משיקים למעגל – משפטים ותרגילים

שני משיקים למעגל שיוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה, וכל משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. בעמוד הזה: המשפטים על משיקים למעגל בגאומטריה, ההוכחה בחפיפה, מעגל חסום במשולש, ותרגילים פתורים לבגרות 471 – עם פיתגורס, זוויות ושטחים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הגאומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.

לקורס הגאומטריה המלא ←

בעמוד הזה:

משיק מאונך לרדיוס
שני משיקים מאותה נקודה
דוגמה: משיק ופיתגורס
דוגמה: זוויות עם שני משיקים
דוגמה: משוואה
דוגמה: מעגל חסום במשולש
דוגמה: משיקים ושטח
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

משיקים למעגל

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: ∢OAP = 90°.
שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים: PA = PB.
הקטע OP חוצה את הזווית שבין שני המשיקים.

משיק מאונך לרדיוס

משיק הוא ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד – נקודת ההשקה. המשפט החשוב: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן רדיוס, משיק והקטע למרכז יוצרים משולש ישר זווית – ומשם משפט פיתגורס.

שני משיקים מאותה נקודה

מהנקודה P שמחוץ למעגל יוצאים שני משיקים, PA ו־PB. למה הם שווים?

ההוכחה

∢OAP = ∢OBP = 90° ← משיק מאונך לרדיוס

OA = OB ← רדיוסים

OP = OP ← צלע משותפת

△OAP ≅ △OBP ← צ.צ.ז: יתר וניצב

PA = PB , ∢APO = ∢BPO ← במשולשים חופפים צלעות וזוויות מתאימות שוות

במרובע OAPB שתי זוויות ישרות, ולכן ∢AOB + ∢APB = 180°.

דוגמה: משיק ופיתגורס

PA משיק למעגל שמרכזו O ורדיוסו 5, ו־PA = 12. מצאו את המרחק OP.

פתרון שלב אחר שלב

∢OAP = 90° ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OA² + PA² = OP² ← משפט פיתגורס במשולש OAP

25 + 144 = OP² ← מציבים

OP² = 169 ← מחברים

OP = 13 ← שורש (אורך חיובי)

תשובה: OP = 13

דוגמה: זוויות עם שני משיקים

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O, ו־∢APB = 50°. מצאו את ∢PAB ואת ∢AOB.

פתרון שלב אחר שלב

PA = PB ← שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים

∢PAB = ∢PBA = (180° − 50°) : 2 = 65° ← △PAB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות

∢OAP = ∢OBP = 90° ← משיק מאונך לרדיוס

∢AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130° ← סכום הזוויות במרובע OAPB

תשובה: ∢PAB = 65°, ∢AOB = 130°

דוגמה: משוואה

PA ו־PB משיקים למעגל. PA = 3x − 2, PB = x + 8. מצאו את x ואת אורך המשיק.

פתרון שלב אחר שלב

PA = PB ← שני משיקים מאותה נקודה

3x − 2 = x + 8 ← מציבים

3x − x = 8 + 2 ← מעבירים אגפים

2x = 10 ← כינוס איברים דומים

x = 5 ← מחלקים את שני האגפים ב־2

PA = 3 · 5 − 2 = 13

PB = 5 + 8 = 13 ✔ ← מציבים x = 5

תשובה: x = 5, אורך המשיק 13

דוגמה: מעגל חסום במשולש

מעגל חסום במשולש ABC ומשיק לצלעות BC, CA, AB בנקודות D, E, F. AB = 8, BC = 9, AC = 7. מצאו את AF, BD ו־CE.

פתרון שלב אחר שלב

AF = AE = x , BF = BD = y ← שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים

CD = CE = z ← שני משיקים מאותה נקודה

x + y = 8

y + z = 9

x + z = 7 ← הצלעות

2x + 2y + 2z = 24 ← מחברים את שלוש המשוואות

x + y + z = 12 ← מחלקים את שני האגפים ב־2

z = 12 − 8 = 4 ← מחסרים x + y = 8

x = 12 − 9 = 3 ← מחסרים y + z = 9

y = 12 − 7 = 5 ← מחסרים x + z = 7

תשובה: AF = 3, BD = 5, CE = 4

דוגמה: משיקים ושטח

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. OP = 10. מצאו את אורך המשיקים ואת שטח המרובע OAPB.

פתרון שלב אחר שלב

∢OAP = 90° ← משיק מאונך לרדיוס

OA² + PA² = OP² ← משפט פיתגורס במשולש OAP

36 + PA² = 100 ← מציבים

PA² = 64 , PA = 8 ← מעבירים אגפים ושורש

PB = PA = 8 ← שני משיקים מאותה נקודה

S(OAP) = 6 · 8 : 2 = 24 ← שטח משולש ישר זווית: ניצב כפול ניצב חלקי 2

S(OAPB) = 2 · 24 = 48 ← △OAP ≅ △OBP – שטחים שווים

תשובה: המשיקים 8, שטח OAPB הוא 48

טעויות נפוצות

לשכוח לכתוב שהמשיק מאונך לרדיוס לפני שמשתמשים בפיתגורס.
לשים את PA כיתר. היתר הוא OP – מול הזווית הישרה שבנקודת ההשקה.
במעגל חסום במשולש – לחשוב שנקודות ההשקה הן אמצעי הצלעות. הן לא (רק במשולש שווה צלעות).

שאלות נפוצות

מה הזווית בין משיק לרדיוס?

90 מעלות. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן נוצר משולש ישר זווית שבו אפשר להשתמש במשפט פיתגורס.

מה התכונה של שני משיקים מאותה נקודה?

הקטעים מהנקודה עד נקודות ההשקה שווים, והקטע מהנקודה למרכז המעגל חוצה את הזווית שבין המשיקים.

איך מוצאים אורך משיק?

במשולש ישר הזווית שנוצר מהרדיוס, המשיק והקטע למרכז: אורך המשיק² = (מרחק הנקודה מהמרכז)² − רדיוס².

לקורס הגאומטריה המלא ←

עוד באתר

→ הקודם: זווית היקפית וזווית מרכזית במעגל | הבא: מרובע חסום ומרובע חוסם ←