שיפוע ומשיק לפונקציית שורש
שיפוע המשיק לגרף של פונקציית שורש הוא הנגזרת בנקודת ההשקה, ומשם 4 צעדים למשוואה. כאן השיטה, דוגמה פתורה של משיק ל־3√x, ומציאת נקודה שבה שיפוע המשיק נתון.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית שורש המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
שיפוע ומשוואת משיק
m = f′(x₁)
y − y₁ = m(x − x₁)
שיפוע המשיק = הנגזרת בנקודת ההשקה
משיק הוא ישר שנוגע בגרף בנקודה אחת – נקודת ההשקה. השיפוע שלו שווה לערך הנגזרת בנקודה הזו. בפונקציית שורש גוזרים לפי (√x)′ = 12√x (ראו נגזרת של שורש).
4 צעדים למשוואת משיק
- גוזרים את הפונקציה. מספר שלפני השורש עולה למונה.
- מוצאים את השיפוע: מציבים את ה־x של נקודת ההשקה בנגזרת.
- מוצאים את y₁: מציבים את אותו x בפונקציה המקורית.
- מציבים בנוסחה y − y₁ = m(x − x₁), פותחים סוגריים ומעבירים אגפים עד ש־y לבד.
דוגמה פתורה: משיק לגרף f(x) = 3√x בנקודה x = 4
נתונה הפונקציה f(x) = 3√x. העבירו משיק לגרף בנקודה שבה x = 4. (1) מצאו את שיפוע המשיק. (2) מצאו את משוואת המשיק.
פתרון שלב אחר שלב
(1) גוזרים. ה־3 עולה למונה:
f′(x) = 32√x
מציבים x = 4 בנגזרת:
m = 32√4 = 32 · 2 = 34
תשובה: m = 34
(2) חסר y₁. מציבים x = 4 בפונקציה המקורית:
f(4) = 3√4 = 3 · 2 = 6
נקודת ההשקה: (4 , 6). מציבים בנוסחה:
y − 6 = 34(x − 4)
פותחים סוגריים. נצמצם את ה־4: 34 · 4 = 3:
y − 6 = 34x − 3 / + 6
y = 34x + 3
תשובה: y = 34x + 3
השאלה הזו מופיעה בשיעורים 15 ו־16 בקורס (שיעור 16: בגרות 382, 2018 מועד א). באותה שאלה נשאל גם: האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות? משווים את הנגזרת ל־0:
32√x = 0
שבר שווה 0 רק כשהמונה 0. כאן המונה 3, ו־3 = 0 הוא פסוק שקר.
תשובה: אין נקודות קיצון פנימיות. הנגזרת תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה בכל x > 0
מציאת נקודה שבה שיפוע המשיק נתון
נתונה הפונקציה f(x) = 2x − 6√x + 7. מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק הוא 1.
פתרון שלב אחר שלב
שיפוע המשיק = הנגזרת. את הנגזרת מצאנו בעמוד נקודות קיצון של פונקציית שורש:
f′(x) = 2 − 3√x
משווים לשיפוע הנתון:
2 − 3√x = 1 / − 1
1 = 3√x
כפל בהצלבה:
√x = 3
מעלים בריבוע:
x = 9
בדיקה: √9 = 3 ✓. מוצאים y בפונקציה המקורית:
f(9) = 2 · 9 − 6√9 + 7 = 18 − 18 + 7 = 7
תשובה: (9 , 7)
השאלה הזו נפתרת בשיעור 18 בקורס (בגרות 382, 2021 מועד א).
טעויות נפוצות
- להציב את x בפונקציה כדי למצוא שיפוע. השיפוע – מהנגזרת; y₁ – מהפונקציה המקורית.
- לשכוח את ה־2 במכנה: 32√4 ולא 3√4.
- לא לפתוח סוגריים עד הסוף: התשובה צריכה להיות בצורה y = mx + b.
שאלות נפוצות
איך מוצאים שיפוע משיק לפונקציית שורש?
גוזרים את הפונקציה ומציבים בנגזרת את ה־x של נקודת ההשקה.
מה משוואת המשיק ל־3√x בנקודה x = 4?
השיפוע 3/4 ונקודת ההשקה (4 , 6), ולכן y = 3/4·x + 3.
איך מוצאים נקודה שבה שיפוע המשיק נתון?
משווים את הנגזרת לשיפוע הנתון, פותרים (עם בדיקה אם העלינו בריבוע) ומציבים בפונקציה המקורית כדי למצוא y.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס חקירת פונקציית שורש המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- נגזרת של שורש
- נקודות קיצון של פונקציית שורש
- חקירת פונקציית שורש – שלב אחר שלב
- סיכום ונוסחאות – חקירת פונקציית שורש
- עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית שורש
- שאלות בגרות 471 לפי נושא – חקירת פונקציית שורש
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: נקודות קיצון של פונקציית שורש | הבא: קיצון בקצוות תחום ההגדרה ←