שאלת קיצון מלאה מבגרות – פתרון צעד אחר צעד
כך נראית שאלת קיצון מלאה מבגרות 481 (חורף 2024): פונקציית מנה, אסימפטוטות, ומלבן שנבנה מנקודה על הגרף. כאן הפתרון המלא צעד אחרי צעד, ורשימת בדיקה קצרה לפני שעונים בבחינה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס בעיות הקיצון המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות
הצלעות הן ההפרש בין שיעורי הנקודה לאסימפטוטות:
xאסימפטוטה − xA , yA − yאסימפטוטה
השאלה
השאלה נפתרת בשיעור 13 בקורס (בגרות 481, חורף 2024) – שאלת קיצון מלאה עם פונקציית מנה ואסימפטוטות.
נתון גרף הפונקציה f(x) = 161 − x + 2 , המוגדרת לכל x ≠ 1. א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. מנקודה A על הגרף ברביע השני מעבירים אנכים לאסימפטוטות, כך שנוצר מלבן. ב. מצאו את שיעורי A שעבורם היקף המלבן מינימלי. ג. חשבו את שטח המלבן עבור A שמצאתם.
א. אסימפטוטות
אנכית – איפה שהמכנה מתאפס: 1 − x = 0 ⇐ x = 1 (ו־1 לא מאפס את המונה 16).
אופקית – במונה אין x ובמכנה יש x, ולכן כש־x גדל מאוד השבר 161 − x שואף ל־0, ונשאר 0 + 2 = 2.
תשובה: x = 1 , y = 2
ב. היקף מינימלי
מסמנים A(t , 161 − t + 2). A ברביע השני, כלומר t < 0. הצלעות – הפרש בין A לאסימפטוטות:
AB = 1 − t
AD = 161 − t + 2 − 2 = 161 − t
p = 2(1 − t) + 2 · 161 − t = 2 − 2t + 321 − t
גוזרים. את 321 − t לפי נגזרת של מנה (הנגזרת של 1 − t היא −1):
(321 − t)′ = 0 · (1 − t) − (−1) · 32(1 − t)² = 32(1 − t)²
p′ = −2 + 32(1 − t)² = 0
מעבירים אגף וכופלים בהצלבה:
32 = 2(1 − t)² / : 2
16 = (1 − t)²
מוציאים שורש – שתי אפשרויות:
1 − t = 4 ⇐ t = −3
1 − t = −4 ⇐ t = 5
A ברביע השני, לכן t = −3. מציבים בפונקציה:
f(−3) = 161 + 3 + 2 = 4 + 2 = 6
טבלה – מציבים t = −4 ו־t = 0:
p′(−4) = −2 + 3225 = −5025 + 3225 = −1825 < 0
p′(0) = −2 + 32 = 30 > 0
| t | −4 | −3 | 0 |
|---|---|---|---|
| p′ | − | 0 | + |
| p | ↘ | min | ↗ |
תשובה: A(−3 , 6)
ג. שטח המלבן
B על האסימפטוטה x = 1: AB = 1 − (−3) = 4. הצלע השנייה – מ־6 עד האסימפטוטה y = 2: 6 − 2 = 4.
S = 4 · 4 = 16
תשובה: S = 16
רשימת בדיקה לשאלת קיצון בבגרות
- האם פונקציית המטרה בנעלם אחד בלבד?
- האם השתמשתי בתנאים של השאלה (רביע, t > 0, אורך חיובי) כדי לפסול פתרונות?
- האם הוכחתי בטבלה (או בנגזרת שנייה) שזה מינימום או מקסימום?
- האם עניתי בדיוק על מה ששאלו – נקודה, אורך, היקף או שטח?
עוד שאלה מלאה מבגרות, עם מלבן מתחת לפרבולה ו"האם ייתכן שטח של 30": בעיית קיצון של שטח.
עוד שאלות בגרות בנושא, מסודרות לפי שנה: שאלות בגרות 471 לפי נושא – בעיות קיצון.
טעויות נפוצות
- לחשב את AD כ־161 − t + 2 – שוכחים להחסיר את האסימפטוטה y = 2.
- לגזור את 321 − t כאילו המכנה t ולקבל סימן הפוך.
- להוציא שורש ולקחת רק 1 − t = 4 בלי לבדוק את שתי האפשרויות.
שאלות נפוצות
איך מוצאים צלעות של מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות?
צלע אחת היא ההפרש בין ה־x של הנקודה לאסימפטוטה האנכית, והשנייה היא ההפרש בין ה־y של הנקודה לאסימפטוטה האופקית.
מה הנגזרת של 32/(1 − t)?
לפי נגזרת של מנה: 32/(1 − t)², כי הנגזרת של 1 − t היא −1 והמינוסים מתבטלים.
מה לבדוק לפני שעונים בשאלת קיצון?
שהנעלם מקיים את תנאי השאלה, שהוכחתי מינימום או מקסימום, ושעניתי על מה ששאלו.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס בעיות הקיצון המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- שלבי פתרון בעיית קיצון
- בעיית קיצון של שטח
- בעיית קיצון עם נקודה על גרף
- סיכום ונוסחאות – בעיות קיצון
- עוד דוגמאות פתורות – בעיות קיצון
- שאלות בגרות 471 לפי נושא – בעיות קיצון
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: בעיית קיצון עם שורש
