חזקה שלילית – איך הופכים לשבר
חזקה שלילית הופכים לשבר: a−n = 1an. בעמוד הזה: החוק, דוגמאות של הפיכה לשבר ושלושה תרגילים פתורים שבהם יוצאת חזקה שלילית באמצע הדרך.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס החזקות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- החוק: חזקה שלילית
- דוגמאות: הופכים לשבר
- דוגמה: תרגיל שיוצאת בו חזקה שלילית
- דוגמה: מספרים, שני בסיסים
- תרגיל: אותיות
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
חוקי החזקות
חוק 1 – כפל חזקות עם אותו בסיס:
an · am = an+m
חוק 2 – חילוק חזקות עם אותו בסיס:
anam = an−m
חוק 4 – חזקה של חזקה:
(an)m = an·m
חוק 5 – חזקה של מכפלה:
(a · b)n = an · bn
חוק 6 – חזקה של שבר:
(ab)n = anbn
חוק 7 – חזקה שלילית:
a−n = 1an
חזקה שלילית – מה זה?
מספר בחזקה שלילית הופכים לשבר: במונה תמיד 1, ובמכנה אותו מספר עם החזקה בלי המינוס. בתשובה סופית לא משאירים חזקה שלילית.
דוגמאות: הופכים חזקה שלילית לשבר
כתבו כשבר:
3−1
4−1
5−2
3−2
4−2
6−3
פתרון שלב אחר שלב
בכל דוגמה, לפי חוק מספר 7: במונה 1, ובמכנה אותו מספר בלי המינוס בחזקה.
3−1 = 131 = 13
4−1 = 141 = 14
5−2 = 152
3−2 = 132 = 19
4−2 = 142 = 116
6−3 = 163
מי שרוצה יכול לחשב את המכנה עד הסוף, לא חובה.
4−1 = 14
5−2 = 152
3−2 = 19
4−2 = 116
6−3 = 163
תשובה: 3−1 = 13
דוגמה: תרגיל שיוצאת בו חזקה שלילית
חשבו:
(32)2 · 3237
פתרון שלב אחר שלב
לפי חוק מספר 4, חזקה של חזקה, כופלים את המעריכים:
(32)2 = 32·2 = 34
את 32 ואת 37 מעתיקים:
= 34 · 3237
במונה, לפי חוק מספר 1, כפל הופך לחיבור:
= 34+237 = 3637
לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
= 36−7
= 3−1
לא משאירים חזקה שלילית. לפי חוק מספר 7 הופכים אותה לשבר:
3−1 = 131 = 13
תשובה: 13
דוגמה: מספרים עם שני בסיסים
חשבו:
(32 · 52)2 · 34(33)3 · 53
פתרון שלב אחר שלב
במונה, לפי חוק מספר 5, החזקה 2 שבחוץ נכנסת לכל אחד מהגורמים שבסוגריים, ואת 34 מעתיקים.
במכנה, לפי חוק מספר 4, כופלים את המעריכים:
(33)3 = 33·3 = 39
= (32)2 · (52)2 · 3439 · 53
שוב לפי חוק מספר 4:
(32)2 = 32·2 = 34
(52)2 = 52·2 = 54
= 34 · 54 · 3439 · 53
לפי חוק מספר 1:
34 · 34 = 34+4 = 38
= 38 · 5439 · 53
לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
3839 = 38−9 = 3−1
5453 = 54−3 = 51
= 3−1 · 51
לפי חוק מספר 7, הופכים את החזקה השלילית לשבר:
3−1 = 131
51 = 5
= 131 · 5
מתחת ל־5 אפשר לרשום 1, ואז מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:
= 13 · 51 = 53
מי שרוצה יכול לרשום כמספר מעורב:
53 = 123
תשובה: 53
תרגיל: אותיות
פשטו:
(ab)2 · (a2)3 · ba9
פתרון שלב אחר שלב
לפי חוק מספר 6, החזקה נכנסת גם למונה וגם למכנה:
(ab)2 = a2b2
לפי חוק מספר 4, כופלים את המעריכים:
(a2)3 = a2·3 = a6
את b ואת a9 מעתיקים:
= a2b2 · a6 · ba9
מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה. במונה, לפי חוק מספר 1:
a2 · a6 = a2+6 = a8
במכנה משנים את הסדר, כדי שהחזקה של a תהיה מתחת לחזקה של a:
= a8 · ba9 · b2
אם לא כתוב כלום מעל b, החזקה היא 1. לפי חוק מספר 2, חילוק הופך לחיסור:
a8a9 = a8−9 = a−1
b1b2 = b1−2 = b−1
= a−1 · b−1
לפי חוק מספר 7, הופכים כל חזקה שלילית לשבר:
= 1a1 · 1b1
מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:
= 1ab
תשובה: 1ab
טעויות נפוצות
- לכתוב 3−1 = −3. חזקה שלילית לא הופכת את המספר לשלילי – היא הופכת אותו לשבר: 13.
- לשכוח את ה־1 במונה.
- להשאיר חזקה שלילית בתשובה הסופית.
שאלות נפוצות
מה זה חזקה שלילית?
a⁻ⁿ = 1/aⁿ: מספר בחזקה שלילית שווה לשבר שבמונה שלו 1 ובמכנה אותו מספר בחזקה החיובית.
האם 3⁻¹ הוא מספר שלילי?
לא. 3⁻¹ = 1/3, מספר חיובי. המינוס בחזקה אומר "הופכים לשבר", לא "מספר שלילי".
מה עושים כשבתרגיל יוצאת חזקה שלילית?
בסוף התרגיל הופכים אותה לשבר לפי חוק החזקה השלילית, ואם צריך כופלים מונה במונה ומכנה במכנה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס החזקות המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
עוד באתר
- כפל וחילוק חזקות
- העברה לאותו בסיס
- סיכום ונוסחאות – חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות
- עוד דוגמאות פתורות – חוקי חזקות
- בגרות 472 – כל הנושאים
→ הקודם: חזקה של חזקה, של מכפלה ושל שבר | הבא: העברה לאותו בסיס והשוואת חזקות ←
