ברנולי 6 – שאלה מסכמת: לפחות ולכל היותר

✏️ שאלה מסכמת בברנולי – לפחות ולכל היותר

שאלה עם פתרון מלא לתרגול עצמי: איך מתרגמים "לפחות" ו"לכל היותר" למקרים, ומתי עדיף לחשב דרך המשלים.

💡 לפחות / לכל היותר

לכל היותר 2 = 0 או 1 או 2 (מקסימום 2).

לפחות 2 = 2 או יותר (מינימום 2). כשיש הרבה מקרים, עדיף המשלים: 1 פחות "0 או 1".

לפחות אחד = 1 פחות "אף אחד".

📄 נוסח השאלה

במפעל לייצור נורות, 10% מהנורות פגומות. בוחרים באקראי 8 נורות מהייצור (הייצור גדול מאוד, ולכן בכל בחירה ההסתברות לנורה פגומה היא 0.1, והבחירות בלתי תלויות).

מה ההסתברות שבין 8 הנורות:

א. יש לכל היותר נורה פגומה אחת?

ב. יש לפחות 2 נורות פגומות?

ג. יש לפחות נורה פגומה אחת?

ד. יש לכל היותר 6 נורות תקינות?

ה. יש לפחות 2 ולכל היותר 3 נורות פגומות?

ו. כמה נורות לפחות צריך לבחור, כדי שההסתברות שתהיה ביניהן לפחות נורה פגומה אחת תהיה גדולה מ־0.9?

✏️ פתרון

בכל הסעיפים א–ה: n = 8, הצלחה = נורה פגומה, p = 0.1, נורה תקינה 1 − p = 0.9.

סעיף א – לכל היותר נורה פגומה אחת

"לכל היותר 1" = 0 פגומות או 1 פגומה.

P₈(0) = (80)·0.1⁰·0.9⁸📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 0.9⁸ ≈ 0.43047

P₈(1) = (81)·0.1¹·0.9⁷📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 8·0.1·0.9⁷ ≈ 0.38264

"או" ← חיבור:

P ≈ 0.43047 + 0.38264

≈ 0.81311

✅ פתרון סופי: ≈ 0.8131

סעיף ב – לפחות 2 נורות פגומות

"לפחות 2" = 2, 3, …, 8 – שבעה מקרים. ההפך שלו: "לכל היותר 1", שחישבנו בסעיף א.

הסתברות "לפחות 2" = 1 פחות הסתברות "לכל היותר 1"📐 מאורע משליםהסתברות "לפחות" =1 פחות הסתברות ההפך

≈ 1 − 0.81311

≈ 0.18689

✅ פתרון סופי: ≈ 0.1869

סעיף ג – לפחות נורה פגומה אחת

ההפך של "לפחות אחת": אין אף נורה פגומה (k = 0).

P = 1 − P₈(0)📐 מאורע משליםהסתברות "לפחות" =1 פחות הסתברות ההפך

מסעיף א: P₈(0) ≈ 0.43047

P ≈ 1 − 0.43047

≈ 0.56953

✅ פתרון סופי: ≈ 0.5695

סעיף ד – לכל היותר 6 נורות תקינות

מתרגמים מתקינות לפגומות: מתוך 8 נורות, תקינות + פגומות = 8.

לכל היותר 6 תקינות = 0 עד 6 תקינות = לפחות 2 פגומות (כי 8 − 6 = 2).

זה בדיוק המאורע של סעיף ב:

P ≈ 0.18689

✅ פתרון סופי: ≈ 0.1869

סעיף ה – לפחות 2 ולכל היותר 3 פגומות

"לפחות 2" וגם "לכל היותר 3" = 2 או 3 פגומות.

P₈(2) = (82)·0.1²·0.9⁶📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

במחשבון: 8 nCr 2 = 28

= 28·0.01·0.9⁶ ≈ 0.14880

P₈(3) = (83)·0.1³·0.9⁵📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

במחשבון: 8 nCr 3 = 56

= 56·0.001·0.9⁵ ≈ 0.03307

P ≈ 0.14880 + 0.03307

≈ 0.18187

✅ פתרון סופי: ≈ 0.1819

סעיף ו – כמה נורות לפחות צריך לבחור

נסמן ב־n את מספר הנורות. "לפחות אחת פגומה" ← משלים של "אף אחת לא פגומה":

P = 1 − P_n(0) = 1 − 0.9ⁿ📐 מאורע משליםהסתברות "לפחות" =1 פחות הסתברות ההפך

הדרישה:

1 − 0.9ⁿ > 0.9

0.1 > 0.9ⁿ

מוציאים log לשני האגפים:

log 0.1 > n·log 0.9

log 0.9 שלילי, ולכן כשמחלקים בו – סימן האי־שוויון מתהפך:

n > log 0.1log 0.9

n > 21.85

n מספר שלם, ולכן הקטן ביותר הוא 22.

בדיקה: 1 − 0.9²¹ ≈ 0.891 (קטן מ־0.9), 1 − 0.9²² ≈ 0.902 (גדול מ־0.9) ✓

✅ פתרון סופי: 22 נורות

הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים