חפיפת משולשים – 4 משפטי החפיפה

משפטי חפיפת משולשים הם הכלי המרכזי להוכחות בגאומטריה של בגרות 471: מוכיחים ששני משולשים חופפים, ומקבלים מזה שקטעים או זוויות שווים. בעמוד הזה: ארבעת המשפטים – צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ וצ.צ.ז – איך כותבים הוכחה שורה אחרי שורה, ותרגילים פתורים עם משוואות.

בעמוד הזה:

1. מה זה משולשים חופפים
2. 4 משפטי החפיפה
3. איך כותבים הוכחת חפיפה
4. דוגמה: צ.ז.צ עם זוויות קדקודיות
5. דוגמה: ז.צ.ז ומשוואה
6. דוגמה: צ.צ.צ ומשוואה
7. דוגמה: צ.צ.ז – למה חשובה הצלע הגדולה
8. טעויות נפוצות
9. שאלות נפוצות

מה זה משולשים חופפים

שני משולשים חופפים אם יש להם אותה צורה ואותו גודל – אפשר להניח אחד על השני כך שיתלכדו. כותבים △ABC ≅ △DEF, והסדר חשוב: A מתאים ל־D, B ל־E, C ל־F.

למה זה שימושי? כשהוכחנו חפיפה מקבלים "בחינם" את כל השאר: במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות. כך מוכיחים ששני קטעים שווים, ששתי זוויות שוות, שקטע הוא תיכון או גובה, ושישרים מקבילים.

4 משפטי החפיפה

• צ.ז.צ – שתי צלעות והזווית שביניהן. למשל AB = DE, ∢B = ∢E, BC = EF.
• ז.צ.ז – שתי זוויות והצלע שביניהן. למשל ∢B = ∢E, BC = EF, ∢C = ∢F.
• צ.צ.צ – שלוש צלעות שוות. ואז גם כל הזוויות המתאימות שוות.
• צ.צ.ז – שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן. מקרה חשוב: במשולשים ישרי זווית – יתר וניצב שווים מספיקים, כי הזווית הישרה נמצאת מול היתר, שהוא הצלע הגדולה.

איך כותבים הוכחת חפיפה

1. כותבים את שני המשולשים שמשווים.
2. שלוש שורות – כל שורה טענה ונימוק: "נתון", "צלע משותפת", "זוויות קדקודיות", "חוצה זווית"…
3. כותבים את החפיפה עם שם המשפט: △ABC ≅ △ADC ← צ.ז.צ.
4. מסיקים: "במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות".

שני "מקורות" שקל לפספס: צלע משותפת לשני המשולשים (AC = AC), וזוויות קדקודיות בנקודה שבה הקטעים נחתכים.

דוגמה: צ.ז.צ עם זוויות קדקודיות

הקטעים AB ו־CD נחתכים בנקודה O, ו־O אמצע של שניהם. הוכיחו: AC = BD ו־AC ∥ BD.

דוגמה: ז.צ.ז ומשוואה

נתון: ∢B = ∢E, BC = EF, ∢C = ∢F, AB = 3y − 1, DE = 2y + 4. מצאו את y ואת AB.

דוגמה: צ.צ.צ ומשוואה

נתון: AB = DE, BC = EF, AC = DF, ∢E = 50°, ∢A = 2x + 10, ∢D = 3x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש ABC.

דוגמה: צ.צ.ז – למה חשובה הצלע הגדולה

נתון: AB = DE = 8, AC = DF = 5, ∢C = ∢F = 70°, ∢A = 3x + 2, ∢D = 2x + 26. מצאו את x, ∢A ו־∢B.

טעויות נפוצות

• לכתוב את המשולשים לא לפי הסדר המתאים (△ABC ≅ △EDF) – ואז "צלעות מתאימות" יוצאות לא נכונות.
• צ.ז.צ עם זווית שלא נמצאת בין שתי הצלעות. זה לא משפט חפיפה.
• צ.צ.ז עם הזווית שמול הצלע הקטנה – זה לא מספיק.
• להשתמש ב"ז.ז.ז" – שלוש זוויות שוות נותנות דמיון, לא חפיפה.
• לשכוח את הצלע המשותפת או את הזוויות הקדקודיות.

שאלות נפוצות

מה הם 4 משפטי החפיפה?

צ.ז.צ (שתי צלעות והזווית שביניהן), ז.צ.ז (שתי זוויות והצלע שביניהן), צ.צ.צ (שלוש צלעות) וצ.צ.ז (שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן).

למה צריך לכתוב את המשולשים החופפים לפי הסדר?

כי הסדר אומר איזה קדקוד מתאים לאיזה. מהחפיפה מסיקים שצלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות, ולכן הסדר צריך להיות נכון.

האם שלוש זוויות שוות מוכיחות חפיפה?

לא. שלוש זוויות שוות מראות שהמשולשים דומים – אותה צורה, אבל לא בהכרח אותו גודל.

עוד באתר

• משולש שווה שוקיים
• תיכון, גובה וחוצה זווית
• דמיון משולשים
• שאלות בגרות 471 לפי נושא – אנליטית + גאומטריה
• בגרות 471 – כל הנושאים

→ הקודם: משולש שווה שוקיים – תכונות והוכחות  |  הבא: תיכון, גובה וחוצה זווית במשולש ←