a1 = 2

סעיף ב – מספר האיברים במקומות האי־זוגיים

a1 , a3 , a5 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון 2 ומנה q2 = 9. מסמנים את מספר האיברים ב־m:
2(9m − 1)9 − 1 = 1640 ⟸ 9m − 1 = 6560 ⟸ 9m = 6561 = 94📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
m = 4
✅ פתרון סופי: 4

סעיף ג – סכום האיברים במקומות הזוגיים

4 איברים במקומות האי־זוגיים ומספר איברים אי־זוגי – בסדרה 7 איברים (a1 עד a7), ובמקומות הזוגיים a2 , a4 , a6:
6 + 54 + 486 = 546
✅ פתרון סופי: 546

סעיף ד – הסדרה bn

b1 = 52 b2 = 56
qb = b2b1 = 56 · 25 = 13
S = 521 − 13 = 52 · 32 = 3.75📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
✅ פתרון סופי: (1) 13 ; (2) 3.75

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = 3 ; a1 = 2
סעיף ב4
סעיף ג546
סעיף דq = 13 ; S = 3.75
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2019 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות הנדסיות אין־סופיות, an ו־bn. המנה של הסדרה an היא q, והמנה של הסדרה bn היא 3q.

נתון: a1 = b1. נסמן את סכום איברי הסדרה an ב־S ואת סכום איברי הסדרה bn ב־T (S ו־T הם מספרים ממשיים).

נתון: ST = 67.

א. חשב את q.

נתון: a4 = 5.

ב. חשב את b4.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – חישוב q

S = a11 − q T = a11 − 3q📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
ST = 1 − 3q1 − q = 67
7 − 21q = 6 − 6q ⟸ 15q = 1 ⟸ q = 115
בדיקה: |q| < 1 וגם |3q| = 15 < 1 – שתי הסדרות מתכנסות.
✅ פתרון סופי: q = 115

סעיף ב – חישוב b4

a4 = a1 · q3 b4 = a1 · (3q)3 = 27 · a1q3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
b4 = 27 · a4 = 27 · 5 = 135
✅ פתרון סופי: b4 = 135

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אq = 115
סעיף בb4 = 135
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

הסדרה an מוגדרת באופן הזה: an + 1 = an + 3 , a1 = 0.

הסדרה bn מוגדרת על ידי הכלל: bn = an + an + 1.

א. (1) הוכח: bn = 2an + 3. (2) הוכח שהסדרה bn היא סדרה חשבונית, ומצא את ההפרש שלה ואת b1.

נתון: b1 + bm = 120.

ב. (1) חשב את m. (2) חשב את הסכום: bm + 1 + bm + 2 + … + b2m (סכום האיברים בסדרה bn החל מהאיבר bm + 1 ועד האיבר b2m, כולל).

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחות

bn = an + (an + 3) = 2an + 3
bn + 1 − bn = 2(an + 1 − an) = 2 · 3 = 6📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
b1 = 2 · 0 + 3 = 3
✅ פתרון סופי: הוכח ; d = 6 , b1 = 3

סעיף ב – m והסכום

bm = 3 + 6(m − 1) = 6m − 3📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
3 + 6m − 3 = 120 ⟸ m = 20
(2) הסכום מ־b21 עד b40 = סכום 40 הראשונים פחות סכום 20 הראשונים:
Sn = n2 · (6 + 6(n − 1)) = 3n2📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
S40 − S20 = 3 · 1600 − 3 · 400 = 4,800 − 1,200 = 3,600
✅ פתרון סופי: (1) m = 20 ; (2) 3,600

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אd = 6 , b1 = 3
סעיף בm = 20 ; 3,600
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2018, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית שכל איבריה חיוביים. האיבר השלישי בסדרה גדול פי 8 מן האיבר השישי בסדרה.

א. פי כמה גדול סכום כל איברי הסדרה מסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים?

ב. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים הוא 2. חשב את הערך של האיבר השלישי בסדרה הנתונה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – היחס בין הסכומים

a3 = 8a6 = 8 · a3q3 ⟸ q3 = 18 ⟸ q = 12📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
S = a11 − 12 = 2a1📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
המקומות הזוגיים: a2 , a4 , … – איבר ראשון a2 = a12, מנה q2 = 14:
S2 = a121 − 14 = 2a13
SS2 = 2a1 · 32a1 = 3
✅ פתרון סופי: פי 3

סעיף ב – האיבר השלישי

המקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … – איבר ראשון a1, מנה 14:
a11 − 14 = 4a13 = 2 ⟸ a1 = 1.5📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
a3 = 1.5 · (12)2 = 38 = 0.375
✅ פתרון סופי: a3 = 38

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אפי 3
סעיף בa3 = 38
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2018 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2017 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המקיימת: an + 1 = an + 2n + 5 , a1 = 0 לכל n טבעי.

א. חשב את האיברים a2 ו־a3.

מגדירים סדרה חדשה: bn = an + 1 − an.

ב. הבע את bn באמצעות n.

ג. הוכח שהסדרה bn היא סדרה חשבונית, ומצא את ההפרש שלה.

ד. נתון כי סכום n האיברים הראשונים בסדרה bn שווה ל־a5. מצא את n.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שני איברים

a2 = 0 + 2 · 1 + 5 = 7📐 כלל נסיגהמציבים n ומקבלים את האיבר הבא
a3 = 7 + 2 · 2 + 5 = 16
✅ פתרון סופי: a2 = 7 , a3 = 16

סעיף ב – bn באמצעות n

bn = an + 1 − an = 2n + 5
✅ פתרון סופי: bn = 2n + 5

סעיף ג – הוכחה

bn + 1 − bn = 2(n + 1) + 5 − (2n + 5) = 2📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
✅ פתרון סופי: הוכח ; d = 2

סעיף ד – מציאת n

a4 = 16 + 2 · 3 + 5 = 27 a5 = 27 + 2 · 4 + 5 = 40
Sn = n2 · (2 · 7 + 2(n − 1)) = n(n + 6)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n(n + 6) = 40 ⟸ n2 + 6n − 40 = 0 ⟸ (n + 10)(n − 4) = 0 ⟸ n = 4
✅ פתרון סופי: n = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa2 = 7 , a3 = 16
סעיף בbn = 2n + 5
סעיף גd = 2
סעיף דn = 4
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2017 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2017, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המקיימת את הכלל: an + 1 = an − 2n + 3.

מגדירים סדרה חדשה המקיימת: bn = an + n2.

א. הוכח שהסדרה bn היא סדרה חשבונית.

נתון: a3 = 2.

ב. הבע את bn באמצעות n.

ג. בסדרה bn יש 31 איברים. חשב את סכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה זו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה

bn + 1 − bn = (an + 1 − an) + ((n + 1)2 − n2) = (−2n + 3) + (2n + 1) = 4
ההפרש קבוע – הסדרה חשבונית עם הפרש 4.
📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan + 1 − an = d (מספר קבוע)
✅ פתרון סופי: הוכח (d = 4)

סעיף ב – bn באמצעות n

b3 = a3 + 32 = 2 + 9 = 11
bn = b3 + (n − 3) · 4 = 11 + 4n − 12 = 4n − 1📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: bn = 4n − 1

סעיף ג – סכום האיברים במקומות האי־זוגיים

b1 , b3 , … , b31 – 16 איברים, סדרה חשבונית עם הפרש 8:
b1 = 3 b31 = 123
S = 162 · (3 + 123) = 8 · 126 = 1,008📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 1,008

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכח
סעיף בbn = 4n − 1
סעיף ג1,008
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2017 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2016 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המקיימת את הכלל an + 1 = an − 4 לכל n טבעי. האיבר השלישי בסדרה הוא 12.

א. מצא את האיבר הראשון.

בסדרה זו 71 איברים.

ב. חשב את הסכום של 10 האיברים האחרונים בסדרה.

ג. מצא את האיבר האמצעי בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – האיבר הראשון

כל איבר קטן ב־4 מהקודם – סדרה חשבונית עם d = −4.
a3 = a1 + 2d ⟸ 12 = a1 − 8 ⟸ a1 = 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: a1 = 20

סעיף ב – סכום 10 האיברים האחרונים

האיברים האחרונים: a62 עד a71.
a62 = 20 + 61 · (−4) = −224 a71 = 20 + 70 · (−4) = −260
S = 102 · (−224 + (−260)) = 5 · (−484) = −2,420📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: −2,420

סעיף ג – האיבר האמצעי

ב־71 איברים האמצעי הוא במקום 71 + 12 = 36:
a36 = 20 + 35 · (−4) = −120
✅ פתרון סופי: a36 = −120

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אa1 = 20
סעיף ב−2,420
סעיף ג−120
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2016 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות