הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 63-פרבולה ומשיק למעגל
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון מוצאים מעגל שמרכזו על ציר x ומשיק לפרבולה y² = 8x בשתי נקודות: מציבים את הפרבולה במעגל ודורשים פתרון יחיד ל־x (Δ = 0), ואז מוצאים את נקודות ההשקה.
נתונה הפרבולה y² = 8x.
א. מצא משוואה של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות, מרכזו על ציר ה־x ורדיוסו √32.
ב. מצא את נקודות ההשקה.
א. מצא משוואה של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות, מרכזו על ציר ה־x ורדיוסו √32.
ב. מצא את נקודות ההשקה.
🔵 סעיף א: משוואת המעגל המשיק לפרבולה y² = 8x – תנאי Δ = 0
מצא את משוואת המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות, שמרכזו על ציר x ורדיוסו √32.
מרכז המעגל על ציר x: (a,0) , R = √32
(x − a)² + y² = 32
פותרים יחד עם הפרבולה – מציבים y² = 8x :
(x − a)² + 8x = 32
x² − 2ax + a² + 8x − 32 = 0
x² + (8 − 2a)x + a² − 32 = 0
שתי נקודות ההשקה סימטריות לציר x: (x,y) ו־(x,−y) – לשתיהן אותו x. לכן למשוואה יש פתרון אחד:
Δ = b² − 4ac = 0
(8 − 2a)²
− 4 · 1 · (a² − 32) = 0
64 − 32a + 4a²
− 4a² + 128 = 0
192 = 32a
a = 6
תשובה: (x − 6)² + y² = 32
🟢 סעיף ב: נקודות ההשקה של המעגל והפרבולה
מצא את נקודות ההשקה.
נקודה על הפרבולה: y = t , ומהפרבולה x = t²8.
מציבים במשוואת המעגל:
(t²8 − 6)² + t² = 32
הצבה t² = m :
(m8 − 6)² + m = 32
m²64 − 1.5m + 36 + m = 32
כופלים ב־64:
m² − 32m + 256 = 0
m = 16
t² = 16
t = ±4
x = 4²8 = 2
תשובה: (2,4) , (2,−4)
💡 לזכור
מעגל שמרכזו על ציר x ומשיק לפרבולה בשתי נקודות סימטריות – אחרי ההצבה מקבלים משוואה ריבועית ב־x שחייבת פתרון יחיד: Δ = 0.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
