עוד דוגמאות פתורות – התפלגות נורמלית – בגרות 471

4 יחידות · שאלון 471 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא

עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא התפלגות נורמלית (בגרות 471, 4 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.

דוגמה 1 – ציון תקן ואחוז הנבחנים מתחת, מעל ובין

הציונים במבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 8.
א. כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון נמוך מ־82?
ב. כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון גבוה מ־82?
ג. כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון בין 62 ל־82?
ד. במבחן השתתפו 400 נבחנים. בערך כמה נבחנים קיבלו ציון בין 62 ל־82?

פתרון:
הנתונים: x̄ = 70 , S = 8
א. נחשב את ציון התקן של 82:
Z = x − x̄S = 82 − 708 = 128 = 1.5
נסתכל בטבלה: שורה 1.5 , עמודה 0.00 ← רשום 0.933

	0.00	0.01	0.02	0.03
1.4	0.919	0.921	0.922	0.924
1.5	0.933	0.934	0.936	0.937
1.6	0.945	0.946	0.947	0.948

הטבלה נותנת את החלק שמתחת לציון ← 93.3% מהנבחנים קיבלו פחות מ־82
ב. מעל הציון ← עושים 1 פחות:
1 − 0.933 = 0.067 ← 6.7%
ג. נחשב את ציון התקן של 62:
Z = 62 − 708 = −88 = −1
ציון התקן שלילי ← בטבלה בשורה 1.0 , עמודה 0.00 רשום 0.841 (זה לציון התקן 1)

	0.00	0.01	0.02	0.03
0.9	0.816	0.819	0.821	0.824
1.0	0.841	0.844	0.846	0.848
1.1	0.864	0.867	0.869	0.871

הגרף סימטרי, לכן מתחת ל־62 עושים 1 פחות: 1 − 0.841 = 0.159
בין שני ציונים ← הערך הגדול פחות הערך הקטן:
0.933 − 0.159 = 0.774 ← 77.4%
ד. כמות = החלק · מספר הנבחנים:
0.774 · 400 = 309.6 ← בערך 310 נבחנים

דוגמה 2 – מאחוז לציון – הציון של ה־10% הטובים ביותר

הציונים במבחן כניסה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100.
א. רק 10% מהנבחנים קיבלו ציון גבוה מציון של עמית. מה הציון של עמית?
ב. מהו הציון ש־25% מהנבחנים קיבלו פחות ממנו?

פתרון:
הנתונים: x̄ = 500 , S = 100
א. "מעל" ← עושים 1 פחות – החלק שמתחת לציון של עמית:
1 − 0.1 = 0.9
מחפשים בתוך הטבלה את הערך הקרוב ביותר ל־0.900: שורה 1.2 , עמודה 0.08 ← Z = 1.28

	0.06	0.07	0.08	0.09
1.1	0.877	0.879	0.881	0.883
1.2	0.896	0.898	0.900	0.901
1.3	0.913	0.915	0.916	0.918

מציבים בנוסחה: x = x̄ + Z · S
x = 500 + 1.28 · 100 = 500 + 128 ← x = 628
ב. החלק שמתחת: 0.25 – קטן מ־0.5 ← הציון מתחת לממוצע וציון התקן שלילי.
מחפשים בטבלה את 1 פחות החלק: 1 − 0.25 = 0.75
הערך הקרוב ביותר ל־0.750 בתוך הטבלה הוא 0.749: שורה 0.6 , עמודה 0.07 ← 0.67

	0.06	0.07	0.08	0.09
0.5	0.712	0.716	0.719	0.722
0.6	0.745	0.749	0.752	0.755
0.7	0.776	0.779	0.782	0.785

ציון התקן שלילי ← Z = −0.67
x = 500 + (−0.67) · 100 = 500 − 67 ← x = 433
בדיקה: הציון מתחת לממוצע, כמו שצריך (25% פחות מ־50%).

דוגמה 3 – מציאת הממוצע וסטיית התקן מאחוזים

משקלי התפוחים במטע מתפלגים נורמלית. ידוע ש־50% מהתפוחים שוקלים יותר מ־60 גרם, ו־15% מהתפוחים שוקלים יותר מ־72 גרם.
א. מהו המשקל הממוצע של תפוח?
ב. מצאו את סטיית התקן.
ג. כמה אחוזים מהתפוחים שוקלים פחות מ־50 גרם?

פתרון:
א. 50% מעל 60 ← 60 הוא הממוצע (הגרף סימטרי: ממוצע = חציון = שכיח)
← x̄ = 60 גרם
ב. 15% מעל 72 ← מתחתיו עושים 1 פחות: 1 − 0.15 = 0.85
הערך הקרוב ביותר ל־0.850 בתוך הטבלה הוא 0.851: שורה 1.0 , עמודה 0.04 ← Z = 1.04

	0.03	0.04	0.05	0.06
0.9	0.824	0.826	0.829	0.831
1.0	0.848	0.851	0.853	0.855
1.1	0.871	0.873	0.875	0.877

מציבים בנוסחת סטיית התקן:
S = x − x̄Z = 72 − 601.04 = 121.04 ← S ≈ 11.54 גרם
ג. נחשב את ציון התקן של 50:
Z = 50 − 6011.54 = −1011.54 ≈ −0.87
ציון התקן שלילי ← בטבלה בשורה 0.8 , עמודה 0.07 רשום 0.808 (לציון התקן 0.87)

	0.06	0.07	0.08	0.09
0.7	0.776	0.779	0.782	0.785
0.8	0.805	0.808	0.811	0.813
0.9	0.831	0.834	0.836	0.839

הגרף סימטרי ← מתחת ל־50 עושים 1 פחות: 1 − 0.808 = 0.192 ← 19.2%
בדיקה: 50 מתחת לממוצע ← פחות מ־50% ✓

דוגמה 4 – השוואת הישגים בשני מבחנים לפי ציון תקן

דנה נבחנה בשני מבחנים. הציונים בכל מבחן מתפלגים נורמלית.
במבחן בהיסטוריה: ממוצע 72 , סטיית תקן 6 , ודנה קיבלה 81.
במבחן באנגלית: ממוצע 65 , סטיית תקן 10 , ודנה קיבלה 83.
א. באיזה מבחן דנה הצליחה יותר ביחס לשאר הנבחנים? נמקו.
ב. כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו באנגלית ציון נמוך מהציון של דנה?
ג. יוסי קיבל בהיסטוריה ציון שציון התקן שלו הוא 0. מה הציון של יוסי, וכמה אחוזים מהנבחנים קיבלו פחות ממנו?

פתרון:
א. משווים לפי ציון התקן, לא לפי הציון עצמו.
היסטוריה: Z = 81 − 726 = 96 = 1.5
אנגלית: Z = 83 − 6510 = 1810 = 1.8
1.8 > 1.5 ← באנגלית – שם דנה 1.8 סטיות תקן מעל הממוצע.
ב. נסתכל בטבלה: שורה 1.8 , עמודה 0.00 ← רשום 0.964

	0.00	0.01	0.02	0.03
1.7	0.955	0.956	0.957	0.958
1.8	0.964	0.965	0.966	0.966
1.9	0.971	0.972	0.973	0.973

← 96.4% מהנבחנים באנגלית קיבלו פחות מדנה.
ג. ציון תקן 0 ← הציון שווה לממוצע:
x = x̄ + Z · S = 72 + 0 · 6 = 72 ← 72
הממוצע הוא גם החציון ← 50% מהנבחנים קיבלו פחות מ־72.

להמשך לימוד

📋 לסיכום המלאסיכום ונוסחאות – התפלגות נורמלית 📝 שאלות בגרות בנושא – עם פתרונותשאלות בגרות 471 לפי נושא – התפלגות נורמלית ✏️ כל הדוגמאות הפתורות באתרלפי קורס ונושא

מתמטריק · eldadh.co.il