ברנולי 4 – שאלה מסכמת: מתנדבים בתורנות

✏️ שאלה מסכמת בברנולי – מתנדבים בתורנות

שאלה עם פתרון מלא לתרגול עצמי: קודם מוצאים את p מתוך נתון על שתי הסתברויות, ואחר כך מחשבים הסתברויות לבחירות חוזרות.

💡 איך מוצאים את p? רושמים כל הסתברות מהנתון בנוסחת ברנולי, בונים משוואה לפי הנתון, ומחלקים את שני האגפים בגורמים המשותפים (מותר כי p ≠ 0 ו־p ≠ 1). פתרון של p חייב להיות בין 0 ל־1.

📄 נוסח השאלה

בצוות של 8 מתנדבים יש מתנדבים ותיקים ומתנדבים חדשים. בכל יום רכז הצוות בוחר באקראי מתנדב אחד לתורנות. הבחירות בימים השונים בלתי תלויות זו בזו (אותו מתנדב יכול להיבחר שוב ביום אחר).

ידוע שההסתברות שבמשך 4 ימים ייבחר מתנדב ותיק בדיוק ב־3 ימים, גדולה פי 2 מההסתברות שייבחר מתנדב ותיק בדיוק ב־2 ימים.

א. מצאו את ההסתברות שביום מסוים ייבחר מתנדב ותיק.

ב. כמה מתנדבים ותיקים יש בצוות?

ג. הרכז בוחר מתנדב לתורנות במשך 5 ימים. מה ההסתברות ש:

(1) בדיוק ב־2 ימים ייבחר מתנדב ותיק?
(2) לפחות ב־2 ימים ייבחר מתנדב ותיק?
(3) לכל היותר ביום אחד ייבחר מתנדב חדש?
(4) ייבחר לפחות פעם אחת מתנדב ותיק ולפחות פעם אחת מתנדב חדש?
(5) ביום הראשון ייבחר מתנדב ותיק, ובשני הימים שאחריו ייבחר מתנדב חדש?
(6) מתנדב חדש ייבחר רק ביום השני?

✏️ פתרון

סעיף א – מציאת p

נסמן: p = ההסתברות שייבחר מתנדב ותיק (הצלחה), 1 − p = ההסתברות שייבחר מתנדב חדש.

הבחירה חוזרת 4 ימים, בכל יום אותו סיכוי, והבחירות בלתי תלויות ← ברנולי עם n = 4.

הסתברות לוותיק בדיוק ב־3 ימים (k = 3):

P₄(3) = (43)·p³·(1 − p)¹📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 4p³(1 − p)

הסתברות לוותיק בדיוק ב־2 ימים (k = 2):

P₄(2) = (42)·p²·(1 − p)²📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 6p²(1 − p)²

במחשבון: 4 nCr 3 = 4, 4 nCr 2 = 6.

הנתון: הראשונה גדולה פי 2 מהשנייה:

4p³(1 − p) = 2·6p²(1 − p)²

4p³(1 − p) = 12p²(1 − p)²

בצוות יש גם ותיקים וגם חדשים, ולכן p ≠ 0 ו־p ≠ 1. מותר לחלק את שני האגפים ב־4p²(1 − p):

p = 3(1 − p)

p = 3 − 3p

4p = 3

p = 34 = 0.75

0 < 0.75 < 1 ✓

✅ פתרון סופי: p = 0.75

סעיף ב – מספר הוותיקים

נסמן ב־x את מספר המתנדבים הוותיקים.

הסתברות לוותיק = x8📐 הסתברות של מאורעהסתברות = מספר האפשרויות הרצויותמספר כל האפשרויות

x8 = 0.75

x = 0.75·8

x = 6

ומספר החדשים: 8 − 6 = 2.

✅ פתרון סופי: 6 מתנדבים ותיקים

סעיף ג – 5 ימי תורנות

בכל סעיף: n = 5, ותיק (הצלחה) p = 0.75, חדש (כישלון) 1 − p = 0.25.

ג (1) – ותיק בדיוק ב־2 ימים

k = 2 (ותיק), n − k = 5 − 2 = 3 (חדש).

P₅(2) = (52)·0.75²·0.25³📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

במחשבון: 5 nCr 2 = 10

= 10·0.5625·0.015625

≈ 0.08789

✅ פתרון סופי: ≈ 0.0879

ג (2) – ותיק לפחות ב־2 ימים

"לפחות 2" = 2, 3, 4 או 5 ימים. קצר יותר דרך המשלים: כל האפשרויות פחות 0 ימים ופחות יום אחד.

P = 1 − P₅(0) − P₅(1)

P₅(0) = (50)·0.75⁰·0.25⁵📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 0.25⁵

≈ 0.00098

P₅(1) = (51)·0.75¹·0.25⁴📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 5·0.75·0.25⁴

≈ 0.01465

P ≈ 1 − 0.00098 − 0.01465

≈ 0.98437

✅ פתרון סופי: ≈ 0.9844

ג (3) – חדש לכל היותר ביום אחד

"לכל היותר יום אחד חדש" = 0 ימים חדש או יום 1 חדש, כלומר ותיק ב־5 ימים או ב־4 ימים.

P₅(5) = (55)·0.75⁵·0.25⁰📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 0.75⁵ ≈ 0.23730

P₅(4) = (54)·0.75⁴·0.25¹📐 נוסחת ברנוליP_n(k) = (nk)·p^k·(1 − p)^{n − k}

= 5·0.75⁴·0.25

≈ 0.39551

"או" ← חיבור:

P ≈ 0.23730 + 0.39551

≈ 0.63281

✅ פתרון סופי: ≈ 0.6328

ג (4) – לפחות ותיק אחד ולפחות חדש אחד

ההפך: כל 5 הימים ותיקים, או כל 5 הימים חדשים. מחסירים את שני המקרים מ־1.

P = 1 − P₅(5) − P₅(0)

מסעיפים ג (2) ו־ג (3): P₅(5) ≈ 0.23730, P₅(0) ≈ 0.00098.

P ≈ 1 − 0.23730 − 0.00098

≈ 0.76172

✅ פתרון סופי: ≈ 0.7617

ג (5) – ביום הראשון ותיק, ובשני הימים שאחריו חדש

כאן הסדר נתון (מי נבחר באיזה יום), ולכן אין מקדם (nk): כופלים לפי הסדר ("וגם" ← כפל).

יום 1 ותיק, יום 2 חדש, יום 3 חדש. על ימים 4 ו־5 לא נאמר דבר, ולכן הם לא משפיעים (הסתברות 1).

P = 0.75·0.25·0.25

= 0.046875

✅ פתרון סופי: ≈ 0.0469

ג (6) – מתנדב חדש רק ביום השני

"רק ביום השני" = ביום השני חדש, ובכל שאר 4 הימים ותיק. הסדר נתון ← כפל בלי מקדם.

P = 0.75·0.25·0.75·0.75·0.75

= 0.25·0.75⁴

= 0.25·0.31640625

≈ 0.07910

✅ פתרון סופי: ≈ 0.0791

הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים