שיטת ההצבה – פתרון מערכת משוואות

שיטת ההצבה היא הדרך הנוחה לפתור מערכת של שתי משוואות כשאחד הנעלמים קל לבידוד. בעמוד הזה: מתי משתמשים בה, ארבעת השלבים ושלוש מערכות פתורות שלב אחר שלב.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטכניקה האלגברית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס הטכניקה האלגברית המלא ←

בעמוד הזה:

  1. מתי משתמשים בשיטת ההצבה
  2. 4 שלבים
  3. דוגמה: y כבר מבודד
  4. דוגמה: מבודדים x
  5. דוגמה: נעלם עם מינוס
  6. טעויות נפוצות
  7. שאלות נפוצות

שיטת ההצבה

מבודדים נעלם באחת המשוואות, ומציבים את הביטוי שקיבלנו – בתוך סוגריים – במשוואה השנייה. נשארת משוואה עם נעלם אחד.

התשובה של מערכת משוואות היא זוג מספרים: x וגם y.

מתי משתמשים בשיטת ההצבה?

כשבאחת המשוואות יש נעלם עם מקדם 1 (כמו x או y), שקל לבודד אותו. כשאין כזה, לרוב נוח יותר שיטת השוואת מקדמים.

4 שלבים

  1. מבודדים – באחת המשוואות מבודדים נעלם, למשל x = …
  2. מציבים – את הביטוי מציבים במשוואה השנייה, בתוך סוגריים.
  3. פותרים – משוואה עם נעלם אחד.
  4. חוזרים ובודקים – מציבים את התוצאה בביטוי כדי למצוא את הנעלם השני, ובודקים בשתי המשוואות.

דוגמה 1: y כבר מבודד

פתרו את מערכת המשוואות:

y = 2x − 1  (1)

3x + y = 9  (2)

פתרון שלב אחר שלב

במשוואה (1) y כבר מבודד. מציבים אותו במשוואה (2), במקום y, בתוך סוגריים:

3x + (2x − 1) = 9

פלוס לפני סוגריים לא משנה סימנים. מכנסים:

5x − 1 = 9

5x = 9 + 1 = 10

מחלקים את שני האגפים ב־5:

x = 105 = 2

מציבים x = 2 במשוואה (1):

y = 2 · 2 − 1 = 4 − 1 = 3

בדיקה במשוואה (2): 3 · 2 + 3 = 6 + 3 = 9 ✓

תשובה: x = 2 , y = 3

דוגמה 2: מבודדים x

פתרו את מערכת המשוואות:

x + 2y = 7  (1)

3x − y = 7  (2)

פתרון שלב אחר שלב

מבודדים את x במשוואה (1): מעבירים את 2y לאגף השני במינוס:

x = 7 − 2y

מציבים במשוואה (2), במקום x, בתוך סוגריים:

3(7 − 2y) − y = 7

21 − 6y − y = 7

21 − 7y = 7

−7y = 7 − 21 = −14

מחלקים את שני האגפים ב־(−7):

y = −14−7 = 2

מציבים y = 2 בביטוי של x:

x = 7 − 2 · 2 = 7 − 4 = 3

בדיקה במשוואה (2): 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7 ✓

תשובה: x = 3 , y = 2

דוגמה 3: נעלם עם מינוס

פתרו את מערכת המשוואות:

2x + 3y = 1  (1)

x − 2y = 4  (2)

פתרון שלב אחר שלב

מבודדים את x במשוואה (2): מעבירים את −2y לאגף השני בפלוס:

x = 2y + 4

מציבים במשוואה (1), במקום x, בתוך סוגריים:

2(2y + 4) + 3y = 1

4y + 8 + 3y = 1

7y + 8 = 1

7y = 1 − 8 = −7

מחלקים את שני האגפים ב־7:

y = −77 = −1

מציבים y = −1 בביטוי של x:

x = 2 · (−1) + 4 = −2 + 4 = 2

בדיקה במשוואה (1): 2 · 2 + 3 · (−1) = 4 − 3 = 1 ✓

תשובה: x = 2 , y = −1

טעויות נפוצות

  • להציב בלי סוגריים: 3 · 7 − 2y במקום 3(7 − 2y).
  • לעצור אחרי שמצאנו נעלם אחד – התשובה היא זוג, x וגם y.
  • לבדוק רק במשוואה שממנה בודדנו. בודקים במשוואה השנייה (או בשתיהן).

שאלות נפוצות

מה זו שיטת ההצבה?

שיטה לפתרון מערכת של שתי משוואות: מבודדים נעלם באחת המשוואות ומציבים את הביטוי שלו במשוואה השנייה.

את איזה נעלם כדאי לבודד?

נעלם שהמקדם שלו 1 או −1, כי אז אין שברים בביטוי.

למה מציבים בתוך סוגריים?

כי הביטוי כולו כופל במקדם שלפניו. בלי סוגריים כופלים רק את האיבר הראשון ומקבלים טעות.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטכניקה האלגברית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס הטכניקה האלגברית המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: בעיות מילוליות עם משוואה  |  הבא: שיטת השוואת מקדמים ←

ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות