עוד דוגמאות פתורות – גדילה ודעיכה – בגרות 472

פתרון:
א. רושמים נתונים:
M(0) = 5000 , M(3) = 6655 , t = 3 , q = ?
מציבים בנוסחה: M(t) = M(0) · q^t
6655 = 5000 · q³
מחלקים ב־5000: q³ = 66555000 = 1.331
מוציאים שורש שלישי: q = ³√1.331 = 1.1
q = 1.1 > 1 ← גדילה
1.1 = 1 + p100
מעבירים אגפים: p100 = 1.1 − 1 = 0.1 ← p = 0.1 · 100 = 10
← 10% בכל חודש
ב. מציבים t = 8:
M(8) = 5000 · 1.1⁸ = 5000 · 2.1436 ≈ 10717.9
← 10718 מנויים בערך
ג. מציבים M(t) = 20000 ומוצאים את t:
20000 = 5000 · 1.1^t
מחלקים ב־5000: 1.1^t = 4
t = ln 4ln 1.1 ≈ 1.3860.0953 ≈ 14.55
שואלים מתי לראשונה יותר מ־20000 ← מעגלים כלפי מעלה
בדיקה: M(14) = 5000 · 1.1¹⁴ ≈ 18987 (פחות) , M(15) = 5000 · 1.1¹⁵ ≈ 20886 (יותר)
← 15 חודשים

פתרון:
א. רושמים נתונים:
מתחלקים לשניים ← q = 2
מ־9:00 עד 11:00 עברו שעתיים = 120 דקות. מתחלקים כל 20 דקות ← t = 12020 = 6
M(6) = 51200 , M(0) = ?
מציבים בנוסחה:
51200 = M(0) · 2⁶
51200 = M(0) · 64
מחלקים ב־64: M(0) = 5120064 = 800
← 800 חיידקים בשעה 9:00
ב. מציבים M(t) = 1000000:
1000000 = 800 · 2^t
מחלקים ב־800: 2^t = 1250
t = ln 1250ln 2 ≈ 7.1310.693 ≈ 10.29
החיידקים מתחלקים רק כל 20 דקות, וצריך לראשונה יותר ממיליון ← מעגלים כלפי מעלה: t = 11
בדיקה: M(10) = 800 · 2¹⁰ = 819200 (פחות) , M(11) = 800 · 2¹¹ = 1638400 (יותר)
11 פעמים כל 20 דקות: 11 · 20 = 220 דקות = 3 שעות ו־40 דקות אחרי 9:00
← 12:40

פתרון:
א. רושמים נתונים:
דעיכה ב־12% ← q = 1 − 12100 = 1 − 0.12 = 0.88
M(0) = 150000 , t = 4
מציבים בנוסחה:
M(4) = 150000 · 0.88⁴ = 150000 · 0.5997 ≈ 89954.3
← 89954.3 שקלים בערך
ב. מחצית המחיר: 1500002 = 75000
75000 = 150000 · 0.88^t
מחלקים ב־150000: 0.88^t = 0.5
t = ln 0.5ln 0.88 ≈ −0.693−0.128 ≈ 5.42
שואלים מתי לראשונה פחות ← מעגלים כלפי מעלה
בדיקה: M(5) ≈ 79160 (עוד יותר מ־75000) , M(6) ≈ 69661 (פחות)
← 6 שנים

פתרון:
א. יישוב א׳ – גדילה: q = 1 + 2100 = 1.02
f(t) = 20000 · 1.02^t
יישוב ב׳ – דעיכה: q = 1 − 3100 = 0.97
g(t) = 32000 · 0.97^t
ב. משווים באותו t:
20000 · 1.02^t = 32000 · 0.97^t
מחלקים ב־20000 וב־0.97^t: 1.02^t0.97^t = 3200020000
(1.020.97)^t = 1.6
1.0515^t = 1.6
t = ln 1.6ln 1.0515 ≈ 0.4700.0503 ≈ 9.35
בדיקה: t = 9: f(9) ≈ 23902 , g(9) ≈ 24327 ← ב׳ עוד גדול
t = 10: f(10) ≈ 24380 , g(10) ≈ 23598 ← א׳ גדול
← אחרי 10 שנים: 2025 + 10 = 2035
בתחילת שנת 2035