📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית e

4 יחידות · שאלון 472 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: חקירת פונקציית e – 472

1. תחום הגדרה ומשוואות עם e

📐 הכלל החשוב

e^x > 0 לכל x, ולכן e^x = 0 אין פתרון

תחום הגדרה: בודקים רק מכנה ≠ 0

📐 מהחזקה אל x

e^x = a ← x = ln a

ln 1 = 0 · e^{ln a} = a · e⁰ = 1

📐 חוקי חזקות

a^m·aⁿ = a^m+n · a⁻ⁿ = 1aⁿ

בסיסים שווים ← חזקות שוות: e^4x = e^6+x ← 4x = 6 + x

הצבה e^x = t: e^2x − 3e^x + 2 = 0
t² − 3t + 2 = 0 ← t = 1 או t = 2
חוזרים להצבה: e^x = 1 ← x = 0 · e^x = 2 ← x = ln 2

🔹 גורם משותף: כל גורם = 0. גורם e^□ לא מתאפס אף פעם.
🔹 e^x = t עם t ≤ 0 ← אין פתרון.

y = e^x (כחול) ו־y = e^−x (ירוק חזק): תמיד מעל ציר x, שניהם עוברים ב־(0, 1) (סגול)

2. אסימפטוטות

📐 אנכית

ההפך מתחום ההגדרה: המכנה = 0

אם גם המונה מתאפס שם ← חור, לא אסימפטוטה

📐 אופקית

בודקים כל צד בנפרד: x → ∞ (ימין) ו־x → −∞ (שמאל)

e^∞ → ∞ · e^−∞ = 1e^∞ → 0

שתי דרכים מהשיעורים: הצבת מספרים (שני חיוביים גדולים ושני שליליים) או שאיפה לאינסוף ולמינוס אינסוף.

דוגמה (שיעור 6): y = 3e^x + 1
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

y = 3e^x + 1 (כחול), אסימפטוטות y = 3 בשמאל ו־y = 0 בימין (תכלת), חיתוך עם ציר y (0, 1.5) (סגול)

3. נגזרת ומשוואת משיק

📐 נגזרת של e

(e^x)' = e^x

(e^f(x))' = f'(x)·e^f(x)

גוזרים את החזקה, שמים לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים

📐 מכפלה ומנה

(f·g)' = f'·g + g'·f · (fg)' = f'·g − g'·fg²

📐 משוואת משיק

m = f'(x₁) · y₁ = f(x₁)

y − y₁ = m(x − x₁)

דוגמה: f(x) = e^2x ב־x = 0
y₁ = e⁰ = 1 · f'(x) = 2e^2x ← m = 2
y − 1 = 2(x − 0) ← y = 2x + 1

🔹 שיפוע נתון? משווים את הנגזרת לשיפוע ומוצאים את x של נקודת ההשקה (בסיסים שווים ← חזקות שוות).

f(x) = e^2x (כחול) והמשיק y = 2x + 1 (ירוק חזק) בנקודה (0, 1) (סגול)

4. נקודות קיצון וחקירה

גוזרים (מכפלה או מנה), ומוציאים גורם משותף e^□.
משווים ל־0. מותר לחלק ב־e^□, ורושמים e^□ ≠ 0. במנה משווים רק את המונה.
טבלה: הסימן של הנגזרת נקבע רק לפי מה שנשאר בסוגריים.
מציבים בפונקציה ומוצאים את ה־y.

דוגמה (בגרות קיץ 2023): f(x) = e^x(e^x − 6)²
f'(x) = e^x(e^x − 6)² + e^x·2(e^x − 6)·e^x
= e^x(e^x − 6)(3e^x − 6) = 0
e^x = 6 ← x = ln 6 · e^x = 2 ← x = ln 2

x	0	ln 2	1	ln 6	2
f′	+	0	−	0	+
f	↗	מקסימום	↘	מינימום	↗

f(x) = e^x(e^x − 6)² (כחול): מקסימום (ln 2, 32), מינימום (ln 6, 0), חיתוך עם ציר y (0, 25) (סגול), ובשמאל אסימפטוטה y = 0

🔹 פרמטר: נתון x של נקודת קיצון ← גוזרים, משווים ל־0 ומציבים את ה־x.
🔹 f(x) + c מזיזה את הגרף למעלה או למטה. −f(x) הופכת סביב ציר x: מקסימום ← מינימום.

5. אינטגרל ושטח

📐 אינטגרל של e

∫ e^x dx = e^x + c

∫ e^mx+n dx = e^mx+nm + c

מעתיקים את ה־e ומחלקים בנגזרת של החזקה. מספר בכפל נשאר

📐 שטח בין גרפים

S = ∫_a^b (y₁ − y₂) dx

העליון פחות התחתון, בין הגבולות

דוגמה: השטח בין y = e^x, הישר y = e וציר y
הגבולות: e^x = e ← x = 1
S = ∫₀¹ (e − e^x) dx = [ex − e^x]₀¹
= (e − e) − (0 − 1) = 1

🔹 בהצבת 0: e⁰ = 1, לא מתבטל!
🔹 e הוא מספר: ∫ e dx = ex. מוצאים את f(x) מהנגזרת באינטגרל, ואת c מנקודה על הגרף.

y = e^x (כחול), הישר y = e (ירוק חזק), השטח ביניהם וציר y הוא 1 (ירוק), נקודת החיתוך (1, e) (סגול)

6. הרכבה: e^g(x)

📐 הנגזרת

f'(x) = g'(x)·e^g(x)

נשאר כמו ב־g(x)	תחום ההגדרה, ה־x של נקודות הקיצון וסוגן, תחומי עלייה וירידה
משתנה	ה־y נהיה e^y, והגרף תמיד מעל ציר x

דוגמה: g(x) = x² − 2x, מינימום (1, −1)
f(x) = e^g(x) ← מינימום ב־x = 1, y = e⁻¹ ≈ 0.37

g(x) = x² − 2x (תכלת, מקווקו) ו־f(x) = e^g(x) (כחול): אותו x של המינימום, (1, −1) הופך ל־(1, 0.37) (סגול)

✔️ סדר חקירת פונקציית e

תחום הגדרה (רק מכנה ≠ 0)
נקודות חיתוך עם הצירים: ציר y x = 0 · ציר x y = 0 (זכרו: e^□ ≠ 0)
אסימפטוטות: אנכית (מכנה = 0), אופקית בכל צד
נקודות קיצון וסוגן: גוזרים, = 0, טבלה
תחומי עלייה וירידה
סקיצה
שטח: גבולות, העליון פחות התחתון

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא חקירת פונקציית e, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←

מתמטריק · eldadh.co.il

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית e

1. תחום הגדרה ומשוואות עם e

2. אסימפטוטות

3. נגזרת ומשוואת משיק

4. נקודות קיצון וחקירה

5. אינטגרל ושטח

6. הרכבה: eg(x)

✔️ סדר חקירת פונקציית e

📚 עוד דוגמאות פתורות

6. הרכבה: e^g(x)