פתרון משולש ישר זווית – תרגילים פתורים
טריגונומטריה במשולש ישר זווית – תרגילים פתורים, סעיף אחרי סעיף, כמו בשאלות של בגרות 471: תיכון לניצב, משולש שווה שוקיים עם גובה, שטח משולש וזוויות עם SHIFT. בעמוד הזה גם השיטה בארבעה צעדים, מתי מורידים גובה, ואיך מעגלים נכון.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- איך פותרים משולש ישר זווית
- כשאין משולש ישר זווית – מורידים גובה
- שאלה פתורה: תיכון לניצב
- שאלה פתורה: משולש שווה שוקיים
- עיגול – מתי ואיך
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
4 כלים במשולש ישר זווית
- sin – ניצב מול הזווית ויתר.
- cos – ניצב ליד הזווית ויתר.
- tan – שני ניצבים.
- פיתגורס – שתי צלעות ידועות, מחפשים את השלישית.
ותמיד: ∢A + ∢B + ∢C = 180°.
איך פותרים משולש ישר זווית
- רושמים על איזה משולש מסתכלים – ובודקים שיש בו זווית ישרה.
- מסמנים את הזווית הנתונה (או המבוקשת) ואת הצלעות: מול, ליד, יתר.
- בוחרים כלי: sin, cos או tan לפי הצלעות, או משפט פיתגורס.
- מחפשים צלע ← כפל בהצלבה. מחפשים זווית ← SHIFT במחשבון.
כשאין משולש ישר זווית – מורידים גובה
בשאלות רבות המשולש או המרובע אינו ישר זווית. אז מורידים גובה ויוצרים משולש ישר זווית. במשולש שווה שוקיים – הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן הוא חוצה את הבסיס. בטרפז – מורידים גובה מכל קדקוד של הבסיס הקטן, ומקבלים מלבן ושני משולשים ישרי זווית.
שאלה פתורה: תיכון לניצב
במשולש ישר זווית ABC (∢BCA = 90°), BD הוא התיכון לניצב AC. נתון: ∢BAC = 40°, DC = 5 ס"מ. א. חשבו את AC. ב. חשבו את BC. ג. חשבו את שטח המשולש ABD. ד. חשבו את ∢CBD.
סעיף א
AD = DC = 5 ← תיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים
AC = 5 + 5 = 10 ← AC = AD + DC
תשובה: AC = 10 ס"מ
סעיף ב
BC10 = tan40°1
← במשולש ABC: BC מול הזווית 40°, AC לידה – שני ניצבים, טנגנס
BC = 10 · tan40° ← כפל בהצלבה
BC = 8.39 ← מחשבון
תשובה: BC = 8.39 ס"מ
סעיף ג
שטח משולש = בסיס כפול הגובה אליו, חלקי 2. הבסיס AD, והגובה מ־B לישר AC הוא BC (הוא נמצא מחוץ למשולש ABD).
S = AD · BC2 = 5 · 8.392 = 20.98
תשובה: S = 20.98 סמ"ר
סעיף ד
נסתכל על המשולש BDC (ישר זווית ב־C). מסמנים ∢CBD = α: DC = 5 מול הזווית, BC = 8.39 לידה.
tan α = 58.39
α = tan−1(58.39) = 30.79°
← SHIFT tan
תשובה: ∢CBD = 30.79°
שאלה פתורה: משולש שווה שוקיים
במשולש שווה שוקיים ABC (AB = AC) הגובה לשוק יוצר זווית של 28° עם הבסיס, ו־BC = 10. א. חשבו את זוויות המשולש. ב. חשבו את היחס בין AB ל־BC.
סעיף א
∢B = 180° − 90° − 28° = 62° ← במשולש BDC (BD הגובה לשוק): סכום הזוויות 180°
∢C = ∢B = 62° ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
∢A = 180° − 2 · 62° = 56° ← סכום הזוויות במשולש ABC
תשובה: ∢A = 56°, ∢B = ∢C = 62°
סעיף ב
BF = FC = 10 : 2 = 5 ← מורידים גובה AF לבסיס – בשווה שוקיים הוא גם תיכון
במשולש ABF: AB היתר, BF הניצב שליד הזווית 62° – קוסינוס:
5AB = cos62°
5 = AB · cos62° ← כפל בהצלבה
AB = 5 : cos62° = 10.65 ← מחלקים ב־cos62°, מחשבון
ABBC = 10.6510 = 1.065
תשובה: היחס AB : BC = 1.065
עיגול – מתי ואיך
בטריגונומטריה התשובות יוצאות מהמחשבון כמספרים עשרוניים, ומעגלים ל־2 ספרות אחרי הנקודה (למשל 8.390… → 8.39). כדאי לשמור בצד את הערך המלא מהמחשבון ולהשתמש בו בסעיפים הבאים – עיגול באמצע הדרך מצטבר לטעות בתשובה הסופית.
טעויות נפוצות
- לא לרשום על איזה משולש מסתכלים – הבוחן צריך לראות שהמשולש ישר זווית.
- להשתמש ב־sin במשולש שאינו ישר זווית בלי להוריד גובה.
- בשטח – לקחת גובה שאינו מאונך לבסיס שנבחר.
- לעגל באמצע הפתרון ולהמשיך עם הערך המעוגל.
שאלות נפוצות
איך פותרים משולש ישר זווית בטריגונומטריה?
רושמים על איזה משולש מסתכלים, מסמנים את הזווית ואת הצלעות (מול, ליד, יתר), ובוחרים: sin, cos או tan לפי הצלעות, או פיתגורס כששתי צלעות ידועות.
מה עושים כשהמשולש לא ישר זווית?
מורידים גובה כדי ליצור משולש ישר זווית. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון. במשולש כללי אפשר גם להשתמש במשפט הסינוסים.
לכמה ספרות מעגלים בטריגונומטריה?
בדרך כלל ל-2 ספרות אחרי הנקודה. בסעיפים הבאים כדאי להמשיך עם הערך המלא מהמחשבון ולא עם המעוגל.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטריגונומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- סינוס, קוסינוס וטנגנס
- משפט הסינוסים
- שטח משולש בעזרת סינוס
- סיכום ונוסחאות – טריגונומטריה
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר זווית | הבא: משפט הסינוסים ←
