בעיית קיצון עם משפט פיתגורס
בבעיות קיצון גאומטריות בבגרות 471 מופיע הרבה משולש ישר זווית, ואת הצלע החסרה מוצאים במשפט פיתגורס. כאן מתי צריך אותו, ושתי שאלות פתורות מהקורס: שטח מרובע מינימלי ו־AB² מינימלי.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס בעיות הקיצון המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
משפט פיתגורס
a² + b² = c²
(c – היתר, מול הזווית הישרה)
מתי צריך פיתגורס בבעיית קיצון
כשמופיע משולש ישר זווית, ואחת הצלעות שבפונקציית המטרה היא יתר (או ניצב שלא נתון). מבטאים את שני הניצבים בעזרת x, ובפיתגורס מקבלים את הצלע השלישית. לעתים קרובות לא צריך להוציא שורש בכלל – כי בשטח של משולש שווה שוקיים או בשאלה על AB² מופיע הריבוע עצמו.
דוגמה 1: שטח מרובע מינימלי (שני משולשים)
השאלה נפתרת בשיעור 4 בקורס (בגרות 481, 2017 מועד א).
ABC משולש ישר זווית ושווה שוקיים (∢ABC = 90°). על AB בנו משולש ישר זווית AEB כך ש־AB הוא היתר שלו. סכום הניצבים של AEB הוא 6 ס"מ. נסמן AE = x. א. הביעו את שטח המשולש ABC באמצעות x. ב. עבור איזה x שטח המרובע AEBC מינימלי?
פתרון שלב אחר שלב
א. AE + BE = 6 , לכן BE = 6 − x. המשולש ABC שווה שוקיים (AB = BC), ולכן:
SABC = AB · BC2 = AB²2
את AB² מוצאים בפיתגורס במשולש AEB:
AB² = x² + (6 − x)² = x² + 36 − 12x + x² = 2x² − 12x + 36
מציבים (אין צורך להוציא שורש) ונצמצם ב־2:
SABC = 2x² − 12x + 362 = x² − 6x + 18
תשובה: SABC = x² − 6x + 18
ב. המרובע בנוי משני המשולשים. שטח AEB הוא ניצב כפול ניצב חלקי 2:
S = x² − 6x + 18 + x(6 − x)2 = x² − 6x + 18 + 6x − x²2
גוזרים. המכנה הוא מספר, ולכן גוזרים את המונה ומשאירים את ה־2:
S′ = 2x − 6 + 6 − 2x2 = 0
נצמצם ב־2: 6 − 2x2 = 3 − x:
2x − 6 + 3 − x = 0
x − 3 = 0 ⇐ x = 3
| x | 0 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| S′ | − | 0 | + |
| S | ↘ | min | ↗ |
S′(0) = −3 < 0 , S′(4) = 1 > 0 ← מינימום.
תשובה: x = 3 ס"מ
דוגמה 2: מתי AB² מינימלי
השאלה נפתרת בשיעור 6 בקורס (בגרות 481, 2020 מועד א).
נתון משולש ישר זווית ADC (∢ADC = 90°). ישר מ־A חותך את DC ב־B כך ש־DB = 2BC. שטח המשולש ABC הוא 9. נסמן BC = x. א. הביעו את הגובה לצלע BC במשולש ABC. ב. מצאו את x שעבורו AB² מינימלי.
פתרון שלב אחר שלב
א. הגובה לבסיס BC יורד מ־A ונופל על ההמשך של BC – זה AD:
x · AD2 = 9 ⇐ x · AD = 18 ⇐ AD = 18x
ב. במשולש ADB (DB = 2x) היתר הוא AB. פיתגורס:
AB² = (18x)² + (2x)² = 324x² + 4x²
גוזרים. לפי נגזרת של מנה, (324x²)′ = 0 · x² − 2x · 324x⁴ = −648xx⁴. נצמצם ב־x:
(AB²)′ = −648x³ + 8x = 0
מעבירים אגף וכופלים בהצלבה:
8x · x³ = 648 ⇐ 8x⁴ = 648 / : 8
x⁴ = 81 ⇐ x = 3
(x חיובי, כי הוא אורך; 3⁴ = 81.)
f′(1) = −648 + 8 < 0
f′(4) = −64864 + 32 = −818 + 2568 = 1758 > 0
(ב־64864 צמצמנו ב־8.) יורדת ואחר כך עולה ← מינימום.
תשובה: x = 3
טיפ: לגזור את הריבוע במקום את השורש
כששואלים מתי אורך מינימלי, אפשר לחפש מתי הריבוע שלו מינימלי – אורך חיובי קטן ביותר בדיוק כשהריבוע שלו קטן ביותר, והנגזרת בלי שורש קלה יותר. אם רוצים לגזור את השורש עצמו – ראו בעיית קיצון עם שורש.
טעויות נפוצות
- לבחור את הניצב בתור היתר. היתר תמיד מול הזווית הישרה.
- לכתוב (6 − x)² = 36 − x². הנכון: 36 − 12x + x².
- לגזור את המכנה 2 כאילו זה x. כשהמכנה מספר – הוא נשאר.
- לקחת x = −3 כפתרון של x⁴ = 81 – אורך חיובי.
שאלות נפוצות
מתי משתמשים בפיתגורס בבעיית קיצון?
כשיש משולש ישר זווית וצריך לבטא צלע (לרוב היתר) בעזרת x: a² + b² = c².
האם צריך להוציא שורש אחרי פיתגורס?
לא תמיד. אם בפונקציית המטרה מופיע הריבוע (כמו AB² או שטח של משולש שווה שוקיים), עובדים עם הריבוע ישירות.
למה אפשר לחפש מינימום של AB² במקום של AB?
כי AB חיובי, והוא הכי קטן בדיוק כשהריבוע שלו הכי קטן. הנגזרת של הריבוע פשוטה יותר.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס בעיות הקיצון המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- שלבי פתרון בעיית קיצון
- בעיית קיצון עם שורש
- בעיית קיצון של שטח
- סיכום ונוסחאות – בעיות קיצון
- עוד דוגמאות פתורות – בעיות קיצון
- שאלות בגרות 471 לפי נושא – בעיות קיצון
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: בעיית קיצון של היקף | הבא: בעיית קיצון עם נקודה על גרף ←
