שאלת טריגונומטריה לבגרות 471 – פתרון מלא
שאלת טריגונומטריה לבגרות 471 – שטח בעזרת סינוס, מציאת זווית, משפט הקוסינוסים ומשפט הסינוסים, סעיף אחרי סעיף. בעמוד הזה: איזה כלי לבחור בכל סעיף, ושאלה פתורה במלואה – מקבילית מבגרות 2018 א, מותאמת לשאלון 471 – עם נימוק לכל שורה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- מה יש בשאלת טריגונומטריה
- איזה כלי לבחור
- שאלה פתורה: מקבילית (בגרות 2018 א, מותאמת לשאלון 471)
- עוד שאלות פתורות בקורס
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
הנוסחאות של השאלה
S = 12 · b · c · sin α
asin α = bsin β = 2R
c² = a² + b² − 2ab · cos γ
ובמשולש ישר זווית – sin, cos, tan ופיתגורס.
מה יש בשאלת טריגונומטריה
שאלת הטריגונומטריה בבגרות 471 בנויה בדרך כלל על צורה – משולש, מקבילית, טרפז או משולש חסום במעגל – ובה כמה סעיפים: הבעת שטח באמצעות זווית, מציאת זווית מתוך השטח, אורך צלע או אלכסון, ובסוף זווית או רדיוס. כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם.
איזה כלי לבחור
| מה ידוע | הכלי |
|---|---|
| משולש ישר זווית | sin, cos, tan |
| שתי צלעות והזווית שביניהן – שטח | נוסחת השטח |
| שתי צלעות והזווית שביניהן – צלע שלישית | משפט הקוסינוסים |
| צלע והזווית שמולה | משפט הסינוסים |
| מעגל חוסם | 2R |
שאלה פתורה: מקבילית (בגרות 2018 א, מותאמת לשאלון 471)
ABCD מקבילית. AB = 15, BC = 10, ∢DAB = α (α < 90°). הנקודה E על המשך האלכסון BD כך ש־ED = DB.
סעיף א: הביעו באמצעות α את שטח המשולש BAD
AD = BC = 10 ← במקבילית צלעות נגדיות שוות
SBAD = 12 · 10 · 15 · sin α
← נוסחת השטח: α כלואה בין הצלעות 10 ו־15
SBAD = 75 · sin α
← 12 · 150 = 75
תשובה: S = 75 sin α
סעיף ב: נתון ששטח המקבילית 75√3. חשבו את α
△ABD ≅ △CDB ← האלכסון חוצה את המקבילית לשני משולשים חופפים
SBAD = 75√32
← שטח המשולש הוא חצי משטח המקבילית
75 · sin α = 75√32
← משווים לסעיף א
sin α = √32
← נצמצם ב־75
α = sin−1(√32) = 60°
תשובה: α = 60°
סעיף ג: חשבו את אורך האלכסון BD
במשולש ABD ידועות שתי צלעות והזווית 60° שביניהן – משפט הקוסינוסים:
BD² = 10² + 15²
− 2 · 10 · 15 · cos60°
BD² = 100 + 225 − 300 · 12 = 175
← cos60° = 12
BD = √175 = √(25 · 7) = 5√7
← שורש ופירוק השורש. במחשבון: 13.23
תשובה: BD = 5√7
סעיף ד: חשבו את ∢ABE
E על המשך BD, ולכן ∢ABE = ∢ABD. במשולש ABD: הצלע 10 (AD) מול ∢ABD, והצלע 5√7 מול 60°. משפט הסינוסים:
10sin∢ABD = 5√7sin60°
sin∢ABD = 10 · sin60°5√7
← כפל בהצלבה ומחלקים ב־5√7
sin∢ABD = 10 · √32 · 5√7 = √3√7
← sin60° = √32, ונצמצם ב־10
∢ABD = sin−1(√3√7) = 40.89°
← SHIFT sin. הזווית חדה, כי היא מול הצלע הקצרה (10 < 15)
תשובה: ∢ABE = 40.89°
עוד שאלות פתורות בקורס
בקורס הטריגונומטריה יש פתרון מלא, שורה אחרי שורה, לשאלות מבגרויות קודמות שהותאמו לשאלון 471:
- שיעור 19: פתרון בגרות 2017 ב – מותאם לשאלון 471
- שיעור 20: פתרון בגרות 2017 – מותאם לשאלון 471
- שיעור 21: פתרון בגרות 2018 א – מותאם לשאלון 471
- שיעור 22: פתרון בגרות 2019 ב – מותאם לשאלון 471
- שיעור 23: פתרון בגרות 2021 חורף – מותאם לשאלון 471
טעויות נפוצות
- לא לקחת את התוצאה של סעיף קודם – הסעיפים בנויים זה על זה.
- בנוסחת השטח – להציב זווית שאינה כלואה בין הצלעות.
- לעגל באמצע: BD = 13.23 במקום 5√7 משנה את הסעיף הבא.
- לשכוח לבדוק שהזווית מתאימה לשרטוט (חדה או קהה).
שאלות נפוצות
מה מופיע בשאלת טריגונומטריה בבגרות 471?
בדרך כלל צורה – משולש, מקבילית, טרפז או משולש חסום במעגל – עם סעיפים של שטח בעזרת סינוס, מציאת זווית, אורך צלע במשפט הקוסינוסים או הסינוסים, ורדיוס המעגל החוסם.
מתי משתמשים במשפט הסינוסים ומתי במשפט הקוסינוסים?
משפט הסינוסים – כשידועה צלע והזווית שמולה. משפט הקוסינוסים – כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות.
איך מוצאים זווית מתוך שטח?
מציבים בנוסחה S = ½·b·c·sinα את השטח ואת שתי הצלעות, מבודדים את sin α ועושים SHIFT sin.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
