אינטגרל של הנגזרת – שטח מגרף הנגזרת

כשנתון גרף הנגזרת ומבקשים שטח, לא צריך לגזור ולא לחשב אינטגרל של פונקציה מסובכת: האינטגרל של הנגזרת הוא הפונקציה עצמה. כאן הכלל ו־2 שאלות פתורות מהקורס.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס האינטגרלים המלא ←

בעמוד הזה:

הכלל: האינטגרל של הנגזרת הוא הפונקציה
שטח מתחת לציר x
דוגמה 1: שטח בין גרף הנגזרת לציר x
דוגמה 2: מציאת ערך של הפונקציה מהשטח
טעויות נפוצות

אינטגרל של הנגזרת

∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

לא גוזרים ולא עושים אינטגרל – מציבים בפונקציה

הכלל: האינטגרל של הנגזרת הוא הפונקציה

אינטגרל הוא ההפך מנגזרת (ראו מציאת פונקציה קדומה). לכן כשבתוך האינטגרל יש נגזרת, האינטגרל שלה הוא הפונקציה עצמה. כשנתון גרף הנגזרת ומבקשים שטח בינו לבין ציר x, מציבים את הגבולות בפונקציה f – בלי לגזור אותה. ואם הפונקציה לא ידועה בכלל, מספיק לדעת את ערכיה בגבולות.

שטח מתחת לציר x

כשגרף הנגזרת מתחת לציר x, האינטגרל יוצא שלילי. השטח חיובי, ולכן כופלים ב־−1:

S = −1 · ∫_a^b f′(x) dx = −(f(b) − f(a))

דוגמה 1: שטח בין גרף הנגזרת לציר x

השאלה נפתרת בשיעור 24 בקורס.

נתונה f(x) = x²x² − 16 + 1 (מוגדרת ל־x ≠ ±4). גרף הנגזרת f′(x) חותך את ציר x רק ב־(0 , 0). חשבו את השטח בין גרף f′(x) , ציר x והישר x = 2.

פתרון שלב אחר שלב

השטח החסום הוא בין x = 0 ל־x = 2 , מתחת לציר x. לכן:

S = −1 · ∫₀² f′(x) dx = −1 · (f(2) − f(0))

חישוב צדדי – מציבים בפונקציה:

f(2) = 44 − 16 + 1 = 4−12 + 1 = −13 + 1 = 23

(נצמצם ב־4: 412 = 13.)

f(0) = 0−16 + 1 = 1

S = −1 · (23 − 1) = −1 · (−13) = 13

תשובה: S = 13

דוגמה 2: מציאת ערך של הפונקציה מהשטח

השאלה נפתרת בשיעור 26 בקורס.

גרף הנגזרת f′(x) מתאפס רק ב־x = −2 , 0 , 2. S הוא השטח ברביע הרביעי בין גרף f′ לציר x (בין x = 0 ל־x = 2). נתון S = 8 , f(2) = 312. א. מצאו את נקודות הקיצון של f וסוגן. ב. מצאו את f(0).

פתרון שלב אחר שלב

א. איפה ש־f′ חיובית (מעל ציר x) – f עולה; איפה שהיא שלילית – f יורדת. לפי הגרף:

x = −2: f′ עוברת ממינוס לפלוס – f יורדת ואז עולה ← מינימום.
x = 0: מפלוס למינוס – עולה ואז יורדת ← מקסימום.
x = 2: ממינוס לפלוס ← מינימום.

ב. השטח מתחת לציר x , לכן:

−1 · ∫₀² f′(x) dx = 8 ⇐ −1 · (f(2) − f(0)) = 8

מציבים f(2) = 72:

−72 + f(0) = 8 ⇐ f(0) = 8 + 72 = 162 + 72 = 232

תשובה: מינימום ב־x = −2 וב־x = 2 , מקסימום ב־x = 0 ; f(0) = 232 (בשיעור: 1112)

דוגמאות פתורות נוספות באתר: שטח מתחת לגרף הנגזרת , מגרף הנגזרת לפונקציה. כשהשטח נתון ומחפשים פרמטר – שטח עם פרמטר.

טעויות נפוצות

לגזור את f ולנסות לעשות אינטגרל לנגזרת – מיותר.
להציב בנגזרת במקום בפונקציה.
לשכוח את ה־−1 כשגרף הנגזרת מתחת לציר x.
להפוך את הסדר: f(b) − f(a) , הגבול העליון קודם.

שאלות נפוצות

מה האינטגרל של הנגזרת?

הפונקציה עצמה: ∫f′(x)dx בין a ל־b שווה f(b) − f(a).

איך מחשבים שטח מתחת לגרף הנגזרת?

מציבים את הגבולות בפונקציה f: f(b) − f(a). אם הגרף מתחת לציר x – כופלים ב־(−1).

צריך לדעת את הפונקציה כדי לחשב את השטח?

לא. מספיק לדעת את ערכי הפונקציה בגבולות, ולפעמים מהשטח מוצאים ערך חסר של הפונקציה.

לקורס האינטגרלים המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: שטח עם פרמטר