שיעור 109 – בגרות 582 חורף 2020 – אליפסה: היקף ושטח משולש המוקדים, פרבולה ומקום גאומטרי

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 582 · חורף 2020 · שאלה 1
בגרות 582 חורף 2020 – אליפסה: היקף ושטח משולש המוקדים, פרבולה ומקום גאומטרי

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. F₁ ו־F₂ הם מוקדי האליפסה. A היא נקודה על האליפסה ברביע הראשון. נתון: אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 13. היקף המשולש AF₁F₂ הוא 25.

א. מצאו את משוואת האליפסה.

נתון: שטח המשולש AF₁F₂ הוא 12.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה A .

פרבולה, שמשוואתה y² = 2px , עוברת דרך הנקודה A . המשיק לפרבולה בנקודה A חותך את ציר ה־x בנקודה L .

ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה L .

הפרבולה והאליפסה נחתכות בנקודה A ובנקודה B . נקודה D נמצאת על הקטע AB .

ד. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מפגש התיכונים במשולשים ALD .

✏️ פתרון

סעיף א – משוואת האליפסה

הציר הראשי:

2a = 13 ⇒ a = 6.5

היקף המשולש הוא AF₁ + AF₂ + F₁F₂ . לפי הגדרת האליפסה סכום המרחקים מהמוקדים הוא 2a , והמרחק בין המוקדים הוא 2c :

AF₁ + AF₂ = 2a = 13📐 הגדרת האליפסהPF₁ + PF₂ = 2a

13 + 2c = 25 ⇒ c = 6

נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:

b² = a² − c²📐 אליפסה קנוניתx²a² + y²b² = 1c² = a² − b²מוקדים (±c , 0)

נציב a = 6.5 , c = 6 :

b² = 6.5² − 6²

b² = 42.25 − 36 = 6.25

x²42.25 + y²6.25 = 1

✅ פתרון סופי: x²42.25 + y²6.25 = 1

סעיף ב – הנקודה A

הבסיס F₁F₂ מונח על ציר ה־x , ואורכו 2c = 12 . הגובה לבסיס הוא שיעור ה־y של A :

12 = 12 · y_A2📐 שטח משולשS = a · h2

y_A = 2

נכתוב את משוואת האליפסה ונסמן את y :

x²42.25 + y²6.25 = 1

נציב y = 2 :

x²42.25 + 2²6.25 = 1

x²42.25 = 1 − 0.64 = 0.36

x² = 0.36 · 42.25 = 15.21

x = 3.9

הנקודה ברביע הראשון, ולכן x = 3.9 חיובי.

✅ פתרון סופי: A(3.9 , 2)

סעיף ג – הנקודה L

הפרבולה עוברת דרך A(3.9 , 2) . נכתוב את המשוואה ונסמן את x ואת y :

y² = 2px

נציב x = 3.9 , y = 2 :

2² = 2p · 3.9

4 = 7.8p ⇒ p = 47.8 = 2039

נכתוב את נוסחת המשיק לפרבולה ונסמן את מה שנציב:

y · y₀ = p(x + x₀)📐 משוואת המשיק לפרבולהy · y₀ = p(x + x₀)

נציב x₀ = 3.9 , y₀ = 2 :

2y = p(x + 3.9)

הנקודה L על ציר ה־x , ולכן y = 0 :

0 = p(x + 3.9)

הפרמטר p שונה מ־0, ולכן:

x + 3.9 = 0 ⇒ x = −3.9

שימו לב: לא היה צורך בערך של p – המשיק לפרבולה בנקודה (x₀ , y₀) תמיד חותך את ציר ה־x ב־−x₀ .

✅ פתרון סופי: x_L = −3.9

סעיף ד – מקום גאומטרי של מפגש התיכונים

הפרבולה והאליפסה סימטריות שתיהן ביחס לציר ה־x . לכן גם B(3.9 , −2) על שתיהן, וזו הנקודה השנייה.

אפשר לוודא שאין נקודות חיתוך נוספות: מציבים y² = 4039x במשוואת האליפסה, ומקבלים משוואה ריבועית עם הפתרונות x = 3.9 ו־x = −656 . הפתרון השלילי נפסל, כי על הפרבולה x ≥ 0 .

הקטע AB אנכי ונמצא על הישר x = 3.9 , ולכן D(3.9 , t) , כאשר −2 ≤ t ≤ 2 .

נקודת מפגש התיכונים במשולש היא ממוצע שיעורי הקודקודים. בעזרת A(3.9 , 2) , L(−3.9 , 0) , D(3.9 , t) :

X = 3.9 + (−3.9) + 3.93 = 1.3📐 מפגש התיכונים(x₁ + x₂ + x₃3 , y₁ + y₂ + y₃3)

Y = 2 + 0 + t3

שיעור ה־x קבוע: x = 1.3 . כש־t משתנה, Y משתנה. המקום הגאומטרי נמצא על הישר x = 1.3 . צריך להוציא את הנקודה שבה D = A , כי אז אין משולש.

בסקיצה: האליפסה בכחול, הפרבולה בירוק, המשיק באפור, הקטע AB בתכלת, משולש לדוגמה באדום והישר x = 1.3 בסגול מקווקו.

✅ פתרון סופי: x = 1.3

📌 סיכום

סעיף א	x²42.25 + y²6.25 = 1
סעיף ב	A(3.9 , 2)
סעיף ג	−3.9
סעיף ד	x = 1.3

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים