מרובע חסום במעגל ומרובע חוסם מעגל
מרובע חסום במעגל הוא מרובע שכל קדקודיו על המעגל, ובו סכום זוויות נגדיות 180 מעלות. בעמוד הזה: המשפט וההוכחה, המשפט ההפוך, טרפז חסום במעגל, מרובע חוסם מעגל ותכונת הצלעות שלו, ותרגילים פתורים שלב אחר שלב לבגרות 471.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הגאומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
בעמוד הזה:
- מרובע חסום במעגל
- המשפט ההפוך – מתי אפשר לחסום
- טרפז חסום במעגל
- מרובע חוסם מעגל
- דוגמה: מרובע חסום עם משוואה
- דוגמה: המשפט ההפוך
- דוגמה: טרפז חסום
- דוגמה: מרובע חוסם
- דוגמה: מרובע חסום עם קוטר
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
מרובע חסום ומרובע חוסם
מרובע חסום במעגל – סכום כל זוג זוויות נגדיות 180° (ולהפך):
∢A + ∢C = 180° , ∢B + ∢D = 180°
מרובע חוסם מעגל – סכומי הצלעות הנגדיות שווים:
AB + CD = BC + AD
טרפז חסום במעגל – שווה שוקיים.
מרובע חסום במעגל
מרובע ABCD חסום במעגל אם כל ארבעת הקדקודים שלו על המעגל.
למה סכום זוויות נגדיות 180°? ∢A היא זווית היקפית, ולכן היא חצי מהקשת BCD. ∢C היא חצי מהקשת BAD. שתי הקשתות יחד הן כל המעגל, 360°, ולכן:
∢A + ∢C = 360° : 2 = 180°
המשפט ההפוך – מתי אפשר לחסום
אם במרובע סכום זוג אחד של זוויות נגדיות 180° – אפשר לחסום אותו במעגל. למשל: כל מלבן חסום במעגל (שתי זוויות נגדיות של 90°).
טרפז חסום במעגל
טרפז שחסום במעגל הוא תמיד טרפז שווה שוקיים. ולהפך – כל טרפז שווה שוקיים אפשר לחסום במעגל.
מרובע חוסם מעגל
מרובע חוסם מעגל אם כל ארבע הצלעות שלו משיקות למעגל. מכל קדקוד יוצאים שני משיקים שווים, ולכן כשמחברים צלעות נגדיות מקבלים את אותם ארבעה קטעים: AB + CD = BC + AD. ולהפך – מרובע שבו סכומי הצלעות הנגדיות שווים חוסם מעגל.
דוגמה: מרובע חסום עם משוואה
ABCD מרובע חסום במעגל. ∢A = 3x + 10, ∢C = 2x + 20. מצאו את x ואת ∢A ו־∢C.
פתרון שלב אחר שלב
∢A + ∢C = 180° ← במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°
3x + 10 + 2x + 20 = 180 ← מציבים
5x + 30 = 180 ← כינוס איברים דומים
5x = 150 ← מעבירים את 30 לאגף השני
x = 150 : 5 = 30 ← מחלקים את שני האגפים ב־5
∢A = 3 · 30 + 10 = 100° ← מציבים x = 30
∢C = 2 · 30 + 20 = 80° ← מציבים x = 30
תשובה: x = 30, ∢A = 100°, ∢C = 80°
דוגמה: המשפט ההפוך
במרובע ABCD: ∢A = 85°, ∢C = 95°, ∢B = 70°. הוכיחו שאפשר לחסום את ABCD במעגל, ומצאו את ∢D.
פתרון שלב אחר שלב
∢A + ∢C = 85° + 95° = 180° ← מחשבים
ABCD חסום במעגל ← אם סכום זוג זוויות נגדיות 180° – אפשר לחסום
∢D = 180° − 70° = 110° ← במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°
תשובה: ABCD חסום במעגל, ∢D = 110°
דוגמה: טרפז חסום
ABCD טרפז (AB ∥ DC) החסום במעגל. ∢A = 70°. מצאו את שאר זוויות הטרפז.
פתרון שלב אחר שלב
AD = BC ← טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים
∢B = ∢A = 70° ← בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
∢C = 180° − 70° = 110° ← במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°
∢D = 180° − 70° = 110° ← ∢B + ∢D = 180°
תשובה: ∢A = ∢B = 70°, ∢C = ∢D = 110°
דוגמה: מרובע חוסם
ABCD חוסם מעגל. AB = 7, BC = 9, CD = 10. מצאו את AD ואת היקף המרובע.
פתרון שלב אחר שלב
AB + CD = BC + AD ← במרובע חוסם סכומי הצלעות הנגדיות שווים
7 + 10 = 9 + AD ← מציבים
AD = 17 − 9 = 8 ← מעבירים אגפים
7 + 9 + 10 + 8 = 34 ← היקף: סכום הצלעות
תשובה: AD = 8, ההיקף 34
דוגמה: מרובע חסום עם קוטר
ABCD חסום במעגל, AC = 12 קוטר. ∢BAC = 30°, ∢DAC = 45°. מצאו את BC, AD ו־∢BCD.
פתרון שלב אחר שלב
∢ABC = ∢ADC = 90° ← זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה
BC = 12 : 2 = 6 ← במשולש ABC: ניצב מול 30° שווה לחצי היתר
∢DCA = 180° − 90° − 45° = 45° ← סכום הזוויות במשולש ADC
AD = DC ← שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
AD² + AD² = 12² = 144 ← משפט פיתגורס במשולש ADC
2 · AD² = 144 , AD² = 72 ← מחלקים ב־2
AD = √72 = √(36 · 2) = 6√2 ← שורש ופירוק השורש
∢BAD = 30° + 45° = 75° ← AC בתוך הזווית
∢BCD = 180° − 75° = 105° ← במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°
תשובה: BC = 6, AD = 6√2, ∢BCD = 105°
טעויות נפוצות
- לבלבל בין חסום לחוסם: מרובע חסום – זוויות (180°). מרובע חוסם – צלעות.
- לחבר זוויות סמוכות ל־180°. במרובע חסום – זוויות נגדיות.
- לחשוב שכל טרפז אפשר לחסום במעגל – רק טרפז שווה שוקיים.
שאלות נפוצות
מה התכונה של מרובע חסום במעגל?
סכום כל זוג זוויות נגדיות בו הוא 180 מעלות. ולהפך: אם סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות, אפשר לחסום את המרובע במעגל.
מה התכונה של מרובע חוסם מעגל?
סכומי הצלעות הנגדיות שווים: AB + CD = BC + AD. זה נובע מכך ששני משיקים מאותה נקודה שווים.
איזה טרפז אפשר לחסום במעגל?
רק טרפז שווה שוקיים. כל טרפז החסום במעגל הוא שווה שוקיים.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הגאומטריה המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 471.
עוד באתר
- זווית היקפית וזווית מרכזית
- משיקים למעגל
- טרפז ודלתון
- שאלות בגרות 471 לפי נושא – אנליטית + גאומטריה
- בגרות 471 – כל הנושאים
→ הקודם: משיקים למעגל | הבא: שאלת גאומטריה בבגרות 471 – פתרון מלא ←
