הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 97 – שאלת סיכום 2 – היפרבולה שוות שוקיים ומקום גאומטרי
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📝 שאלה ברמת בגרות 5 יחידות
שאלת סיכום 2 – היפרבולה שוות שוקיים ומקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
נתונה ההיפרבולה שוות השוקיים x2 − y2 = 8 .
א. מצאו את המוקדים של ההיפרבולה ואת משוואות האסימפטוטות שלה, והראו שהאסימפטוטות מאונכות זו לזו.
ב. P(x0 , y0) היא נקודה כלשהי על ההיפרבולה. PM ו־PN הם האנכים מ־P לשתי האסימפטוטות. הוכיחו ש־PM · PN = 4 לכל נקודה P על ההיפרבולה.
ג. הוכיחו שהמרובע OMPN הוא מלבן (O – ראשית הצירים), וחשבו את שטחו.
ד. מצאו את המקום הגאומטרי של אמצעי כל הקטעים OP , כאשר P נעה על ההיפרבולה. איזו צורה זו?
ה. הנקודה P(3 , 1) נמצאת על ההיפרבולה. מצאו את משוואת המשיק להיפרבולה בנקודה זו.
✏️ פתרון
סעיף א – מוקדים ואסימפטוטות
מחלקים ב־8: x28 − y28 = 1 , ולכן a2 = b2 = 8 .
c2 = 8 + 8 = 16 ⇒ c = 4📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
המוקדים: (−4 , 0) , (4 , 0) . האסימפטוטות:
y = ± ba x = ± x📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x
השיפועים הם 1 ו־−1 :
1 · (−1) = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
מכפלת השיפועים היא −1 , ולכן האסימפטוטות מאונכות.
✅ פתרון סופי: (±4 , 0) , y = x , y = −x
סעיף ב – מכפלת המרחקים מהאסימפטוטות
האסימפטוטות בצורה Ax + By + C = 0 : x − y = 0 ו־x + y = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק:
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
המרחק של P מהישר x − y = 0 , שבו A = 1 , B = −1 :
PM = |x0 − y0|√2
המרחק של P מהישר x + y = 0 , שבו A = 1 , B = 1 :
PN = |x0 + y0|√2
נכפול:
PM · PN = |(x0 − y0)(x0 + y0)|√2 · √2
PM · PN = |x02 − y02|2📐 הפרש ריבועים(u − v)(u + v) = u2 − v2
הנקודה P על ההיפרבולה, ולכן x02 − y02 = 8 . נציב:
PM · PN = |8|2 = 4
קיבלנו 4 – בלי x0 ו־y0 , כלומר לכל נקודה על ההיפרבולה.
✅ פתרון סופי: PM · PN = 4
סעיף ג – המלבן OMPN
במרובע OMPN :
• ∢OMP = 90 – כי PM אנך לאסימפטוטה OM .
• ∢ONP = 90 – כי PN אנך לאסימפטוטה ON .
• ∢MON = 90 – כי האסימפטוטות מאונכות (סעיף א).
מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן (גם הזווית הרביעית ישרה, כי סכום הזוויות 360 מעלות). צלעות המלבן הן PM ו־PN :
S = PM · PN = 4📐 שטח מלבןS = a · b (a , b – אורכי הצלעות)
בסקיצה (עבור P(3 , 1) מסעיף ה): ההיפרבולה בכחול, האסימפטוטות בסגול מקווקו, המלבן OMPN באפור והמשיק בירוק.
✅ פתרון סופי: מלבן, שטחו 4
סעיף ד – מקום גאומטרי של אמצע OP
נסמן את אמצע הקטע OP ב־K(X , Y) . לפי נוסחת אמצע קטע בין O(0 , 0) ל־P(x0 , y0) :
X = 0 + x02 , Y = 0 + y02📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
x0 = 2X , y0 = 2Y
הנקודה P על ההיפרבולה. נכתוב את המשוואה ונסמן את מה שנציב:
x02 − y02 = 8
נציב x0 = 2X , y0 = 2Y :
(2X)2 − (2Y)2 = 8
4X2 − 4Y2 = 8
X2 − Y2 = 2
זו היפרבולה שוות שוקיים, עם אותן אסימפטוטות y = ±x .
✅ פתרון סופי: x2 − y2 = 2 (היפרבולה שוות שוקיים)
סעיף ה – המשיק ב־P(3 , 1)
המשיק: y = mx + n . נציב במשוואת ההיפרבולה:
x2 − (mx + n)2 = 8
x2 − m2x2 − 2mnx − n2 − 8 = 0
(1 − m2)x2 − 2mnx − n2 − 8 = 0
משיק – הביטוי b2 − 4ac שווה 0. אחרי חלוקה ב־4:
m2n2 + (1 − m2)(n2 + 8) = 0📐 ישר משיק לעקומהמציבים את הישר במשוואת העקומה; משיק = נקודה משותפת אחתb2 − 4ac = 0
m2n2 + n2 + 8 − m2n2 − 8m2 = 0
n2 = 8m2 − 8
המשיק עובר דרך P(3 , 1) :
1 = 3m + n ⇒ n = 1 − 3m
n2 = 8m2 − 8
נציב n = 1 − 3m :
(1 − 3m)2 = 8m2 − 8
1 − 6m + 9m2 = 8m2 − 8
m2 − 6m + 9 = 0
(m − 3)2 = 0 ⇒ m = 3
n = 1 − 3 · 3 = −8
בדיקה: 32 − 12 = 8 ✓ – הנקודה על ההיפרבולה.
✅ פתרון סופי: y = 3x − 8
📌 סיכום
| סעיף א | (±4 , 0) , y = ±x |
|---|---|
| סעיף ב | PM · PN = 4 |
| סעיף ג | מלבן, S = 4 |
| סעיף ד | x2 − y2 = 2 |
| סעיף ה | y = 3x − 8 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il