משפט הסינוסים
משפט הסינוסים פותר משולשים שאינם ישרי זווית: כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה – אותו מספר. בעמוד הזה: המשפט, ארבעה צעדים למציאת צלע, מציאת זווית עם SHIFT sin, צלעות עם x ושאלה מילולית – דוגמאות פתורות לבגרות 471.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- משפט הסינוסים
- מציאת צלע – 4 צעדים
- מציאת זווית
- דוגמה: מציאת צלע
- דוגמה: מציאת זווית
- דוגמה: צלעות עם x
- דוגמה: שאלה מילולית – צלע גדולה פי 1.2
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
משפט הסינוסים
asin α = bsin β = csin γ
בכל משולש – לא רק ישר זווית: כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה. בכל פעם משתמשים רק בשני שוויונות.
משפט הסינוסים
מסמנים את הצלע a והזווית שמולה α, הצלע b והזווית שמולה β, והצלע c והזווית שמולה γ. המשפט מתאים לכל סוגי המשולשים, ולכן משתמשים בו כשאין זווית ישרה (במשולש ישר זווית מספיקות ההגדרות). צריך זוג אחד שלם – צלע והזווית שמולה – ועוד נתון אחד.
מציאת צלע – 4 צעדים
- אם חסרה זווית – משלימים ל־180° (סכום הזוויות במשולש).
- מתאימים לכל צלע את הזווית שמולה – לצלע הנתונה ולצלע שמחפשים.
- רושמים שוויון אחד: צלע חלקי sin הזווית שמולה = צלע חלקי sin הזווית שמולה.
- כפל בהצלבה, ומחשבון.
מציאת זווית
כשמחפשים זווית – מבודדים את sin הזווית, ואז SHIFT sin במחשבון. ערך של sin תמיד בין 0 ל־1: אם יצא יותר מ־1 – יש טעות בחישוב.
דוגמה: מציאת צלע
במשולש שתי זוויות הן 107° ו־22°. מול הזווית 22° נמצאת צלע 8. מצאו את הצלע x שמול הזווית השלישית.
פתרון שלב אחר שלב
180° − 107° − 22° = 51° ← משלימים את הזווית השלישית
8sin22° = xsin51°
← משפט הסינוסים: 8 מול 22°, x מול 51°
8 · sin51° = x · sin22° ← כפל בהצלבה
x = 8 · sin51°sin22° = 16.60
← מחלקים ב־sin22°, מחשבון
תשובה: x = 16.60
דוגמה: מציאת זווית
במשולש שתי צלעות 12 ו־10, והזווית שמול הצלע 12 היא 100°. מצאו את הזווית α שמול הצלע 10.
פתרון שלב אחר שלב
10sin α = 12sin100°
← משפט הסינוסים
10 · sin100° = 12 · sin α ← כפל בהצלבה
sin α = 10 · sin100°12 = 0.8207
← מחלקים את שני האגפים ב־12
α = sin−1(0.8207) = 55.15°
← SHIFT sin
תשובה: α = 55.15°
דוגמה: צלעות עם x
במשולש שתי זוויות 70° ו־80°. מול הזווית השלישית נמצאת הצלע x + 2, ומול 80° הצלע x + 5. מצאו את x.
פתרון שלב אחר שלב
180° − 80° − 70° = 30° ← הזווית השלישית
x + 2sin30° = x + 5sin80°
← משפט הסינוסים
(x + 2) · sin80° = (x + 5) · sin30° ← כפל בהצלבה (עם סוגריים)
(x + 2) · sin80° = (x + 5) · 12
← sin30° = 12
2(x + 2) · sin80° = x + 5 ← כופלים את שני האגפים ב־2
2x · sin80° + 4 · sin80° = x + 5 ← פותחים סוגריים
2x · sin80° − x = 5 − 4 · sin80° ← מעבירים אגפים
x(2 · sin80° − 1) = 5 − 4 · sin80° ← מוציאים x כגורם משותף
x = 5 − 4 · sin80°2 · sin80° − 1 = 1.09
← מחלקים, ומחשבים במחשבון רק בסוף
תשובה: x = 1.09
דוגמה: שאלה מילולית – צלע גדולה פי 1.2
אחת מזוויות המשולש היא 60°. הצלע שמול זווית זו גדולה פי 1.2 מצלע אחרת במשולש. חשבו את שתי הזוויות האחרות.
פתרון שלב אחר שלב
בשאלה נתון 1.2, כלומר 1.2 = 1210 = 65 (נצמצם ב־2). מסמנים: צלע אחת x, והצלע שמול 60° היא 65x. הזווית שמול x היא α.
65xsin60° = xsin α
← משפט הסינוסים
65x · sin α = x · sin60°
← כפל בהצלבה
65 · sin α = sin60°
← נצמצם ב־x (מחלקים את שני האגפים ב־x)
sin α = sin60° · 56 = 0.7217
← חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך: : 65 = · 56
α = sin⁻¹(0.7217) = 46.19° ← SHIFT sin
180° − 60° − 46.19° = 73.81° ← הזווית השלישית: סכום הזוויות במשולש
תשובה: 46.19° ו־73.81°
טעויות נפוצות
- לחלק צלע ב־sin של זווית שלא נמצאת מולה.
- לשכוח להשלים את הזווית השלישית ל־180° לפני שמתחילים.
- לעגל את ערכי ה־sin באמצע (למשל sin80° = 0.984) – התוצאה הסופית זזה. מחשבים במחשבון רק בשורה האחרונה.
- לקבל sin α > 1 ולהמשיך – זה סימן לטעות.
שאלות נפוצות
מה אומר משפט הסינוסים?
בכל משולש, היחס בין צלע לבין הסינוס של הזווית שמולה שווה לכל הצלעות: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ.
מתי משתמשים במשפט הסינוסים?
במשולש שאינו ישר זווית, כשיודעים צלע והזווית שמולה ועוד נתון אחד – צלע או זווית. כך מוצאים צלע או זווית חסרה.
איך מוצאים זווית עם משפט הסינוסים?
רושמים את השוויון, מבודדים את sin הזווית בכפל בהצלבה, ואז עושים SHIFT sin במחשבון.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- סינוס, קוסינוס וטנגנס
- שטח משולש בעזרת סינוס
- משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם
- סיכום ונוסחאות – טריגונומטריה
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: פתרון משולש ישר זווית – תרגילים | הבא: שטח משולש בעזרת סינוס ←
