תחום הגדרה של פונקציית ln
תחום הגדרה של פונקציית ln הוא הצעד הראשון בכל חקירת ln בשאלון 472: מה שבתוך ה־ln חייב להיות גדול מ־0, ואם יש מכנה – גם הוא שונה מ־0. בעמוד: הכלל, 4 שלבים ותשע דוגמאות פתורות מהקורס – כולל ln במכנה, פרבולה בתוך ה־ln ושאלה מבגרות קיץ 2023 מועד א.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.
בעמוד הזה:
- הכלל: מה שבתוך ה־ln גדול מ־0
- 4 שלבים
- דוגמאות בסיסיות
- ln ומכנה – שני תנאים
- ln במכנה
- ביטוי ריבועי בתוך ה־ln
- פולינום ממעלה שלישית (בגרות קיץ 2023)
- טעויות נפוצות
תחום הגדרה של פונקציית ln
ln(□) ← □ > 0
מה שבתוך ה־ln חייב להיות חיובי. אם יש גם מכנה – בנוסף המכנה ≠ 0, ולוקחים את התחום המשותף ("וגם").
ln x = a ⇒ x = ea
הכלל: מה שבתוך ה־ln גדול מ־0
הגרף של y = ln x נמצא רק בצד החיובי של ציר x: הוא עובר ב־(1 , 0) ותמיד עולה. לכן מה שבתוך ה־ln חייב להיות גדול מ־0 – לא שווה 0 ולא שלילי. למשל בתוך ln x יש x, ולכן x > 0.
איך מוצאים תחום הגדרה – 4 שלבים
- מה בתוך ה־ln? כותבים: מה שבתוך ה־ln > 0 ופותרים.
- יש מכנה? דורשים: המכנה ≠ 0 ופותרים.
- מסמנים את שני הפתרונות על ציר x (עיגול ריק כשהנקודה לא כלולה).
- התחום המשותף לשני התנאים – זה תחום ההגדרה.
דוגמאות בסיסיות
מצאו את תחום ההגדרה: f(x) = 4x·ln x , f(x) = (ln x)² − 2ln x , f(x) = ln(x − 4)
פתרון שלב אחר שלב
ב־4x·ln x: בתוך ה־ln יש x, לכן x > 0.
ב־(ln x)² − 2ln x: בשני המקומות בתוך ה־ln כתוב x, לכן x > 0.
ב־ln(x − 4):
x − 4 > 0
מעבירים אגפים:
x > 4
תשובה: x > 0 ; x > 0 ; x > 4
ln ומכנה – שני תנאים
מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = ln(1 + x)2 + 2x.
פתרון שלב אחר שלב
שני דברים לבדוק. המכנה שונה מ־0:
2 + 2x ≠ 0
2x ≠ −2
x ≠ −1
וגם – מה שבתוך ה־ln גדול מ־0:
1 + x > 0
x > −1
על ציר x: x > −1 (עיגול ריק ב־−1 וימינה) וגם x ≠ −1. התחום המשותף:
תשובה: x > −1
ln במכנה
מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = bx1 + ln x.
פתרון שלב אחר שלב
בתוך ה־ln: x > 0. וגם המכנה שונה מ־0:
1 + ln x ≠ 0
ln x ≠ −1
לפי ln x = a ⇒ x = ea:
x ≠ e−1 = 1e
על ציר x: x > 0 בלי הנקודה 1e. התחום – שני קטעים:
תשובה: 0 < x < 1e או x > 1e
ביטוי ריבועי בתוך ה־ln – ציור פרבולה
מצאו את תחום ההגדרה: f(x) = −1 + 2x + ln(x²) , ו־f(x) = ln(−x² + 4x − 3)
פתרון שלב אחר שלב
ראשונה: x² > 0. משווים ל־0: x = 0. הפרבולה y = x² נוגעת בציר x ב־0 ומעליו בכל מקום אחר – כלומר גדולה מ־0 לכל x חוץ מ־0:
x ≠ 0
שנייה (גם בבגרות קיץ 2021 מועד מיוחד):
−x² + 4x − 3 > 0
משווים ל־0 (במחשבון a = −1 , b = 4 , c = −3):
x1 = 1 , x2 = 3
המקדם של x² שלילי – פרבולה "בוכה" שחותכת ב־1 וב־3, ומעל ציר x ביניהן:
1 < x < 3
תשובה: ראשונה: x ≠ 0 (כלומר x > 0 או x < 0) ; שנייה: 1 < x < 3
פולינום ממעלה שלישית בתוך ה־ln (בגרות קיץ 2023 מועד א)
נתונה h(x) = −2x³ + 6x² ו־f(x) = ln(−2x³ + 6x²). א. מצאו את החיתוך של h עם ציר x ואת תחומי החיוביות של h. ב. היעזרו בתשובה ומצאו את תחום ההגדרה של f.
פתרון שלב אחר שלב
א.
0 = −2x³ + 6x²
מחלקים ב־(−2) ומוציאים גורם משותף x²:
0 = x²(x − 3)
x = 0 , x = 3
לפי הגרף של h: חיובית כש־x < 0 וכש־0 < x < 3 (ב־x = 0 הגרף רק נוגע בציר); שלילית כש־x > 3.
ב. בתוך ה־ln: −2x³ + 6x² > 0 – זה בדיוק h(x) > 0, תחומי החיוביות.
תשובה: x < 0 או 0 < x < 3
אחרי תחום ההגדרה מגיעה האסימפטוטה האנכית – כשמה שבתוך ה־ln שווה 0.
טעויות נפוצות
- לכתוב x ≥ 0: בתוך ה־ln אסור גם 0 – x > 0.
- לשכוח את המכנה כשיש שבר – שני תנאים.
- בביטוי ריבועי – לפתור "כמו משוואה" בלי ציור פרבולה, ולבחור את הצד הלא נכון.
- לכתוב "x > 0 וגם x < 0" – אין מספר כזה. התחום הוא x > 0 או x < 0, כלומר x ≠ 0.
שאלות נפוצות
מה תחום ההגדרה של ln x?
x > 0. מה שבתוך ה־ln חייב להיות גדול מ־0.
איך מוצאים תחום הגדרה של ln עם מכנה?
שני תנאים: מה שבתוך ה־ln > 0, והמכנה ≠ 0. לוקחים את התחום המשותף לשניהם על ציר x.
מה תחום ההגדרה של ln של ביטוי ריבועי?
משווים את הביטוי ל־0, מציירים פרבולה ובוחרים איפה היא מעל ציר x. למשל ln(−x² + 4x − 3) מוגדרת כש־1 < x < 3.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית ln המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.