חזקה של חזקה, חזקה של מכפלה וחזקה של שבר
חזקה של חזקה – כופלים את המעריכים; חזקה של מכפלה – החזקה נכנסת לכל גורם; חזקה של שבר – החזקה נכנסת למונה ולמכנה. בעמוד הזה: שלושת החוקים ודוגמאות פתורות, כולל תרגיל משולב.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס החזקות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- החוקים 4, 5, 6
- דוגמה: חזקה של חזקה
- דוגמה: חזקה של מכפלה
- דוגמה: חזקה של שבר
- תרגיל: מספרים
- תרגיל משולב עם אותיות
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
חוקי החזקות
חוק 1 – כפל חזקות עם אותו בסיס:
an · am = an+m
חוק 2 – חילוק חזקות עם אותו בסיס:
anam = an−m
חוק 3 – חזקה 0:
a0 = 1
חוק 4 – חזקה של חזקה:
(an)m = an·m
חוק 5 – חזקה של מכפלה:
(a · b)n = an · bn
חוק 6 – חזקה של שבר:
(ab)n = anbn
חזקה של חזקה, של מכפלה ושל שבר
- חזקה של חזקה ← כופלים את המעריכים.
- חזקה של מכפלה ← החזקה נכנסת לכל גורם.
- חזקה של שבר ← החזקה נכנסת גם למונה וגם למכנה.
דוגמה 1: חזקה של חזקה
חשבו:
(32)3 · (33)4(36)3
פתרון שלב אחר שלב
לפי חוק מספר 4 כופלים את המעריכים בכל סוגריים:
(32)3 · (33)4(36)3 = 36 · 312318
במונה הבסיסים שווים, לפי חוק מספר 1 מחברים את המעריכים:
= 36+12318 = 318318
לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
= 318−18 = 30
לפי חוק מספר 3, חזקה 0 שווה 1:
30 = 1
תשובה: 1
דוגמה 2: חזקה של מכפלה
פשטו:
(x · y)3 · (y · x)2
פתרון שלב אחר שלב
החזקה 3 נכנסת גם ל־x וגם ל־y, והחזקה 2 נכנסת גם ל־y וגם ל־x:
(x · y)3 = x3 · y3
(y · x)2 = y2 · x2
x3 · y3 · y2 · x2
לפי חוק מספר 1, בכל בסיס מחברים את המעריכים:
x3 · x2 = x3+2 = x5
y3 · y2 = y3+2 = y5
= x5 · y5
תשובה: x5 · y5
דוגמה 3: חזקה של שבר
חשבו:
(12)2 · (12)3
פתרון שלב אחר שלב
לפי חוק מספר 6, מכניסים את החזקה גם למונה וגם למכנה:
= 1222 · 1323
אחד בחזקת כל מספר שווה אחד:
12 = 1 · 1 = 1
13 = 1
מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:
= 1 · 122 · 23
במכנה, לפי חוק מספר 1, מחברים את המעריכים:
22 · 23 = 22+3 = 25
= 125
אפשר להשאיר כך, או לחשב:
25 = 32
= 132
תשובה: 132
תרגיל: חזקה של מכפלה ושל חזקה
חשבו:
(3 · 5)3 · 32 · 5(52)2 · 32
פתרון שלב אחר שלב
במונה, לפי חוק מספר 5, החזקה 3 נכנסת גם ל־3 וגם ל־5:
(3 · 5)3 = 33 · 53
את 32 · 5 מעתיקים.
במכנה, לפי חוק מספר 4, כופלים את המעריכים:
(52)2 = 52·2 = 54
את 32 מעתיקים.
= 33 · 53 · 32 · 5154 · 32
אם לא כתוב כלום מעל ה־5, החזקה היא 1.
במונה, לפי חוק מספר 1, כפל הופך לחיבור:
33 · 32 = 33+2 = 35
53 · 51 = 53+1 = 54
במכנה מסדרים כך שה־3 יהיה מתחת ל־3 וה־5 מתחת ל־5:
= 35 · 5432 · 54
לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
3532 = 35−2 = 33
5454 = 54−4 = 50
= 33 · 50
לפי חוק מספר 3, חזקה 0 שווה 1:
50 = 1
= 33 · 1 = 33
33 = 3 · 3 · 3 = 27
תשובה: 27
תרגיל משולב עם אותיות
פשטו:
(a4)2 · (b2)3 · b2(a2)4 · b8
פתרון שלב אחר שלב
לפי חוק מספר 4, חזקה של חזקה, כופלים את המעריכים:
(a4)2 = a4·2 = a8
(b2)3 = b2·3 = b6
(a2)4 = a2·4 = a8
את b2 במונה ואת b8 במכנה מעתיקים:
= a8 · b6 · b2a8 · b8
במונה, לפי חוק מספר 1 (כפל הופך לחיבור):
b6 · b2 = b6+2 = b8
= a8 · b8a8 · b8
אפשר לרשום את זה ככפל של שני תרגילי חילוק:
= a8a8 · b8b8
לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
a8−8 = a0
b8−8 = b0
= a0 · b0
לפי חוק מספר 3, חזקה 0 שווה 1:
= 1 · 1 = 1
שימו לב: כבר בשלב a8 · b8a8 · b8 אפשר לרשום מיד 1, כי זה אותו מספר חלקי אותו מספר.
תשובה: 1
טעויות נפוצות
- לחבר מעריכים בחזקה של חזקה: (22)3 = 26, לא 25.
- להכניס את החזקה רק לגורם הראשון: (2 · 4)2 = 22 · 42.
- בחזקה של שבר – להעלות בחזקה רק את המונה.
שאלות נפוצות
מה עושים בחזקה של חזקה?
כופלים את המעריכים: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ, למשל (2²)³ = 2⁶.
מה זה חזקה של מכפלה?
החזקה נכנסת לכל אחד מהגורמים: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
איך מעלים שבר בחזקה?
מעלים בחזקה גם את המונה וגם את המכנה: (2/3)² = 4/9.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס החזקות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- כפל וחילוק חזקות
- חזקה שלילית
- סיכום ונוסחאות – חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות
- עוד דוגמאות פתורות – חוקי חזקות
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: חוקי החזקות – כפל, חילוק וחזקה 0 | הבא: חזקה שלילית ←
