מציאת הזמן t בגדילה ודעיכה – בעזרת ln

מציאת הזמן t בגדילה ודעיכה: מציבים בנוסחה, מחלקים ב־M(0) עד שנשאר qt = מספר, ואז t = ln (מספר)ln q. בעמוד הזה: הנוסחה, משוואה מעריכית עם ln ושתי שאלות פתורות.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס גדילה ודעיכה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס גדילה ודעיכה המלא ←

בעמוד הזה:

  1. הנוסחה עם ln
  2. משוואה מעריכית עם ln
  3. דוגמה: מחיר מכונית יורד
  4. דוגמה: מספר תושבים עולה
  5. טעויות נפוצות
  6. שאלות נפוצות

מציאת הזמן t

ax = b  ⟹  x = ln bln a

מציבים בנוסחת הגדילה והדעיכה, מחלקים ב־M(0) עד שנשאר qt = מספר, ואז t = ln (מספר)ln q.

משוואה מעריכית עם ln

מצאו את x: 3x = 81 , 5x = 125

פתרון שלב אחר שלב

לפי הנוסחה ax = b ⟹ x = ln bln a:

x = ln 81ln 3 = 4

בדיקה:

34 = 81 ✓

x = ln 125ln 5 = 3

בדיקה:

53 = 125 ✓

תשובה: x = 4 , x = 3

אפשר לפתור את שתיהן גם בהשוואת בסיסים – ln עוזר כשהמספר הוא לא חזקה "יפה".

דוגמה: מחיר מכונית יורד

מחיר מכונית הוא 150,000 שקלים, וכל שנה המחיר יורד ב־10%. בעוד כמה שנים יהיה המחיר 98,415 שקלים?

פתרון שלב אחר שלב

M(0) = 150000 , M(t)

= 98415 , t = ?

המחיר יורד – דעיכה:

q = 1 − 10100 = 0.9

98415 = 150000 · 0.9t

מחלקים ב־150000:

98415150000 = 0.9t

0.6561 = 0.9t

t = ln 0.6561ln 0.9 = 4

בדיקה:

0.94 = 0.6561 ✓

תשובה: בעוד 4 שנים

דוגמה: מספר תושבים עולה

מספר התושבים בעיר גדל ב־3.1% בשנה. כיום יש בעיר 505,361 תושבים. בעוד כמה שנים יהיו בעיר 571,000 תושבים?

פתרון שלב אחר שלב

זו גדילה של 3.1%, לכן:

q = 1 + 3.1100 = 1.031

571000 = 505361 · 1.031t

מחלקים ב־505361:

571000505361 = 1.031t

t = ln 571000505361ln 1.031

במחשבון, בלי לעגל באמצע הדרך:

t ≈ 4

תשובה: בעוד 4 שנים בערך

טעויות נפוצות

  • לחלק את M(t) ב־q במקום ב־M(0).
  • לעגל באמצע: אם מעגלים את 571000505361 ל־1.129, יוצא 3.974 במקום 4.
  • להפוך מונה ומכנה: t = ln bln a – ה־ln של המספר במונה, ה־ln של q במכנה.

שאלות נפוצות

איך מוצאים את הזמן t בגדילה ודעיכה?

מציבים, מחלקים ב־M(0) עד שנשאר qᵗ = מספר, ואז t = ln(מספר) / ln(q).

מה הנוסחה לפתרון aˣ = b?

x = ln b / ln a.

למה לא לעגל באמצע הדרך?

כי העיגול נכנס ל־ln ומזיז את התוצאה. בדוגמה של העיר עיגול ל־1.129 נותן 3.974 במקום 4.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס גדילה ודעיכה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס גדילה ודעיכה המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: מציאת אחוז הגדילה או הדעיכה  |  הבא: גדילה ודעיכה עם גרף ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות