חקירת y = ln f(x) – פולינום בתוך ה־ln

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

פתרון שלב אחר שלב

א.

−x² + 4x − 3 > 0

משווים ל־0 (במחשבון a = −1 , b = 4 , c = −3): x = 1 , x = 3. פרבולה "בוכה" – מעל ציר x בין 1 ל־3:

1 < x < 3

ב. מה שבתוך ה־ln שווה 0 – פתרנו בסעיף א: x = 1 , x = 3.

ג.

f'(x) = −2x + 4−x² + 4x − 3 = 0

משווים את המונה ל־0:

−2x + 4 = 0

4 = 2x

מחלקים ב־2:

x = 2

f(2) = ln(−4 + 8 − 3)

= ln 1 = 0

סוג – מציבים בכל הנגזרת (גם במכנה):

x = 32 : 134 > 0

x = 52 : −134 < 0

(במכנה: −94 + 6 − 3 = 34 , −254 + 10 − 3 = 34.)

ד. עלייה: 1 < x < 2; ירידה: 2 < x < 3.

ה. הגרף רק בין האסימפטוטות x = 1 ו־x = 3, נצמד אליהן למטה, עם מקסימום (2 , 0) שנוגע בציר x.

תשובה: א. 1 < x < 3 ; ב. x = 1 , x = 3 ; ג. מקסימום (2 , 0)

פתרון שלב אחר שלב

א.

f'(x) = −2x + a−x² + ax = 0

−2x + a = 0

a = 2x

x = a2

ב. מציבים את הנקודה בפונקציה:

ln 94 = ln(−a²4 + a·a2)

ln בשני הצדדים – משווים את התוכן. מכנה משותף: a²2 = 2a²4:

94 = −a²4 + 2a²4 = a²4

כופלים ב־4:

a² = 9

a = 3 , a = −3

a = −3 נפסל, כי a > 0.

ג. a = 3: הקיצון ב־x = 32, התחום 0 < x < 3. מציבים בנגזרת:

f'(1) = −2 + 3−1 + 3 = 12 > 0

f'(2) = −4 + 3−4 + 6 = −12 < 0

עולה ואז יורדת – מקסימום (32 , ln 94).

ד. חיתוך עם ציר x:

ln(−x² + 3x) = 0

−x² + 3x = e⁰ = 1

x² − 3x + 1 = 0

x = 3 ± √52

השאלה מבקשת שתי ספרות אחרי הנקודה: x = 2.62 , x = 0.38. אסימפטוטות: −x² + 3x = 0 ← x(−x + 3) = 0 ← x = 0 , x = 3.

תשובה: ב. a = 3 ; ג. מקסימום ; ד. (0.38 , 0) , (2.62 , 0) , אסימפטוטות x = 0 , x = 3

פתרון שלב אחר שלב

ג. −2x³ + 6x² = 0 ← x²(x − 3) = 0 ← x = 0 , x = 3.

ד.

f'(x) = −6x² + 12x−2x³ + 6x²

משווים את המונה ל־0 ומחלקים ב־(−6):

x² − 2x = 0

x(x − 2) = 0

x = 0 – אסימפטוטה, לא בתחום. x = 2:

f(2) = ln(−16 + 24) = ln 8

סוג – מציבים בכל הנגזרת:

f'(1) = −6 + 12−2 + 6 = 64 > 0

f'(52) = −152254 < 0

ובתחום x < 0: f'(−1) = −6 − 122 + 6 = −188 < 0 – יורדת (אין שם קיצון).

ה. ה־x לא משתנה: x = 2. ה־y: כופלים ב־(−1) ומוסיפים 4: y = 4 − ln 8. כפל ב־(−1) הופך מקסימום למינימום.

תשובה: ד. מקסימום (2 , ln 8) ; ה. מינימום (2 , 4 − ln 8)

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.