📋 סיכום ונוסחאותהתפלגות נורמלית (גרף פעמון)

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: התפלגות נורמלית – 471

1. גרף הפעמון (התפלגות נורמלית)

הגרף סימטרי: 50% מהנתונים מעל הממוצע ו־50% מתחתיו.
הממוצע, החציון והשכיח שווים, ונמצאים בשיא הפעמון.
ציר אופקי: הערכים (ציונים, אורכים…). ציר אנכי: השכיחות.

📐 סימונים בקורס

ממוצע x̄ · סטיית תקן S · ציון תקן Z

🔹 סטיית תקן גדולה ← פעמון רחב ושטוח (פיזור גדול).
🔹 סטיית תקן קטנה ← פעמון צר וגבוה (פיזור קטן).

אותו ממוצע x̄ = 70. S = 5 (כחול) צר וגבוה, S = 10 (ירוק חזק) רחב ושטוח. קו הממוצע (סגול)

שאלת "איזה גרף מתאים?" (שיעור 10)

הציונים מתפלגים נורמלית	פעמון סימטרי (גרף 1)
רוב הציונים נמוכים, מעט גבוהים	השיא בצד שמאל, הזנב נמתח ימינה (גרף 2)
רוב הציונים גבוהים, מעט נמוכים	השיא בצד ימין, הזנב נמתח שמאלה (גרף 3)
הרבה נמוכים, הרבה גבוהים, מעט בינוניים	שתי פסגות בצדדים ושקע באמצע (גרף 4)

גרף 1: נורמלי

גרף 2: רוב נמוכים

גרף 3: רוב גבוהים

גרף 4: שתי פסגות

🔹 ציון התקן של ציון מסוים הוא 0 ← הציון הזה הוא הממוצע (וגם החציון).

2. ציון תקן

📐 ציון תקן

Z = x − x̄S

בכמה סטיות תקן הציון נמצא מעל הממוצע או מתחתיו

Z > 0	הציון מעל הממוצע
Z = 0	הציון שווה לממוצע
Z < 0	הציון מתחת לממוצע

דוגמה: ממוצע 70, סטיית תקן 10, ציון 80
Z = 80 − 7010 = 1 ← סטיית תקן אחת מעל הממוצע.

השוואת הישגים בשני מבחנים (שיעור 3)
מבחן א: ממוצע 75, סטיית תקן 6 · מבחן ב: ממוצע 71, סטיית תקן 8
יובל קיבל 80 בשניהם:
מבחן א: Z = 80 − 756 ≈ 0.83
מבחן ב: Z = 80 − 718 ≈ 1.13
← הצליח יותר במבחן ב, כי שם ציון התקן גבוה יותר.

🔹 משווים הצלחה יחסית לפי ציון התקן, לא לפי הציון עצמו.

3. מציון תקן לאחוז (קריאה בטבלה)

הטבלה נותנת תמיד את החלק של הנבחנים שמתחת לציון. שורה: הספרה השלמה והספרה הראשונה אחרי הנקודה. עמודה: הספרה השנייה אחרי הנקודה.

📐 מתחת, מעל, בין

מתחת לציון ← הערך מהטבלה

מעל הציון ← עושים 1 פחות: 1 − הערך

בין שני ציונים ← הערך הגדול פחות הערך הקטן

אחוזים ← כופלים ב־100

דוגמה: ממוצע 75, סטיית תקן 15. כמה נבחנים מתחת ל־95?
Z = 95 − 7515 = 2015 ≈ 1.33
נסתכל בטבלה: שורה 1.3, עמודה 0.03 ← 0.908
כלומר 90.8% מתחת ל־95, ומעליו 1 − 0.908 = 0.092, כלומר 9.2%.

	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06
1.2	0.887	0.889	0.891	0.893	0.894	0.896
1.3	0.905	0.907	0.908	0.910	0.911	0.913
1.4	0.921	0.922	0.924	0.925	0.926	0.928

שורה 1.3, עמודה 0.03 ← 0.908

השטח (תכלת) משמאל ל־95 הוא 0.908. הקו של 95 (ירוק חזק), הממוצע 75 (סגול)

ציון תקן שלילי: Z = −0.44
בטבלה בשורה 0.4, עמודה 0.04 רשום 0.670 (זה לציון התקן 0.44)
הגרף סימטרי, לכן מתחת ל־−0.44: עושים 1 פחות: 1 − 0.670 = 0.330, כלומר 33%

בין שני ציונים: כמה נבחנים בין 60 ל־95?
Z = 60 − 7515 = −1 ← בטבלה 0.841 ← 1 − 0.841 = 0.159
0.908 − 0.159 = 0.749, כלומר 74.9%

השטח בין 60 ל־95 (ירוק): 0.908 − 0.159 = 0.749. גבולות השטח (כחול)

🔹 ציון מתחת לממוצע ← ציון תקן שלילי ← פחות מ־50% מתחתיו. בדיקה מהירה שהתשובה הגיונית.

4. מאחוז לציון תקן, ומשם לציון

הופכים את האחוז לחלק של הנבחנים שמתחת לציון (אם נתון "מעל": עושים 1 פחות).
מחפשים את הערך בתוך הטבלה (הקרוב ביותר) וקוראים את השורה והעמודה ← ציון התקן.
אם החלק שמתחת קטן מ־0.5: מחפשים את 1 פחות החלק, וציון התקן שלילי.
מציבים בנוסחה ומוצאים את הציון.

📐 מציאת הציון

x = x̄ + Z·S

מתקבל מהנוסחה Z = x − x̄S

דוגמה (שיעור 6): ממוצע 75, סטיית תקן 15. מהו הציון ש־0.749 מהתלמידים מתחתיו?
בתוך הטבלה 0.749 נמצא בשורה 0.6, עמודה 0.07 ← Z = 0.67
x = 75 + 0.67·15 = 85.05

	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.5	0.705	0.709	0.712	0.716	0.719	0.722
0.6	0.739	0.742	0.745	0.749	0.752	0.755
0.7	0.770	0.773	0.776	0.779	0.782	0.785

הערך 0.749 ← שורה 0.6, עמודה 0.07 ← Z = 0.67

מספר נבחנים: מתוך 900 נבחנים, 300 מתחת לציון ← החלק הוא 300 : 900 ≈ 0.333, ואיתו נכנסים לטבלה.

5. מציאת הממוצע וסטיית התקן

📐 ממוצע מאחוזים

50% מתחת לציון (או 50% מעליו) ← הציון הזה הוא הממוצע

📐 סטיית תקן

S = x − x̄Z

ציון התקן נמצא קודם מהטבלה לפי האחוז

דוגמה (שיעור 7): 50% מתחת ל־75 ← הממוצע, החציון והשכיח הם 75.
משה קיבל 85, ו־20% מעליו ← מתחתיו 1 − 0.2 = 0.8
בתוך הטבלה 0.800 בשורה 0.8, עמודה 0.04 ← Z = 0.84
S = 85 − 750.84 ≈ 11.9

	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07
0.7	0.764	0.767	0.770	0.773	0.776	0.779
0.8	0.794	0.797	0.800	0.802	0.805	0.808
0.9	0.821	0.824	0.826	0.829	0.831	0.834

הערך 0.800 ← שורה 0.8, עמודה 0.04 ← Z = 0.84

ממוצע 75, S ≈ 11.9: מתחת ל־85 0.8 (תכלת), מעליו 0.2 (סגול)

🔹 הציון מתחת לממוצע ← ציון התקן שלילי, וגם x − x̄ שלילי, אז סטיית התקן יוצאת חיובית.

✔️ סדר פתרון שאלה בהתפלגות נורמלית

רושמים את הנתונים: ממוצע x̄, סטיית תקן S, הציון x, האחוז.
מה מבקשים? אחוז ← דרך ציון התקן אל הטבלה. ציון או סטיית תקן ← מהטבלה אל ציון התקן.
מחשבים ציון תקן: Z = x − x̄S
קוראים בטבלה (שורה ועמודה) וכותבים במילים מה קראנו.
"מעל" ← עושים 1 פחות · "בין" ← מחסרים.
מציבים בנוסחה ומוצאים את מה שחסר.
בודקים שהתשובה הגיונית (מתחת לממוצע ← פחות מ־50%).

מתמטריק · eldadh.co.il