שיעור 66-הגדרת האליפסה ותרגיל בסיסי

יישום גאוגברה להמחשת הגדרת האליפסה ⇐

הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572

📄 דף הסבר: הגדרת האליפסה ומשוואת אליפסה קנונית

אוספים את כל הנקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות הוא אותו מספר – ומקבלים אליפסה.

ההגדרה

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא קבוע. נקודות אלה נקראות מוקדים – F₁ ו־F₂.

hF₁ + hF₂ = MF₁ + MF₂ = PF₁ + PF₂

משוואת אליפסה קנונית

x²a² + y²b² = 1

או, אחרי כפל במכנה המשותף a²b² :

b²x² + a²y² = a²b²

עדיף לעבוד עם הצורה עם השברים – ממנה רואים מיד את החיתוך עם הצירים.

המוקדים

באליפסה קנונית המרכז ב־(0,0) , והמוקדים סימטריים על ציר x:

F₁(−c,0) F₂(c,0)

הקשר בין a , b ו־c (לזכור בעל פה – לא מופיע בדף הנוסחאות):

c² = a² − b²

החיתוך עם הצירים

עם ציר x: מציבים y = 0 ומקבלים x = ±a.

עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים y = ±b.

a > b : הציר הגדול (בין −a ל־a) על ציר x, והציר הקטן (בין −b ל־b) על ציר y.

שלביםאיך קוראים משוואת אליפסה

1הצורה עם השברים

כותבים את המשוואה בצורה x²a² + y²b² = 1.

2מזהים את a² ו־b²

המכנה מתחת ל־x² הוא a² , המכנה מתחת ל־y² הוא b².

3חיתוך עם הצירים

(±a,0) על ציר x ו־(0,±b) על ציר y.

4המוקדים

מ־c² = a² − b² מוצאים את c, והמוקדים (±c,0).

x²a² + y²b² = 1 , c² = a² − b² ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

אחרי ההגדרה מוצאים בסרטון את נקודות החיתוך של אליפסה עם הצירים – ישר מתוך משוואתה.

🔵 תרגיל 1: נקודות החיתוך של האליפסה x²36 + y²25 = 1 עם הצירים

מצא את נקודות החיתוך של האליפסה x²36 + y²25 = 1 עם הצירים.

המשוואה כבר בצורה x²a² + y²b² = 1 , לכן מזהים מיד:

a² = 36 b² = 25

a = 6 b = 5

חיתוך עם ציר x (y = 0): x = ±a = ±6

חיתוך עם ציר y (x = 0): y = ±b = ±5

תשובה: (6,0) , (−6,0)
(0,5) , (0,−5)

💡 לזכור

במשוואה x²a² + y²b² = 1 המכנים נותנים את החיתוך עם הצירים: (±a,0) ו־(0,±b). הקשר למוקדים: c² = a² − b².

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים