עוד דוגמאות פתורות – חקירת פונקציית e – בגרות 472
4 יחידות · שאלון 472 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא
עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא חקירת פונקציית e (בגרות 472, 4 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.
דוגמה 1 – נקודות חיתוך בין שני גרפים – הצבה t
נתונות הפונקציות f(x) = e2x ו־g(x) = 5ex − 6.
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרפי שתי הפונקציות.
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרפי שתי הפונקציות.
פתרון:
א. חיתוך עם ציר y – מציבים x = 0:
g(0) = 5e0 − 6 = 5 · 1 − 6 = −1 ← (0 , −1)
חיתוך עם ציר x – משווים g(x) = 0:
5ex − 6 = 0
מעבירים אגפים: 5ex = 6
מחלקים ב־5: ex = 65 = 1.2
x = ln 1.2 ≈ 0.18 ← (ln 1.2 , 0)
ב. משווים בין הפונקציות:
e2x = 5ex − 6
מעבירים אגפים: e2x − 5ex + 6 = 0
הצבה: ex = t , e2x = t2
t2 − 5t + 6 = 0
(t − 2)(t − 3) = 0 ← t = 2 או t = 3
חוזרים להצבה:
ex = 2 ← x = ln 2
ex = 3 ← x = ln 3
מציבים ב־f(x) ומוצאים y:
f(ln 2) = e2ln 2 = (eln 2)2 = 22 = 4
f(ln 3) = e2ln 3 = (eln 3)2 = 32 = 9
בדיקה ב־g: g(ln 2) = 5 · 2 − 6 = 4 , g(ln 3) = 5 · 3 − 6 = 9 ✔
← (ln 2 , 4) , (ln 3 , 9)
א. חיתוך עם ציר y – מציבים x = 0:
g(0) = 5e0 − 6 = 5 · 1 − 6 = −1 ← (0 , −1)
חיתוך עם ציר x – משווים g(x) = 0:
5ex − 6 = 0
מעבירים אגפים: 5ex = 6
מחלקים ב־5: ex = 65 = 1.2
x = ln 1.2 ≈ 0.18 ← (ln 1.2 , 0)
ב. משווים בין הפונקציות:
e2x = 5ex − 6
מעבירים אגפים: e2x − 5ex + 6 = 0
הצבה: ex = t , e2x = t2
t2 − 5t + 6 = 0
(t − 2)(t − 3) = 0 ← t = 2 או t = 3
חוזרים להצבה:
ex = 2 ← x = ln 2
ex = 3 ← x = ln 3
מציבים ב־f(x) ומוצאים y:
f(ln 2) = e2ln 2 = (eln 2)2 = 22 = 4
f(ln 3) = e2ln 3 = (eln 3)2 = 32 = 9
בדיקה ב־g: g(ln 2) = 5 · 2 − 6 = 4 , g(ln 3) = 5 · 3 − 6 = 9 ✔
← (ln 2 , 4) , (ln 3 , 9)
דוגמה 2 – חקירה עם נגזרת של מכפלה ואסימפטוטה אופקית
נתונה הפונקציה f(x) = (x + 2)e−x.
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.
ג. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.
ג. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
פתרון:
א. ציר y – מציבים x = 0: f(0) = (0 + 2) · e0 = 2 ← (0 , 2)
ציר x – משווים f(x) = 0: (x + 2)e−x = 0
e−x ≠ 0 ← x + 2 = 0 ← x = −2 ← (−2 , 0)
ב. גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:
u = x + 2 , u' = 1
v = e−x , v' = −1 · e−x = −e−x
f'(x) = u'v + uv' = 1 · e−x + (x + 2) · (−e−x)
גורם משותף: f'(x) = e−x(1 − x − 2) = e−x(−x − 1)
משווים לאפס: e−x(−x − 1) = 0
e−x ≠ 0 ← −x − 1 = 0 ← x = −1
מציבים בפונקציה: f(−1) = (−1 + 2) · e1 = e ≈ 2.72
טבלה: f'(−2) = e2(2 − 1) = e2 > 0 , f'(0) = e0(0 − 1) = −1 < 0
← max (−1 , e)
ג. אסימפטוטה אופקית, x → ∞:
כותבים כמנה: f(x) = x + 2ex
עם ∞: ex גדל הרבה יותר מהר מ־x + 2 ← f → 0
מספרים: f(5) = 7e5 ≈ 0.047 , f(10) = 12e10 ≈ 0.00054 ← מתקרב ל־0
← y = 0 (בצד x → ∞)
בצד x → −∞: e−x גדל מאוד ו־x + 2 שלילי ← f → −∞ ← אין אסימפטוטה בצד הזה.
ד. מהטבלה:
עלייה: x < −1
ירידה: x > −1
א. ציר y – מציבים x = 0: f(0) = (0 + 2) · e0 = 2 ← (0 , 2)
ציר x – משווים f(x) = 0: (x + 2)e−x = 0
e−x ≠ 0 ← x + 2 = 0 ← x = −2 ← (−2 , 0)
ב. גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:
u = x + 2 , u' = 1
v = e−x , v' = −1 · e−x = −e−x
f'(x) = u'v + uv' = 1 · e−x + (x + 2) · (−e−x)
גורם משותף: f'(x) = e−x(1 − x − 2) = e−x(−x − 1)
משווים לאפס: e−x(−x − 1) = 0
e−x ≠ 0 ← −x − 1 = 0 ← x = −1
מציבים בפונקציה: f(−1) = (−1 + 2) · e1 = e ≈ 2.72
טבלה: f'(−2) = e2(2 − 1) = e2 > 0 , f'(0) = e0(0 − 1) = −1 < 0
| x | x < −1 | −1 | x > −1 |
| f'(x) | + | 0 | − |
| f(x) | ↗ | מקסימום | ↘ |
ג. אסימפטוטה אופקית, x → ∞:
כותבים כמנה: f(x) = x + 2ex
עם ∞: ex גדל הרבה יותר מהר מ־x + 2 ← f → 0
מספרים: f(5) = 7e5 ≈ 0.047 , f(10) = 12e10 ≈ 0.00054 ← מתקרב ל־0
← y = 0 (בצד x → ∞)
בצד x → −∞: e−x גדל מאוד ו־x + 2 שלילי ← f → −∞ ← אין אסימפטוטה בצד הזה.
ד. מהטבלה:
עלייה: x < −1
ירידה: x > −1
דוגמה 3 – הרכבה e בחזקת פונקציה – קיצון ומשיק
נתונה הפונקציה f(x) = ex2 − 4x.
א. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.
ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר y.
א. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.
ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר y.
פתרון:
א. גוזרים: גוזרים את החזקה, שמים לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים
f'(x) = (2x − 4)ex2 − 4x
משווים לאפס:
ex2 − 4x ≠ 0 ← 2x − 4 = 0 ← 2x = 4 ← x = 2
מציבים בפונקציה: f(2) = e4 − 8 = e−4 ≈ 0.018
טבלה: f'(0) = (0 − 4) · e0 = −4 < 0 , f'(3) = (6 − 4) · e9 − 12 = 2e−3 > 0
← min (2 , e−4)
(שימו לב: לפונקציה g(x) = x2 − 4x יש מינימום באותו x = 2 – בהרכבה ה־x של הקיצון וסוגו לא משתנים, רק ה־y נהיה ey.)
ב. מהטבלה: ירידה: x < 2 , עלייה: x > 2
ג. משוואת המשיק:
1. נקודת החיתוך עם ציר y: f(0) = e0 = 1 ← (0 , 1)
2. שיפוע – מציבים x = 0 בנגזרת: m = f'(0) = (0 − 4) · e0 = −4
3. מציבים בנוסחת הישר: y − y1 = m(x − x1)
y − 1 = −4(x − 0)
y = −4x + 1
א. גוזרים: גוזרים את החזקה, שמים לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים
f'(x) = (2x − 4)ex2 − 4x
משווים לאפס:
ex2 − 4x ≠ 0 ← 2x − 4 = 0 ← 2x = 4 ← x = 2
מציבים בפונקציה: f(2) = e4 − 8 = e−4 ≈ 0.018
טבלה: f'(0) = (0 − 4) · e0 = −4 < 0 , f'(3) = (6 − 4) · e9 − 12 = 2e−3 > 0
| x | x < 2 | 2 | x > 2 |
| f'(x) | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | מינימום | ↗ |
(שימו לב: לפונקציה g(x) = x2 − 4x יש מינימום באותו x = 2 – בהרכבה ה־x של הקיצון וסוגו לא משתנים, רק ה־y נהיה ey.)
ב. מהטבלה: ירידה: x < 2 , עלייה: x > 2
ג. משוואת המשיק:
1. נקודת החיתוך עם ציר y: f(0) = e0 = 1 ← (0 , 1)
2. שיפוע – מציבים x = 0 בנגזרת: m = f'(0) = (0 − 4) · e0 = −4
3. מציבים בנוסחת הישר: y − y1 = m(x − x1)
y − 1 = −4(x − 0)
y = −4x + 1
דוגמה 4 – שטח בין שני גרפים של פונקציות e וציר y
נתונות הפונקציות f(x) = ex ו־g(x) = e2 − x.
א. מצאו את נקודת החיתוך של גרפי שתי הפונקציות.
ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרפי שתי הפונקציות וציר y.
א. מצאו את נקודת החיתוך של גרפי שתי הפונקציות.
ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרפי שתי הפונקציות וציר y.
פתרון:
א. משווים: ex = e2 − x
בסיסים שווים ← חזקות שוות: x = 2 − x
מעבירים אגפים: 2x = 2 ← x = 1
f(1) = e1 = e ← (1 , e)
ב. גבולות האינטגרל: מציר y (x = 0) עד נקודת החיתוך (x = 1)
מי למעלה? מציבים x = 0: f(0) = 1
g(0) = e2 ≈ 7.39 ← g(x) למעלה
פונקציה קדומה: מעתיקים את ה־e ומחלקים בנגזרת של החזקה
∫ e2 − xdx = e2 − x−1 = −e2 − x , ∫ exdx = ex
S = ∫01 (e2 − x − ex)dx = [−e2 − x − ex]01
מציבים גבולות:
= (−e1 − e1) − (−e2 − e0)
= −2e + e2 + 1
(בהצבת 0: e0 = 1, לא מתבטל!)
= e2 − 2e + 1 = (e − 1)2
S = e2 − 2e + 1 ≈ 2.952
א. משווים: ex = e2 − x
בסיסים שווים ← חזקות שוות: x = 2 − x
מעבירים אגפים: 2x = 2 ← x = 1
f(1) = e1 = e ← (1 , e)
ב. גבולות האינטגרל: מציר y (x = 0) עד נקודת החיתוך (x = 1)
מי למעלה? מציבים x = 0: f(0) = 1
g(0) = e2 ≈ 7.39 ← g(x) למעלה
פונקציה קדומה: מעתיקים את ה־e ומחלקים בנגזרת של החזקה
∫ e2 − xdx = e2 − x−1 = −e2 − x , ∫ exdx = ex
S = ∫01 (e2 − x − ex)dx = [−e2 − x − ex]01
מציבים גבולות:
= (−e1 − e1) − (−e2 − e0)
= −2e + e2 + 1
(בהצבת 0: e0 = 1, לא מתבטל!)
= e2 − 2e + 1 = (e − 1)2
S = e2 − 2e + 1 ≈ 2.952
להמשך לימוד
מתמטריק · eldadh.co.il