טרפז במערכת צירים – שאלת בגרות 471 פתורה
טרפז במערכת צירים שכל קודקודיו על הצירים – שאלה מבגרות קיץ 2023 (שאלון 471), כפי שהיא נפתרת בקורס: אורך אלכסון משטח, קודקודים, משוואת צלע מקבילה, זוויות בעזרת tan, ובסוף משפט הסינוסים והיקף. כל סעיף פתור שלב אחר שלב.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האנליטית בשילוב טריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- השאלה
- סעיף א – אורך BD וקודקודים
- סעיף ב – משוואת CD
- סעיף ג – זוויות
- סעיף ד – משפט הסינוסים והיקף
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
מה צריך לשאלה הזאת
- אלכסונים על הצירים ← הם מאונכים, ובכל משולש עם ראשית הצירים יש זווית ישרה.
- ישרים מקבילים ← שיפועים שווים, וזוויות מתאימות שוות.
- משפט הסינוסים: asin α = bsin β.
השאלה (בגרות קיץ 2023, שאלון 471)
כך מופיעה השאלה בשיעור בקורס, שבו היא נפתרת בסרטון:
המרובע ABCD הוא טרפז (AB ∥ CD), וכל קודקודיו על הצירים. ראשית הצירים O היא מפגש האלכסונים. נתון A(0,6), AO = OD, ושטח המשולש ABD הוא 45. א. (1) מצאו את BD. (2) מצאו את D ו־B. ב. מצאו את משוואת CD. ג. (1) מצאו את ∢OBC. (2) מצאו את ∢ABC. ד. הנקודה E על המשך הצלע BC, ו־DE = DC. מצאו את היקף המשולש CDE.
סעיף א – אורך BD וקודקודים
האלכסונים על הצירים, ולכן מאונכים: AO הוא הגובה לצלע BD במשולש ABD.
S = BD · AO2
45 = BD · 62 |·2
90 = 6 · BD |:6
BD = 15
(2) AO = OD = 6, ו־D על החלק השלילי של ציר x: D(−6,0).
BO = BD − DO = 15 − 6 = 9
← B(9,0)
תשובה: BD = 15 , D(−6,0) , B(9,0)
סעיף ב – משוואת CD
AB ∥ CD, לכן השיפועים שווים:
mAB = 0 − 69 − 0 = −69
נצמצם ב־3:
m = −23
ישר דרך D(−6,0):
y − 0 = −23(x + 6)
פותחים סוגריים: 23 · 6 = 4.
y = −23x − 4
תשובה: y = −23x − 4
סעיף ג – זוויות
C על ציר y: מציבים x = 0 ← C(0,−4), כלומר OC = 4.
(1) במשולש BOC הזווית O ישרה:
tan ∢OBC = OCOB = 49
∢OBC = 23.96°
(2) במשולש AOB הזווית O ישרה:
tan ∢ABO = AOOB = 69 = 23
∢ABO = 33.69°
∢ABC = 33.69° + 23.96° = 57.65°
תשובה: ∢OBC = 23.96° , ∢ABC = 57.65°
סעיף ד – משפט הסינוסים והיקף
DC – פיתגורס במשולש DOC (DO = 6 , OC = 4):
DC² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
DC = √52 = DE
זוויות. AB ∥ DC, ו־BE חותך את שניהם, לכן הזוויות המתאימות שוות:
∢DCE = ∢ABC = 57.65°
המשולש DCE שווה שוקיים (DE = DC), לכן זוויות הבסיס שוות:
∢DEC = 57.65°
∢EDC = 180° − 2 · 57.65°
∢EDC = 64.7°
EC – משפט הסינוסים במשולש DEC:
ECsin 64.7° = √52sin 57.65°
EC = √52 · sin 64.7°sin 57.65°
EC = 7.72
ההיקף:
P = 7.72 + 2√52
P = 22.14
תשובה: PCDE = 22.14
דרך בדיקה: במשולש שווה שוקיים הגובה מ־D חוצה את הבסיס, ולכן EC = 2 · √52 · cos 57.65° – יוצא שוב 7.72.
טעויות נפוצות
- לחשב את BD בנוסחת המרחק – אין צורך: B ו־D על ציר x.
- לשכוח ש־∢ABC היא סכום של שתי זוויות (מעל ומתחת לציר x).
- לבלבל בין זוויות מתאימות למתחלפות – כאן שתי הזוויות באותו צד של הישר BE, ולכן מתאימות.
- לעגל את √52 לפני הסוף.
שאלות נפוצות
מה מיוחד בטרפז שקודקודיו על הצירים?
האלכסונים מונחים על הצירים, ולכן הם מאונכים, וכל משולש שנוצר בין ראשית הצירים לשני קודקודים הוא ישר זווית. כך אפשר להשתמש ב־tan ובפיתגורס.
איך מוצאים אורך אלכסון משטח משולש?
כשהאלכסון השני הוא הגובה (האלכסונים מאונכים), מציבים בשטח = בסיס · גובה / 2 ומבודדים את הבסיס.
מתי משתמשים במשפט הסינוסים בשאלה כזאת?
כשהמשולש (כאן CDE) אינו ישר זווית, וידועות צלע, הזווית שמולה וזווית נוספת.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האנליטית בשילוב טריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
