שיטת השוואת מקדמים – פתרון מערכת משוואות
שיטת השוואת מקדמים פותרת מערכת של שתי משוואות על ידי חיבור המשוואות, כך שאחד הנעלמים מתבטל. בעמוד הזה: הכלל, השלבים ושלוש מערכות פתורות – מקדמים נגדיים, כפל של משוואה אחת וכפל של שתיהן.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטכניקה האלגברית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- מתי משתמשים
- 4 שלבים
- דוגמה: מקדמים נגדיים
- דוגמה: כופלים משוואה אחת
- דוגמה: כופלים את שתיהן
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
שיטת השוואת מקדמים
A = B , C = D ⟹ A + C = B + D
כשלנעלם אחד יש מקדמים נגדיים (כמו 2y ו־−2y), מחברים את שתי המשוואות – אגף עם אגף – והנעלם הזה מתבטל.
מתי משתמשים בהשוואת מקדמים?
כשהמקדמים כבר נגדיים, או כשקל להפוך אותם לנגדיים על ידי כפל של משוואה (או שתיהן) במספר. כשנעלם אחד כבר מבודד, נוח יותר שיטת ההצבה.
4 שלבים
- משווים מקדמים – כופלים משוואה במספר (את כל האיברים, גם את האגף השני) כך שלאחד הנעלמים יהיו מקדמים נגדיים.
- מחברים את שתי המשוואות: אגף עם אגף.
- פותרים – נשארה משוואה עם נעלם אחד.
- מציבים ובודקים – מציבים במשוואה מקורית, מוצאים את הנעלם השני ובודקים.
דוגמה 1: המקדמים כבר נגדיים
פתרו את מערכת המשוואות:
x + y = 10 (1)
x − y = 4 (2)
פתרון שלב אחר שלב
המקדמים של y הם 1 ו־(−1): הם כבר נגדיים. מחברים את המשוואות:
(x + y) + (x − y) = 10 + 4
2x = 14
מחלקים ב־2:
x = 142 = 7
מציבים x = 7 במשוואה (1):
7 + y = 10
y = 10 − 7 = 3
בדיקה במשוואה (2): 7 − 3 = 4 ✓
תשובה: x = 7 , y = 3
דוגמה 2: כופלים משוואה אחת
פתרו את מערכת המשוואות:
x + 2y = 8 (1)
3x − y = 3 (2)
פתרון שלב אחר שלב
ב־(1) המקדם של y הוא 2 וב־(2) הוא (−1). כופלים את (2) ב־2 כדי לקבל −2y:
2 · (3x − y) = 2 · 3
6x − 2y = 6
מחברים עם משוואה (1): 2y ו־−2y מתבטלים.
(x + 2y) + (6x − 2y) = 8 + 6
7x = 14
מחלקים ב־7:
x = 147 = 2
מציבים x = 2 במשוואה (1):
2 + 2y = 8
2y = 8 − 2 = 6
y = 62 = 3
בדיקה במשוואה (2): 3 · 2 − 3 = 6 − 3 = 3 ✓
תשובה: x = 2 , y = 3
דוגמה 3: כופלים את שתי המשוואות
פתרו את מערכת המשוואות:
3x + 2y = 7 (1)
5x − 3y = 37 (2)
פתרון שלב אחר שלב
המקדמים של y הם 2 ו־(−3). כדי לקבל 6 ו־(−6): כופלים את (1) ב־3 ואת (2) ב־2.
3 · (3x + 2y) = 3 · 7
9x + 6y = 21
2 · (5x − 3y) = 2 · 37
10x − 6y = 74
מחברים את שתי המשוואות החדשות: 6y ו־−6y מתבטלים.
9x + 10x = 21 + 74
19x = 95
מחלקים ב־19:
x = 9519 = 5
מציבים x = 5 במשוואה (1):
3 · 5 + 2y = 7
15 + 2y = 7
2y = 7 − 15 = −8
y = −82 = −4
בדיקה במשוואה (2):
5 · 5 − 3 · (−4) = 25 + 12 = 37 ✓
תשובה: x = 5 , y = −4
טעויות נפוצות
- לכפול במספר רק את האגף עם הנעלמים ולשכוח את האגף השני.
- לחבר משוואות כשהמקדמים שווים (ולא נגדיים) – אז הנעלם לא מתבטל. כופלים קודם משוואה אחת במינוס.
- לעצור אחרי נעלם אחד – מציבים ומוצאים גם את השני.
שאלות נפוצות
מה זו שיטת השוואת מקדמים?
שיטה לפתרון מערכת של שתי משוואות: דואגים שלאחד הנעלמים יהיו מקדמים נגדיים, מחברים את המשוואות והנעלם מתבטל.
מה עושים אם המקדמים לא נגדיים?
כופלים משוואה אחת או את שתיהן במספרים מתאימים, למשל ב־3 וב־2, כדי לקבל 6y ו־−6y.
מה ההבדל בין שיטת ההצבה להשוואת מקדמים?
בהצבה מבודדים נעלם ומציבים אותו; בהשוואת מקדמים מחברים את המשוואות כך שנעלם מתבטל. שתי השיטות נותנות אותה תשובה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטכניקה האלגברית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
→ הקודם: שיטת ההצבה – מערכת משוואות | הבא: הוצאת גורם משותף ←
