הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 76- תרגיל אליפסה-2023 חורף
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פותרים את סעיף א של שאלת האליפסה מבגרות 2023 חורף: המרובע שקדקודיו המוקדים ונקודות החיתוך עם ציר y הוא ריבוע, ומכאן c = b.
נתונה אליפסה שמשוואתה x²9 + y²b² = 1 , b הוא פרמטר חיובי. ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר x.
נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר y ב־D₁ ו־D₂ , את המוקד השמאלי של האליפסה נסמן ב־F₁ ואת המוקד הימני שלה ב־F₂.
נתון כי המרובע F₁D₁F₂D₂ הוא ריבוע.
נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר y ב־D₁ ו־D₂ , את המוקד השמאלי של האליפסה נסמן ב־F₁ ואת המוקד הימני שלה ב־F₂.
נתון כי המרובע F₁D₁F₂D₂ הוא ריבוע.
c² = a² − b²
🔵 סעיף א(1): מציאת הערך של b – בריבוע האלכסונים שווים, לכן c = b
מצאו את הערך של b.
מהמשוואה: a² = 9
החיתוך עם ציר y: D₁(0,b) , D₂(0,−b). המוקדים: F₁(−c,0) , F₂(c,0).
בריבוע האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, לכן חצאי האלכסונים שווים:
c = b
מציבים ב־c² = a² − b² :
b² = 9 − b²
2b² = 9
b² = 4.5
b = √4.5 (b חיובי)
תשובה: b = √4.5
🟢 סעיף א(2): חישוב שטח הריבוע F₁D₁F₂D₂ – מכפלת האלכסונים חלקי 2
חשבו את שטח הריבוע F₁D₁F₂D₂.
שטח ריבוע הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2.
כל אלכסון באורך 2b (כי c = b):
S = 2b · 2b2 = 2b²
S = 2 · (√4.5)²
S = 2 · 4.5 = 9
תשובה: S = 9
💡 לזכור
כשהמוקדים ונקודות החיתוך עם ציר y יוצרים ריבוע – c = b. אז c² = a² − b² נותן משוואה בנעלם אחד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il