הסתברות מותנית 5 יחידות
הסתברות מותנית ב־5 יחידות היא חלק כמעט קבוע בשאלת ההסתברות של שאלון 571. בעמוד הזה: הכלל של "ידוע", שלושה צעדים, ושלוש דוגמאות פתורות שלב אחר שלב – מהשיעור בקורס ומבגרויות 571 (2024 ו־2026), כולל טבלה עם נעלם ומותנית שנותנת משוואה ריבועית.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.
בעמוד הזה:
- מתי זו הסתברות מותנית
- שלושה צעדים
- דוגמה: כדורים עם החזרה
- בגרות 571: טבלה עם נעלם p
- בגרות 571: מותנית שנותנת משוואה
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
הסתברות מותנית
P(A|B) = P(A∩B)P(B)
מה שידוע – הולך למכנה, מה שרוצים – הולך למונה.
- P(A|B) – ההסתברות ל־A כשידוע ש־B קרה.
- P(A∩B) – ההסתברות ש"גם A וגם B" קרו.
מתי זו הסתברות מותנית
בשאלון 571 ההסתברות המותנית מופיעה כמעט בכל שאלת הסתברות, בדרך כלל בסעיף האחרון. המילים שמסמנות אותה:
- "ידוע ש…" / "אם ידוע ש…" – מה שאחרי "ידוע" הוא B, והוא הולך למכנה.
- "מבין…" / "מתוך…" – למשל "מבוגר ששולט באנגלית מבין כל המבוגרים": המכנה הוא כל המבוגרים.
- בשאלות 5 יחידות לפעמים ההסתברות המותנית נתונה, ואז בונים ממנה משוואה ומוצאים נעלם (דוגמה 3).
שלושה צעדים
- מכנה – מה שידוע. רושמים את כל האפשרויות של מה שידוע ("או" ← חיבור) ומחשבים.
- מונה – מה שרוצים. מתוך מה שבמכנה לוקחים רק את מה ששואלים עליו. המונה תמיד חלק מהמכנה.
- מחלקים. חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך, ובסוף מצמצמים.
דוגמה: כדורים עם החזרה
השאלה (מהשיעור "הסתברות מותנית" בקורס ההסתברות 571): בכד יש 8 כדורים צהובים, 7 כדורים שחורים ו־5 כדורים ירוקים. מוציאים באקראי כדור, מחזירים אותו לכד, ושוב מוציאים כדור.
א. מה ההסתברות ששני הכדורים צהובים?
פתרון שלב אחר שלב
סך הכול 8 + 7 + 5 = 20 כדורים. ההסתברות לכל צבע:
צהוב: 820 = 25
(נצמצם ב־4)
שחור: 720
ירוק: 520 = 14
(נצמצם ב־5)
"גם צהוב בפעם הראשונה וגם צהוב בפעם השנייה" ← כפל. מחזירים את הכדור, לכן ההסתברות לא משתנה:
25 · 25 = 425
תשובה: 425
ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?
פתרון שלב אחר שלב
"באותו צבע" = צהוב־צהוב או שחור־שחור או ירוק־ירוק ← חיבור:
שחור־שחור: 720 · 720 = 49400
ירוק־ירוק: 14 · 14 = 116
מכנה משותף 400: 425 = 64400, 116 = 25400.
64400 + 49400 + 25400
= 138400 = 69200
(נצמצם ב־2)
תשובה: 69200
ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות ששניהם צהובים?
פתרון שלב אחר שלב
המילה "ידוע" ← הסתברות מותנית.
מכנה – מה שידוע: שני הכדורים באותו צבע = 69200 (סעיף ב).
מונה – מה שרוצים: מתוכם, שניהם צהובים = 425 (סעיף א).
P = 42569200
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:
425 · 20069 = 8001725
נצמצם ב־25 (800 : 25 = 32, 1725 : 25 = 69):
8001725 = 3269
תשובה: 3269
בגרות 571: טבלה עם נעלם p
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2024 מועד ב – שאלה קצרה): כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4 ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. 89 מן המועמדים שהצליחו במבחן השני הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.
א. הביעו באמצעות p את ההסתברות שמועמד הצליח לפחות במבחן אחד.
פתרון שלב אחר שלב
בונים טבלה דו־ממדית: מבחן I בעמודות, מבחן II בשורות.
- הצליח רק בראשון (הצליח ב־I, נכשל ב־II): p.
- הצליח בשניהם – גדול פי 4: 4p.
נסמן ב־X את כל מי שהצליח במבחן II. נתון ש־89 מהם הצליחו גם ב־I, כלומר הם 4p:
89 · X = 4p
כפל בהצלבה:
8X = 36p
X = 36p8 = 9p2
(נצמצם ב־4)
נכשל ב־I והצליח ב־II:
9p2 − 4p = 9p2 − 8p2 = p2
| הצליח במבחן I | נכשל במבחן I | סה"כ | |
|---|---|---|---|
| הצליח במבחן II | 4p | p2 | 9p2 |
| נכשל במבחן II | p | ||
| סה"כ | 5p | 1 |
"לפחות במבחן אחד" = שלוש המשבצות שאינן "נכשל בשניהם":
4p + p + p2 = 11p2
תשובה: 11p2
ב. ידוע שנבחר מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד. מה ההסתברות שהוא הצליח בשני המבחנים?
פתרון שלב אחר שלב
מכנה – מה שידוע: הצליח לפחות במבחן אחד = 11p2.
מונה – מה שרוצים: הצליח בשניהם = 4p.
P = 4p11p2
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:
4p · 211p = 8p11p
נצמצם ב־p (מותר, כי p ≠ 0):
8p11p = 811
ה־p מצטמצם, והתשובה יוצאת מספר – זה קורה הרבה בשאלות 571.
תשובה: 811
בגרות 571: מותנית שנותנת משוואה
השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2026 מועד חורף – שאלה קצרה): יאיר ונדב משחקים שחמט. כל משחק נגמר בניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. ההסתברות שיאיר ינצח גדולה פי 2 מההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־p את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. הם משחקים שני משחקים.
(1) הביעו באמצעות p את ההסתברות שאחד השחקנים ישיג שני ניצחונות.
פתרון שלב אחר שלב
במשחק אחד: נדב מנצח p, יאיר מנצח 2p.
נדב פעמיים: p · p = p2
יאיר פעמיים: 2p · 2p = 4p2
נדב או יאיר ← חיבור:
p2 + 4p2 = 5p2
תשובה: 5p2
(2) ידוע שאם אף שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות ששני המשחקים יסתיימו בתיקו היא 155. איזה ערך של p מתאים: 18, 925 או 310?
פתרון שלב אחר שלב
כאן ההסתברות המותנית נתונה, ובונים ממנה משוואה.
מכנה – מה שידוע: אף שחקן לא השיג 2 ניצחונות = המשלים של סעיף (1):
1 − 5p2
מונה – מה שרוצים: שני המשחקים בתיקו. תיקו במשחק אחד = 1 − p − 2p = 1 − 3p, ולכן בשניהם:
(1 − 3p)2
(כששני המשחקים בתיקו, ודאי שאף אחד לא השיג 2 ניצחונות – לכן המונה הוא חלק מהמכנה)
(1 − 3p)21 − 5p2 = 155
כפל בהצלבה:
55(1 − 3p)2 = 1 − 5p2
פותחים סוגריים ((a − b)2 = a2 − 2ab + b2):
55(1 − 6p + 9p2) = 1 − 5p2
55 − 330p + 495p2
= 1 − 5p2
מעבירים אגף ומכנסים:
500p2 − 330p + 54 = 0
נצמצם ב־2:
250p2 − 165p + 27 = 0
לפי נוסחת השורשים:
p = 165 ± √(1652 − 4 · 250 · 27)2 · 250
= 165 ± √(27225 − 27000)500
= 165 ± √225500 = 165 ± 15500
p = 180500 = 925
(נצמצם ב־20)
p = 150500 = 310
(נצמצם ב־50)
בודקים כל פתרון. אם p = 925, אז יאיר מנצח ב־1825, וביחד 925 + 1825 = 2725 – יותר מ־1. לא ייתכן, נפסל.
אם p = 310: נדב 310, יאיר 610, תיקו 110. כל ההסתברויות בין 0 ל־1 וסכומן 1 ✓
בדיקה: מונה (110)2 = 1100, מכנה 1 − 5 · 9100 = 55100, ו־1100 · 10055 = 155 ✓
תשובה: p = 310
שימו לב: 925 הוא בדיוק אחד הפתרונות של המשוואה – לכן הוא מופיע באפשרויות. רק הבדיקה פוסלת אותו.
טעויות נפוצות
- להפוך מונה ומכנה. מה שאחרי "ידוע" – תמיד במכנה.
- לשים במונה רק את מה ששואלים, בלי לבדוק שהוא בתוך מה שידוע. המונה הוא "גם מה שרוצים וגם מה שידוע".
- לחשב את המכנה ארוך כשיש משלים קצר: "הצליח לפחות במבחן אחד" = 1 פחות "נכשל בשניהם".
- לשכוח לבדוק פתרונות של משוואה ריבועית: כל הסתברות בין 0 ל־1, וסכום כל התוצאות 1.
שאלות נפוצות
איך יודעים מה הולך למכנה בהסתברות מותנית?
מה שידוע – הולך למכנה, מה שרוצים – הולך למונה. מה שכתוב אחרי המילה "ידוע" או אחרי "מבין" הוא המכנה.
למה בשאלות 571 הנעלם p מצטמצם בהסתברות מותנית?
כי גם המונה וגם המכנה הם ביטויים עם p, למשל 4p חלקי 11p/2. מצמצמים ב־p ומקבלים מספר, כאן 8/11.
מה עושים כשההסתברות המותנית נתונה בשאלה?
רושמים מונה חלקי מכנה עם הנעלם, משווים לנתון ופותרים את המשוואה. בסוף בודקים שכל ההסתברויות בין 0 ל־1.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.