עץ הסתברות עם נעלם – 5 יחידות

עץ הסתברות עם נעלם הוא אחד מסוגי השאלות הנפוצים בשאלון 571 (5 יחידות). בעמוד הזה: איך רושמים ענפים עם x או P, איך משלימים צומת ל־1, ושלוש דוגמאות פתורות – מהשיעור בקורס ומבגרויות 571 (2023 ו־2024), כולל משוואה ריבועית והסתברות מותנית מתוך העץ.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

בעמוד הזה:

איך בונים עץ עם נעלם
דוגמה: x גברים ו־2x נשים
בגרות 571: נעלם P ומשוואה ריבועית
בגרות 571: עץ בלי החזרה ומותנית
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

עץ הסתברות עם נעלם

לאורך ענף ("וגם") ← כפל.
בין ענפים ("או") ← חיבור.
בכל צומת סכום הענפים הוא 1, ולכן הענף המשלים הוא 1 − (ענף נתון) – עם סוגריים.
משווים את הביטוי לנתון שבשאלה, פותרים, ובודקים שכל הסתברות בין 0 ל־1.

איך בונים עץ עם נעלם

בשאלון 571 העץ כמעט תמיד מגיע עם נעלם: מספר כדורים או אנשים (x), או הסתברות לא ידועה (P). השלבים:

רושמים על כל ענף את ההסתברות שלו בעזרת הנעלם. בבלי החזרה – בבחירה השנייה הסך הכול קטן ב־1, וגם הסוג שנבחר קטן ב־1.
משלימים כל צומת ל־1: אם ענף אחד הוא P + 310, השני הוא 1 − (P + 310).
מסמנים את הענפים שמתאימים לנתון, כופלים לאורך כל ענף ומחברים.
משווים לנתון, פותרים, ובודקים את התנאים (למשל P > 12).

דוגמה: x גברים ו־2x נשים

השאלה (מהשיעור "עץ ונעלמים ומותנית" בקורס ההסתברות 571): בחדר יש x גברים ו־2x נשים. בוחרים באקראי שני אנשים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות שאחד מהם גבר והאחר אישה היא 12.

א. חשבו את x.

פתרון שלב אחר שלב

סך הכול x + 2x = 3x אנשים. בחירה ראשונה:

גבר: x3x = 13

אישה: 2x3x = 23

(נצמצם ב־x.)

בחירה שנייה – בלי החזרה: נשארו 3x − 1 אנשים, ומהמין שנבחר – אחד פחות.

הענף	בחירה ראשונה	בחירה שנייה
גבר ואז אישה	13	2x3x − 1
אישה ואז גבר	23	x3x − 1

"אחד גבר ואחד אישה" = גבר־אישה או אישה־גבר. לאורך ענף כפל, בין הענפים חיבור:

13 · 2x3x − 1 = 2x9x − 3

23 · x3x − 1 = 2x9x − 3

מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה. אותו מכנה ← מחברים מונים:

2x9x − 3 + 2x9x − 3 = 4x9x − 3

4x9x − 3 = 12

כפל בהצלבה:

8x = 9x − 3

x = 3

בדיקה: 3 גברים ו־6 נשים, 39 · 68 + 69 · 38 = 3672 = 12 ✓

תשובה: x = 3

ב. ידוע שהאדם השני שנבחר הוא אישה. מה ההסתברות שגם הראשון אישה?

פתרון שלב אחר שלב

מציבים x = 3: 3 גברים, 6 נשים, אחרי בחירה אחת נשארים 8.

אישה־אישה: 69 · 58 = 3072

גבר־אישה: 39 · 68 = 1872

מה שידוע – הולך למכנה: השני אישה = אישה־אישה או גבר־אישה:

3072 + 1872 = 4872

מה שרוצים – הולך למונה: מתוכם, גם הראשון אישה = אישה־אישה 3072.

30724872 = 3048

(אותו מכנה 72 מצטמצם.) נצמצם ב־6:

3048 = 58

תשובה: 58

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 21 – עץ ונעלמים ומותנת · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: נעלם P ומשוואה ריבועית

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2023 מועד ב – סעיפים א, ב): כדי להתקבל לפקולטה מועמד נבחן בשני מבחנים. ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא P (P > 0.5). אם הצליח בראשון – ההסתברות להצליח בשני היא P + 0.3. אם נכשל בראשון – ההסתברות להצליח בשני היא P − 0.1. ההסתברות להצליח בדיוק במבחן אחד היא 940.

א. מצאו את P.

פתרון שלב אחר שלב

בשאלה נתונים עשרוניים. נעביר לשברים: 0.3 = 310, 0.1 = 110, 0.5 = 12.

משלימים כל צומת ל־1:

הצליח ← נכשל: 1 − (P + 310)

= 710 − P

נכשל ← נכשל: 1 − (P − 110)

= 1110 − P

הענף	מבחן I	מבחן II
הצליח־הצליח	P	P + 310
הצליח־נכשל	P	710 − P
נכשל־הצליח	1 − P	P − 110
נכשל־נכשל	1 − P	1110 − P

"בדיוק במבחן אחד" = הצליח־נכשל או נכשל־הצליח:

P(710 − P)

+ (1 − P)(P − 110) = 940

פותחים סוגריים:

7P10 − P² + P − 110

− P² + P10 = 940

מכנסים: 7P10 + P + P10 = 18P10 = 9P5 (נצמצם ב־2):

−2P² + 9P5 − 110 = 940

כופלים את שני האגפים ב־40:

−80P² + 72P − 4 = 9

80P² − 72P + 13 = 0

לפי נוסחת השורשים:

P = 72 ± √(72² − 4 · 80 · 13)2 · 80

= 72 ± √(5184 − 4160)160

= 72 ± √1024160 = 72 ± 32160

P = 104160 = 1320

(נצמצם ב־8)

P = 40160 = 14

(נצמצם ב־40)

נתון P > 12, ולכן P = 14 נפסל.

תשובה: P = 1320

ב. ידוע שמועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מה ההסתברות שהתקבל (הצליח בשני המבחנים)?

פתרון שלב אחר שלב

מציבים P = 1320 בעץ:

P + 310 = 1320 + 620 = 1920

1 − P = 720

1110 − P = 2220 − 1320 = 920

מה שידוע – הולך למכנה: הצליח לפחות במבחן אחד. נוח עם המשלים – 1 פחות "נכשל בשניהם":

1 − 720 · 920 = 1 − 63400

= 337400

מה שרוצים – הולך למונה: הצליח בשניהם:

1320 · 1920 = 247400

247400337400 = 247337

(אותו מכנה 400 מצטמצם. 337 מספר ראשוני, אי אפשר לצמצם)

תשובה: 247337

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 38 – 2023 מועד ב · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

בגרות 571: עץ בלי החזרה ומותנית

השאלה (בגרות 5 יחידות, שאלון 571, 2024 מועד ב – סעיף ד): מהסעיפים הקודמים של השאלה התקבל שמבין 63 התלמידים שאינם מתנדבים, 8 חברים בתנועת נוער ו־55 לא חברים. בוחרים באקראי 3 תלמידים מתוך 63 אלה, בלי החזרה.

(1) מה ההסתברות שהראשון חבר בתנועת נוער, ושני הבאים אינם חברים?

פתרון שלב אחר שלב

ענף אחד, הסדר נתון ← כפל לאורך הענף. בכל בחירה המכנה יורד ב־1, וגם הסוג שנבחר:

863 · 5562 · 5461

= 23760238266

נצמצם ב־18 (23760 : 18 = 1320, 238266 : 18 = 13237):

= 132013237

תשובה: 132013237

(2) ידוע שהראשון אינו חבר. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשלושה חבר?

פתרון שלב אחר שלב

"ידוע שהראשון אינו חבר" – הענף הראשון כבר קרה, ולכן לא כופלים בו. נשארו 62 תלמידים: 8 חברים, 54 לא חברים.

אחד חבר ושניים לא, כשהראשון כבר "לא חבר": החבר הוא השני או השלישי:

חבר, לא חבר: 862 · 5461 = 4323782

לא חבר, חבר: 5462 · 861 = 4323782

4323782 + 4323782 = 8643782

נצמצם ב־2:

= 4321891

תשובה: 4321891

🎬 הסרטון של הדוגמה

שיעור 40 – 2024 מועד ב · הסתברות – שאלון 571

לשיעור המלא בקורס ←

טעויות נפוצות

לשכוח סוגריים בענף המשלים: 1 − (P + 310) ולא 1 − P + 310.
בבלי החזרה – להוריד 1 רק מהמכנה ולשכוח את הסוג שנבחר (6 נשים ← 5 נשים אחרי שנבחרה אישה).
לבחור את שני הפתרונות של המשוואה. תמיד בודקים את התנאי שבשאלה ואת התחום 0 עד 1.
ב"ידוע שהראשון…" – לכפול גם בענף הראשון. הוא כבר ידוע, ולכן לא נכנס לחישוב.

שאלות נפוצות

איך מוצאים נעלם בעץ הסתברות?

רושמים כל ענף בעזרת הנעלם, כופלים לאורך הענפים שמתאימים לנתון, מחברים ביניהם ומשווים להסתברות הנתונה. בסוף בודקים שכל ההסתברויות בין 0 ל־1.

מה ההבדל בעץ בין עם החזרה לבלי החזרה?

עם החזרה ההסתברויות בבחירה השנייה זהות לראשונה. בלי החזרה הסך הכול קטן ב־1, וגם מספר הפריטים מהסוג שנבחר קטן ב־1.

למה יוצאים שני פתרונות ל־P?

כי מקבלים משוואה ריבועית. פוסלים פתרון שלא מקיים את תנאי השאלה (למשל P גדול מחצי) או שנותן הסתברות מחוץ לתחום 0 עד 1.

לקורס ההסתברות המלא – שאלון 571 ←

עוד באתר

→ הקודם: הסתברות מותנית 5 יחידות | הבא: נוסחת ברנולי 5 יחידות – מציאת p ←